KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. január 10-én LEJÁRT.


K. 61. Egy Loire menti kastély 20×10 méteres téglalap alakú parkjában egy 1 méter széles szögletes ,,spirálút'' vezet a kert belsejébe. A kastély ura minden reggel végigsétál a csigavonalú sétányon (az út közepén halad, és mindig derékszögben fordul) a csigavonal legvégéig, ott meglocsolja az 1×1 méteres virágágyban levő fehér margarétáit, majd visszasétál. Mekkora utat tesz meg ezalatt?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 62. Zsófi logikai játékában 9 db, egy négyzet alakú falapba illesztett, különböző színű farúdra kell kilenc piros, kilenc zöld és kilenc kék, alakra egyforma fakarikát felhelyezni. (A rudak elrendezése felülnézetben látható az ábrán.) Helyes elrendezés akkor keletkezik, ha minden rúdon három különböző színű karika van, valamint ha mindhárom szinten az ábrán nyíllal jelölt irányokban három különböző színű karikát találunk. Hányféle helyes elrendezése létezik a karikáknak? (Két elrendezés akkor számít különbözőnek, ha legalább az egyik rúdon a két elrendezésben a karikák más sorrendben követik egymást.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 63. Az háromszögben X az AB, Y az AC oldal felezőpontja; BY és CX metszéspontja S. Mutassuk meg, hogy:

a) az SBX és az SCY háromszögek területe egyenlő;

b) az SBC háromszög és az AXSY négyszög területe egyenlő.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 64. Adjuk meg két egész szám hányadosaként az alábbi összeget:


\frac{4}{1989\cdot 1993}+\frac{4}{1993\cdot 1997}+\frac{4}{1997\cdot 2001}+\frac{4}{2001\cdot
2005}

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 65. A valós x számra x+\frac{1}{x}=5. Határozzuk meg az x^2+\frac{1}{x^2} és az x^3+\frac{1}{x^3} pontos értékét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 66. A karácsonyfán már csak 5 szem szaloncukor van: két zselés és három marcipános, de az ízük a csomagoláson nem látszik. Hanga elhatározta, hogy minden nap meg fog enni egyet közülük. Mi a valószínűbb: hogy a harmadik napon eszi meg a második zseléset, vagy hogy a negyedik napon a harmadik marcipánosat?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. január 16-én LEJÁRT.


C. 830. Lord Moneybag így szólt az unokájához: ,,Bill, figyelj jól! Mindjárt itt a karácsony. Magamhoz vettem egy 300 és 500 font közötti összeget, mégpedig 6 font egész számú többszörösét. Kapsz belőle 5 fontot 1 fontosokban. Amikor egy-egy fontot átadok neked, a nálam maradt összeg először osztható lesz 5-tel, majd 4-gyel, azután 3-mal, majd 2-vel, végül csak 1-gyel és önmagával. Ha megmondod, hány font van nálam, még egy tízes üti a markodat.'' Mennyi pénzt vett magához a lord?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 831. Mennyi azoknak a háromjegyű számoknak az összege, amelyeknek minden számjegye páratlan?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 832. Adott a koordinátarendszerben három pont: A(2;1), B(3;4), C(2;11). Igazoljuk, hogy az OB félegyenes felezi az AOC szöget.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 833. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle és magassága is 40 cm. Az oldallapokon szeretnénk egy vonalat rajzolni az alaplap egyik csúcsából az alaplap átellenes csúcsába. Milyen hosszú a legrövidebb ilyen vonal?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 834. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\sin2x}=\frac{2}{\sin4x}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. január 16-én LEJÁRT.


B. 3862. Hányféleképpen lehet elhelyezni a 8×8-as sakktáblán 32 huszárt úgy, hogy semelyik kettő ne támadja egymást?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3863. Mutassuk meg, hogy az


1^{2006}-2^{2006}+3^{2006}-4^{2006}+\ldots-2004^{2006}+2005^{2006}

szám osztható 1003-mal. Osztható-e 2006-tal is?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3864. Az ABCD húrnégyszögben AC=BC. A C pont merőleges vetülete az AD és BD egyenesekre E, illetve F. Mutassuk meg, hogy AE=BF.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3865. Az AB1C1 és AB2C2 háromszögek hasonlók és a körüljárási irányuk is megegyezik. A B1B2 és C1C2 egyenesek az A-tól különböző D pontban metszik egymást.

(a) Mutassuk meg, hogy az AB1B2 és AC1C2 háromszögek hasonlók.

(b) Igazoljuk, hogy az AB1C1 és AB2C2 háromszög körülírt köre átmegy a D ponton.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3866. Egy kör AB ívének melyik P pontjára maximális az ABP háromszög kerülete?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3867. Legyen az n olyan pozitív egész szám, amelyre 4n+2n+1 prímszám. Bizonyítsuk be, hogy n a 3-nak egész kitevőjű hatványa.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3868. Ismeretes, hogy cos 2x előáll cos x polinomjaként:

cos 2x=2cos2x-1.

Előállítható-e sin 2x a sin x polinomjaként?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3869. Az ABC hegyesszögű háromszög belsejében, az A csúcsból induló szögfelezőn felvettük az M pontot. Az AM, BM, CM egyeneseknek a körülírt körrel való második metszéspontja rendre A1, B1 és C1. Az AB és a C1A1 egyenesek az L pontban, az AC és a B1A1 egyenesek az N pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az LN szakasz párhuzamos BC-vel.

Javasolta: Bodnár János, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3870. Az F1 és F2 fókuszú ellipszisnek P a nagytengely végpontjaitól különböző pontja. Mutassuk meg, hogy


\mathop{\rm tg} \frac{PF_1F_2\sphericalangle}{2}\cdot \mathop{\rm tg} \frac{PF_2F_1\sphericalangle}{2}

értéke nem függ P-től.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3871. Oldjuk meg az x2-x-1=2x-log2(x2+2x) egyenletet a pozitív számok körében.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. január 16-én LEJÁRT.


A. 386. Egy O középpontú derékszögű hiperbolának rajzoljuk meg az egyik ágát, és azon válasszunk ki egy tetszőleges P pontot. A P középpontú, 2OP sugarú kör messe a hiperbolaágat a Q és R pontokban. Igazoljuk, hogy QPR\sphericalangle=120^\circ.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 387. Van n látszólag egyforma golyónk, ami közül tudjuk, hogy az egyik radioaktív; ezt a golyót szeretnénk megtalálni. Egy radioaktivitást jelző műszer segítségével a golyók egy tetszőleges részhalmazáról el tudjuk dönteni, hogy a radioaktív golyó köztük van-e.

Olyan mérési stratégiát szeretnénk választani, amelyre a szükséges mérések számának várható értéke a lehető legkisebb. Határozzuk meg ezt a legkisebb lehetséges várható értéket.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 388. Az ABCDEF hatszögben AB=BC, CD=DE és EF=FA. Bizonyítsuk be, hogy


\frac{AB}{BE}+\frac{CD}{DA}+\frac{EF}{FC}\ge\frac32.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley