Beszámoló a 46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát július
8-19. között Mexikóban, Mérida városában rendezték meg. A versenyen 91
ország 513 diákja vett részt, ami minden eddigi részvételi számot
messze felülmúl.
Az alábbi országok küldtek csapatokat (ezek
általában hattagúak voltak, ennél kisebb létszám esetén az országnév
után zárójelben jelzem, hogy hány diák alkotta a csapatot):
Albánia, Amerikai Egyesült Államok,
Argentína, Ausztrália, Ausztria, Azerbajdzsán, Banglades, Belgium,
Belorusszia, Bolívia (2), Bosznia-Hercegovina, Brazília, Bulgária,
Ciprus, Costa Rica, Csehország, Dánia, Dél-Afrika, Dél-Korea, Ecuador,
Észtország, Finnország, Franciaország, Fülöp-szigetek, Görögország,
Grúzia, Guatemala (3), Hollandia, Hongkong, Horvátország, India,
Indonézia, Irán, Írország, Izland, Izrael, Japán, Kanada, Kazahsztán,
Kína, Kirgizisztán, Kolumbia, Kuba (4), Kuvait (5), Lengyelország,
Lettország, Liechtenstein (3), Litvánia, Luxemburg (2), Macedónia,
Magyarország, Makaó, Malajzia, Marokkó, Mexikó, Moldova, Mozambik (5),
Nagy-Britannia, Németország, Norvégia, Olaszország, Oroszország,
Örményország, Pakisztán, Paraguay, Peru, Portugália, Puerto Rico,
Románia, Salvador, Spanyolország, Sri Lanka, Svájc, Svédország,
Szaúd-Arábia (5), Szerbia és Montenegró, Szingapúr, Szlovákia,
Szlovénia, Tádzsikisztán (3), Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad
és Tobago, Tunézia (3), Türkmenisztán (3), Új-Zéland, Ukrajna, Uruguay
(5), Venezuela (2), Vietnam.
Az új közép-amerikai résztvevőkön kívül
mindenképpen említést érdemel olyan nagy lélekszámú országok
megjelenése, mint Pakisztán és Banglades.
A versenyen szokás szerint két egymás utáni napon
négy és fél óra alatt 3-3 feladatot kellett
megoldani. (A feladatokat alább közöljük.) Mindegyik feladat
helyes megoldásáért 7 pont járt, így egy versenyző maximális
teljesítménnyel 42 pontot szerezhetett. (Ez 16 diáknak sikerült: 4
kínainak, 2-2 tajvaninak és japánnak és további 8 ország 1-1
versenyzőjének.) A verseny befejezése után megállapított ponthatárok
szerint aranyérmet a 35-42 pontot elért, ezüstérmet a 23-34 pontos,
bronzérmet pedig a 12-22 ponttal rendelkező tanulók szereztek. Kiadott
a zsűri egy különdíjat is: Iurie Boreico-nak (Moldovai
Köztársaság), a 3. feladat kiemelkedően szép megoldásáért.
A magyar csapatból
Paulin Roland (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 38 ponttal és
Strenner Balázs (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., 12. o.t.) 35 ponttal aranyérmet,
Jankó Zsuzsanna (Szeged, Radnóti Miklós Gimn., 11. o.t.) 34 ponttal,
Steller Gábor (Budapest, Radnóti Miklós Gimn., 12. o.t.) 28 ponttal és
Erdélyi Márton (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 27 ponttal ezüstérmet,
Mánfay Máté (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) pedig 19 ponttal bronzérmet nyert.
A csapat vezetője Pelikán József (ELTE TTK,
Algebra és Számelmélet Tanszék), helyettes vezetője Dobos
Sándor (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn.) volt.
Az országok (nem-hivatalos) pontversenyében
Magyarország a 9-10. helyen végzett. A csapatverseny első
20 helyezettjének sorrendje így alakult (megszerzett
pontszámaikkal):
1. Kína 235, 2. USA 213, 3. Oroszország 212,
4. Irán 201, 5. Dél-Korea 200, 6. Románia 191, 7. Tajvan 190, 8. Japán
188, 9-10. Magyarország és Ukrajna 181, 11. Bulgária 173,
12. Németország 163, 13. Nagy-Britannia 159, 14. Szingapúr 145,
15. Vietnam 143, 16. Csehország 139, 17. Hongkong 138, 18. Belorusszia
136, 19. Kanada 132, 20. Szlovákia 131.
Szeretnék köszönetet mondani az egyes versenyzők
tanárainak, akik a következők voltak:
Erdélyi Márton: Táborné Vincze Márta, Hraskó András, Pósa Lajos, Dobos Sándor.
Jankó Zsuzsanna: Schultz János, Mike János, Pósa Lajos.
Mánfay Máté: Laczkó László, Pósa Lajos.
Paulin Roland: Táborné Vincze Márta, Hraskó András, Pósa Lajos.
Steller Gábor: Morvai Éva, Juhász Péter.
Strenner Balázs: Szakály Edit, Szabó Gábor, Dobos Sándor.
Külön szeretnék köszönetet mondani Dobos
Sándornak, aki egész évben vezette az olimpiai felkészítést.
A nem-matematikai programok között voltak előre
tervezettek és előre nem tervezettek is. Az előbbiek közé tartozott a
világhírű maja romváros, Chichén Itzá meglátogatása, ami a párás hőség
dacára is csodálatos élmény volt. Az utóbbiak közé számított viszont
az ,,Emily'' nevű hurrikán feltűnése, ,,aki'' miatt a záróünnepséget
későbbre kellett halasztani, a záróbankett pedig teljesen
elmaradt. (Emily az utolsó pillanatban irányt változtatott, így
vérbeli hurrikán helyett csak egy kiadós trópusi viharban lett
részünk.)
A jövő évi diákolimpiát Szlovénia fővárosában,
Ljubljanában rendezik, július 6-18. között.
Pelikán József
A 46. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Első nap
1. Adott hat pont az ABC egyenlőoldalú háromszög oldalain: A1 és A2 a BC oldalon, B1 és B2 a CA oldalon, C1 és C2 az AB oldalon, úgy, hogy ezek a pontok egy A1A2B1B2C1C2 konvex hatszög csúcsai, amelynek az oldalai egyenlő hosszúságúak. Bizonyítsuk be, hogy az A1B2, B1C2 és C1A2 egyenesek egy ponton mennek át.
2. Legyen a1, a2, ... egész számoknak egy olyan sorozata, aminek van végtelen sok pozitív tagja és végtelen sok negatív tagja is. Tudjuk, hogy minden pozitív egész n-re az a1, a2,..., an számok n-nel osztva n különböző maradékot adnak. Bizonyítsuk be, hogy minden egész szám pontosan egyszer fordul elő a sorozatban.
3. Legyenek x, y, z pozitív valós számok, amelyekre teljesül xyz  1. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az
egyenlőtlenség.
Második nap
4. Tekintsük azt az a1, a2, ... sorozatot, amit az
an = 2n + 3n + 6n -1 (n=1,2,...)
képlet definiál. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számot, ami relatív prím a sorozat minden tagjához.
5. Az ABCD konvex négyszög BC és AD oldalai egyenlő hosszúságúak és nem párhuzamosak. Legyenek E, illetve F rendre a BC, illetve AD oldal olyan belső pontjai, amikre BE=DF teljesül. Az AC és BD egyenesek metszéspontja P, a BD és EF egyenesek metszéspontja Q, az EF és AC egyenesek metszéspontja R. Tekintsük az összes PQR háromszöget, amint E és F változnak. Bizonyítsuk be, hogy ezen háromszögek körülírt köreinek van egy P-től különböző közös pontja.
6. Egy matematikaversenyen 6 feladatot kellett a versenyzőknek megoldani. Bármelyik két feladatra igaz az, hogy a versenyzők  részénél többen oldották meg mindkét feladatot. Senki nem oldotta meg mind a 6 feladatot. Bizonyítsuk be, hogy volt legalább 2 olyan versenyző, aki pontosan 5 feladatot oldott meg.
Az olimpia honlapja: http://erdos.fciencias.unam.mx/
|
