KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
A cikkekről
A cikkek listája
Trükkös Bizonyítások

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Kádár Csilla

Kádár Csilla:

Szappanhártyák

Recept

Végy egy tálat. Önts bele 1 dl vizet, 1 dl glicerint (gyógyszertárakban kapható) és 1 teáskanál mosogatószert (a legolcsóbb a legjobb, abban nincs kézkímélő, ami gátolná a hártyaképződést). Miután összekeverted ezeket, márts bele egy fém teásdobozt! Figyeld meg, hogyan változnak a létrejövő függőleges hártyán a színek! Ha úgy érzed, most már tudod, hogy ,,mi történik'' egy szappanhártyán, akkor íme egy másik recept: 2 dl víz, 1 teáskanál mosogatószer és 2 teáskanál méz. Ez a ,,mézes hártya'' receptje. Készíthetsz olyan szappanhártyát is, amely annyira gyorsan kavarog, hogy az egyes színek már nem is láthatók. Ekkor 1 dl vízhez csak 2-3 teáskanál glicerint és 1-2 teáskanál mosogatószert kell tenned! Természetesen te is kitalálhatsz recepteket!

A szappanhártya színei

A fény hullámhosszával (400-800 nm) összemérhető vastagságú szappanhártyára eső fény kis része (4%) visszaverődik, mégpedig egy része a hártya első felületéről, más része a hártya hátsó felületéről. A két közeli felületről visszavert fény találkozásakor (interferenciájakor) egyes hullámok erősödnek, mások gyengülnek. Ennek következtében lesz a visszavert fény színes. Az, hogy mely hullámok erősödnek illetve gyengülnek, függ a hártya vastagságától. Így a visszavert fény színeiből kiszámíthatjuk, hogy körülbelül milyen vastag lehet egy piros színű csík a hártyánkon.

1. ábra

Essen lambda hullámhosszúságú (monokromatikus) fény a t vastagságú lemezre alpha szög alatt (1. ábra). Az A-ban és C-ben megjelenő sugarak interferenciájára vagyunk kíváncsiak: ehhez a találkozó hullámok közötti Deltas optikai útkülönbséget (a törésmutatóval súlyozott utak különbségét) kell meghatároznunk. Ha a levegő törésmutatóját 1-nek, a hártyáét n-nek vesszük, akkor

\Delta s=n(AB+BC)-AH=\frac{2nt}{\cos\beta}-AC\sin\alpha,

ahol AH\bot CH. Felhasználva a

sinalpha=nsinbeta és AC=2t\mathop{\rm tg}\beta

összefüggéseket az optikai útkülönbségre (pontosabban annak a geometriai távolságoktól függő részére)

\Delta
s=\frac{2nt}{\cos\beta}-\frac{2nt}{\cos\beta}\sin^2\beta=2nt\cos\beta

adódik. Vegyük még azt is figyelembe, hogy optikailag sűrűbb közeg határfelületéről való visszaverődéskor pi fázisugrás lép fel (a ,,hullámhegy'' ,,hullámvölgyként'' verődik vissza), amely \frac{\lambda}{2} optikai útkülönbségnek felel meg [1], így végül

\Delta s=2nt\cos\beta-\frac{\lambda}{2}.

Merőleges beesés (beta=0) esetén az útkülönbség a \Delta
s=2nt-\frac{\lambda}{2} összefüggéssé egyszerűsödik.

Hullámok találkozásakor, ha az optikai útkülönbség Deltas=klambda (k=0,1,2,...), maximális erősítés, ha pedig \Delta s=\left(k-\frac{1}{2}\right)\lambda, akkor maximális gyengítés lép fel. Maximális erősítés esetén tehát

2nt=\left(k+\frac{1}{2}\right)\qquad(k=0,1,2,\dots),

míg maximális gyengítésnél pedig

2nt=klambda      (k=0,1,2,...)

teljesül. A k paramétert az interferencia rendjének nevezzük.

A szappanhártya t vastagságát k és lambda függvényében a fenti összefüggéseknek megfelelően táblázatba rendezhetjük.

színhullámhossz ()hártyavastagság (t)
maximális erősítésmaximális gyengítés
k=0k=1k=0k=1k=2
piros680 nm120 nm362 nm0 nm241 nm482 nm
narancs590 nm104 nm314 nm0 nm209 nm418 nm
sárga580 nm103 nm309 nm0 nm206 nm411 nm
zöld530 nm94 nm282 nm0 nm188 nm376 nm
kék470 nm83 nm250 nm0 nm167 nm333 nm
lila405 nm71 nm215 nm0 nm144 nm287 nm

A táblázatból látszik, hogy tlllambda esetén az interferencia minden hullámhosszra gyengítést ad, ezért a hártyát ekkor feketének látjuk. Ez az úgynevezett Newton-féle fekete hártya. Más hártyavastagságok interferenciaszínét is megbecsülhetjük. Milyen színű lesz a hártya például tapprox370 nm esetén? 362 nm-nél a piros színben maximális erősítés, 376 nm-nél zöld színben maximális gyengítés van - így 370 nm-nél a zöld szín komplementerét (kiegészítő színét), a pirosat fogjuk látni. Mivel piros színben még erősítés is fellép, ezért ilyen vastagság mellett a hártya élénk piros színben fog pompázni. Ez csak becslés, hiszen nem vettük figyelembe a fehér fény többi komponensének hatását.

Pontosabb adatokat a szappanhártya felületéről visszavert fény intenzitásának mérésével kaphatunk. Lawrence a következő táblázatba foglalta össze mérési eredményeit [2]:

színrendhártyavastagság
fekete06-12 nm
ezüstfehér0150 nm
borostyánsárga0?
bíborvörös0201 nm
lila1216 nm
kék1250 nm
zöld1290 nm
sárga1322 nm
narancs1348 nm
karmazsinpiros1371 nm
bordó2396 nm
kék2410 nm
kék2428 nm
smaragdzöld2466 nm
sárgászöld2502 nm

A hátsó belső borítón egy függőleges helyzetű szappanhártya különböző időpontokban készített fényképfelvételei láthatók. Az oldat az első (méz nélküli) recept szerint készült, és a hártyán (amely akár 5-6 órán át is megmaradhat) látványos színes csíkrendszer alakult ki. A legutolsó (legkésőbb) készült fényképen látható hártya teteje már annyira elvékonyodott, hogy ott hullámhossztól függetlenül csak a nulladrendű kioltás feltétele teljesül (Newton-hártya), emiatt az koromfekete.

A hártya vastagsága - amely időben és térben (a magasság szerint) egyaránt változik - a fenti táblázatok alapján megbecsülhető. Vajon megjósolható-e, hogy bizonyos idejű (például 3 óra) várakozás után - feltételezve, hogy ,,él'' még - milyen színű lesz a hártya? A kérdés megválaszolásához vizsgáljuk meg kicsit részletesebben a hártya elvékonyodásának folyamatát!

Függőleges helyzetű hártyában a folyadék saját súlyának hatására lefelé áramlik. Ennek eredményeképpen a hártya vastagsága felülről lefelé fokozatosan nő. Hogyan becsülhető meg a változás? Ha figyelmen kívül hagyjuk a párolgás hatását, akkor - a hártya felületét két merev falnak gondolva - lényegében párhuzamos síklemezek közti viszkózus folyást kell vizsgálnunk [3]. A folyadék belsejében súrlódás van, így a gyorsabban mozgó folyadékrétegek a szomszédos, lassabban mozgó rétegeket gyorsítani, az utóbbiak pedig a gyorsabban mozgó rétegeket lassítani igyekeznek. A gyorsító illetve lassító erőket a Newton-féle súrlódási törvény írja le [1].

2. ábra

Jelöljük x-szel a szappanhártya közepétől mért távolságot, v(x)-szel az x helyen a folyadék sebességét ( 2. ábra). Tekintsük a hártya közepétől x távolságra lévő két - szimmetrikusan elhelyezkedő - vékony folyadékréteget. A két folyadékréteg között elhelyezkedő 2x széles folyadékoszlopra felírva Newton mozgástörvényét, a következőt kapjuk:

mg+2Fs=ma.

A Newton-féle súrlódási törvénynek megfelelően az egyik (x távolságra lévő) folyadékréteg által a folyadékoszlopra ható erő F_{s}=\eta
A\frac{\Delta v}{\Delta x}. Egyenletes áramlást feltételezve a=0, ezért

mg+2\eta A\frac{\Delta v}{\Delta x}=0,

ahol A a besatírozott rész területe, eta a folyadék viszkozitása, m pedig a varrho sűrűségű folyadékoszlop tömege: m=Vrho=2xArho. Így

\rho2xAg+2\eta A\frac{\Delta v}{\Delta x}=0,

ahonnan x\Delta x=\Delta\left(\frac{x^2}{2}\right) felhasználásával

rhoxgDeltax=-etaDeltav

adódik. A fenti kifejezést összegezve x' távolságtól a hártya széléig, figyelembe véve, hogy a folyadék sebessége a merev fal mentén nulla, a következőt kapjuk:

\sum_{x'}^{t/2}\rho xg\Delta x=\sum_{v(x')}^0-\eta\Delta v,

\frac{1}{2}\rho g\left(\frac{t^2}{4}-x'^2\right)=v(x')\eta

összefügés adódik, amelyből v(x') sebesség kifejezhető:

v(x')=\frac{\rho g}{8\eta}(t^2-4x'^2).

A sebesség ismeretében már könnyen kiszámítható a hosszegységre eső folyadék-hozam, vagyis a hártya egységnyi széles szakaszán időegység alatt átfolyt folyadék Q térfogata. Vizsgáljuk a hártya középétől x távolságra lévő Deltax vastag folyadékrétegeket. Legyen a hártya l széles. Ekkor az időegység alatt átfolyt folyadék mennyisége a kérdéses szakaszokon:

DeltaI=2v(x)lDeltax,

a teljes hozam tehát:

I=\sum_0^{t/2}2v(x)l\Delta x=2l\sum_0^{t/2}\frac{\rho
g}{8\eta}(t^2-4x^2)\Delta x=\frac{\rho g}{12\eta}t^3l.

Ebből a Q=\frac{I}{l} miatt

Q=\frac{\rho g}{12\eta}t^3.

A hozam tehát a hártya vastagságának köbével arányos, de mivel a vastagság helyről helyre és időben is változik, t=t(z,tau), és így a hozam is hely- és időfüggő lesz: Q=Q(z,tau). (tau a hártya létrehozása óta eltelt időt jelöli.) Ha a z tengelyt lefelé irányítjuk, és képezzük a Q=Q(z+Deltaz,tau)-Q(z,tau) különbséget, az nyilván megadja egy Deltaz vastagságú sávból kifolyó többletfolyadék térfogatát. Ennek folyadékhiánynak együtt kell járnia a hártya elvékonyodásából származó térfogatcsökkenéssel, ami viszont a t(z,tau)-t(z,tau+Deltatau) különbséggel arányos. A kétféle módon kiszámított térfogatváltozás egyenlősége meghatározza a falvastagság változási ütemét, és (itt most nem részletezhető számítás után) a következő eredményre vezet:

t=\sqrt{\frac{4\eta}{\rho g}\cdot{z\over\tau}}, azaz z=\frac{\rho
g}{4\eta}t^2\tau.

Közvetlenül a hártya képződése után (tau=0-kor) a hártya vastagsága formálisan végtelen, ami arra figyelmeztet, hogy ekkor a levezetés során alkalmazott megfontolások valamelyike nem érvényes. Később, amikor a számítás eredményét elfogadhatónak tartjuk, z\propto t^2, tehát a szappanhártya keresztmetszete parabola alakot ölt.

Elméleti megfontolásainkat ellenőrizhetjük az intenzitásméréssel kapott táblázat segítségével, amelyből a szappanhártya vastagsága megbecsülhető. A mérési adatokból jól látszik, hogy a hártya keresztmetszete az idő múlásával egyre inkább felveszi a parabola alakot, habár az elméleti számítások szerint a hártyának körülbelül kétszer-háromszor olyen vastagnak kellene lennie, mint a ténylegesen megfigyelt.

Buborékokkal is végezhető hasonló kísérlet, de ott a színek változását már sokkal nehezebb megfigyelni, mert a buborék egyben tükörként is működik: leképezi a környezetét. A fém teásdobozos kísérletnél a doboz belsejének tükröző hatását elkerülhetjük, ha matt fekete papírral béleljük ki.

Jó kísérletezést!

Irodalom

[1] Budó Á.: Kísérleti fizika I, III, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986.

[2] A. S. C. Lawrence: Soap Films, Bell, 1929.

[3] K. Mysels, K. Shinoda, S. Frankel: Soap Films. Studies of their thinning, Pergamon Press, London, 1959.

[4] Rajkovits Zs. - Főzy I.: Színes szappanhártyák, Természet világa, 1992/május.

Zs. Rajkovits: Soap Films and Soap Bubbles in Physics Education, Physics & Technology Quest, 1997 December.

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap