KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Cikklista
Trükkös

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Olimpiai megjegyzések I.

Októberi számunkban közöltük az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatainak megoldását. Ebben a cikkben az egyik feladatra visszatérve olyan további megoldást mutatunk, amelyik lényegesen különbözik az októberben közölttől, ugyanakkor tanulságos lehet mindazoknak, akik a jövőben országos vagy nemzetközi versenyeken szeretnének eredményesen részt venni. Ebben a megjegyzésben a 2. feladattal foglalkozunk. (Az olimpiai feladatok megoldása a KöMaL 2001/7. számának 389-394. oldalán olvasható.)

A 2. feladat. Bizonyítsuk be, hogy

(1)\(\displaystyle {a\over\sqrt{a^2+8bc}}+{b\over\sqrt{b^2+8ca}}+{c\over\sqrt{c^2+8ab}}\ge1\)

minden a, b, c pozitív valós számra.

 

A feladat első pillantásra ártalmatlan egyenlőtlenségnek tűnik, ami nem lehet nagyon nehéz... vagy mégis? A magyar csapat számára ez a feladat bizonyult a legnehezebbnek. Hat versenyzőnk együttvéve csupán 2 pontot szerzett meg a lehetséges 42-ből.

A megoldáshoz első lépésként kézenfekvő lehet behelyettesíteni a \(\displaystyle x={bc\over a^2}\), \(\displaystyle y={ca\over b^2}\), \(\displaystyle z={ab\over c^2}\) változókat. Ezek szintén pozitív számok, a szorzatuk 1, és a behelyettesítés után az (1) egyenlőtlenség a következő, egyszerűbb alakot ölti:

(2){1\over\sqrt{1+8x}}+{1\over\sqrt{1+8y}}+{1\over\sqrt{1+8z}}\ge1

Azt is megállapíthatjuk, hogy az x=y=z=1 (azaz a=b=c) esetben egyenlőség áll fenn.

Hogyan tovább? Láthatjuk, hogy a feladat nehézsége abból fakad, hogy összegek négyzetgyökeit kell felülről becsülnünk, ehhez pedig meglehetősen kevés eszköz áll rendelkezésünkre. Ha alsó becslésre volna szükség, akkor egészen más lenne a helyzet. A három négyzetgyökös kifejezést kényelmesen tudjuk alulról becsülni például a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséggel. Közben persze vigyáznunk kell, hogy x=y=z=1 esetén mindig egyenlőség álljon:

(3)\sqrt{1+8x}\ge\sqrt{9\cdot\root9\of{1\cdot
x^8}}=3x^{4/9};\quad\sqrt{1+8y}\ge3y^{4/9};\quad\sqrt{1+8z}\ge3z^{4/9}

Ezek alapján a három gyökös kifejezés szorzatát és összegét sem nehéz alulról megbecsülni.

De mi a helyzet a felső becsléssel? A felső becsléshez jó lenne megszabadulni a kellemetlen négyzetgyökjeltől. Ez pedig legegyszerűbben négyzetre emeléssel lehetséges. Szorozzuk be a (2) egyenlőtlenséget a nevezőkkel. Az így kapott egyenlőtlenségben csupán egyetlen négyzetgyökös kifejezést kell felülről becsülnünk, a jobb oldalt:

(4)\sqrt{1+8y}\sqrt{1+8z}+\sqrt{1+8z}\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8x}\sqrt{1+8y}\ge\sqrt{1+8x}\sqrt{1+8y}\sqrt{1+8z}

Most pedig vegyünk nagy levegőt, emeljük mindkét oldalt négyzetre, és rendezzük az egyenlőtlenséget! (Ne felejtsünk el xyz helyére 1-et írni.) A rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

(5)4x+4y+4z+\sqrt{1+8x}\sqrt{1+8y}\sqrt{1+8z}\left(\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+8y}+\sqrt{1+8z}\right)\ge255

A rendezés során azt tapasztaljuk, hogy (4) jobb oldalának négyzetét ,,lenyelik'' a baloldalon álló tagok négyzetei, csupán egy konstans marad.

A megoldás innen kezdve triviális: behelyettesítjük a (3) egyenlőtlenség-hármast és alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget.

Kós Géza


A cikk második része

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley