KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. december 11-én LEJÁRT.


K. 97. A Sárkány utcában 7 ház van, 1-től 7-ig számozva. Kihor Dani postás a múlt héten minden nap két házba kézbesített levelet. Az utcában levő házak közül kettőbe egyik nap sem vitt küldeményt, a többibe viszont kétszer is. A házszámok összege, ahol Dani a hét egyes napjain járt: hétfőn 5, kedden 8, szerdán 9, csütörtökön 13, pénteken 7. (Szombaton és vasárnap nincs posta.) Melyik két ház nem kapott levelet a héten?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 98. Az egyik évben január 1-je nem esett hétvégére, december 31-e viszont igen. A tanév szeptember 1-jén kezdődött. Ez a nap a hét melyik napjára esett?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 99. Egy dobozba három különböző csokoládéból 16 darabot csomagolnak. Az ábra mutatja a különböző csokoládék elhelyezkedését.

Az első sorban a négy csokoládé tömege 14 dkg, a második sorban 11 dkg, az első oszlopban pedig 10 dkg. Hány dekagramm csokoládét vásárolunk, ha megvesszük mind a tizenhatot?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 100. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:


x^2+6+\frac{1}{x^2}=4x+\frac{4}{x}.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 101. Gyuri 17 évvel idősebb Annánál. Ha Anna életkora mögé írjuk Gyuri életkorát, egy négyjegyű négyzetszámot kapunk. Tizenhárom év múlva ugyanezt mondhatjuk el. Hány évesek most?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 102. Az 1 m2-es asztallapra leraktunk négy darab 32 dm2-es és kettő darab 21 dm2-es kartonlapot. Ezek egyike sem lóg le az asztalról. Igaz-e, hogy van két olyan kartonlap, amelyek legalább 4 dm2-en fedik egymást?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.


C. 870. Egy autókereskedő átlagosan napi 7 autót adott el egy bizonyos időszakban. A leggyengébb forgalmú napot figyelmen kívül hagyva, a fennmaradó napokon átlagosan értékesített autók száma 8. A legerősebb napot nem számítva ez a szám 5. Végül, ha sem a leggyengébb, sem a legerősebb napot nem vesszük figyelembe, akkor a napi átlag 5,75-nak adódik.

Hány autót adott el a kereskedő ebben az időszakban?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 871. Igazoljuk, hogy ha az


\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} +\frac{y^2}{(y-x)(y-z)} +\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}

kifejezés értelmezve van, akkor értéke független az x, y és z változók értékétől.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 872. Egy 12 cm sugarú negyedkörlapból kivágunk az egyik határoló sugara fölé, mint átmérő fölé rajzolt félkört. Az így kapott síkidomba rajzolt legnagyobb körnek mekkora a sugara?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 873. Milyen valós x-ek esetén lesz a


\sqrt{2\sin x}-\sin x

kifejezés értéke a legnagyobb?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 874. Egy 3 m oldalú négyzet alapú újságos pavilon tetőszerkezete két egymást átható szabályos háromoldalú hasáb, amelyek egy-egy oldallapja a mennyezettel esik egybe. (A két hasáb egymáshoz képest 90o-kal el van forgatva.) Mekkora a tetőfelület nagysága?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.


B. 3942. Melyek azok a kétjegyű páros \overline{ab} számok, amelyek ötödik hatványa \overline{ab}-re végződik?

(Tanárképző főiskolák matematika versenye, 1973)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3943. Az ABCD trapéz átlói az M pontban metszik egymást. Az ABM és CDM háromszögek területe 18, illetve 50 egység. Mekkora a trapéz területe?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3944. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (x;y) valós számpárokat, amelyekre


\frac{x}{y}+\frac{1}{x}+y \ge \frac{y}{x}+\frac{1}{y}+x.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3945. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x3+y3+z3=8,

x2+y2+z2=22,

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{z}{xy}=0.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3946. A hegyesszögű ABC háromszög C-ből induló szögfelezője messe a szemközti oldalt az F pontban. Az F-ből a BC, illetve CA oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre P és Q. Legyen M az AP és BQ egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy AB és CM merőleges egymásra.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3947. Egy körhöz egy külső P pontból húzott érintő szakaszok hossza legyen h, az érintési pontokat összekötő szakasz felezőpontja F. Bizonyítsuk be, hogy a kör egy AB húrjára AP.PB=h2 pontosan akkor teljesül, ha az AB egyenes illeszkedik a P vagy az F pontra.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3948. A valós a, b számokra teljesül, hogy a2+4b2=4. Milyen nagy lehet 3a5b-40a3b3+48ab5?

Javasolta: Horváth Zoltán, Veresegyház

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3949. Az n milyen pozitív egész értékeire van olyan egyszerű gráf, amelynek minden csúcsa legfeljebb n-edfokú és minden 1\lei\len esetén i darab i-edfokú csúcsa van?

Javasolta: Mészáros Gábor, Kemence

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3950. Legyen a H a 2006-nál nem nagyobb pozitív egészek halmaza: H={1,2,...,2006}. Jelölje D a H halmaz azon részhalmazainak a számát, amelyekben az elemek összegét 32-vel osztva 7-et kapunk maradékul, és jelölje S a H halmaz olyan részhalmazainak a számát, amelyekben az elemek összegét 16-tal osztva 14-et kapunk maradékul. Igazoljuk, hogy S=2D.

(OKTV feladat nyomán)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3951. Tegyük fel, hogy a, b, n, k pozitív egészek, n páratlan, p páratlan prímszám, és an+bn=pk. Igazoljuk, hogy az n a p-nek nemnegatív egész kitevős hatványa.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT.


A. 410. Az ABC háromszög belső szögfelezői a BC, CA, AB oldalakat rendre az A1, B1, illetve C1 pontokban metszik. A C1 pont merőleges vetülete az A1B1 egyenesre F. Mutassuk meg, hogy az FC1 egyenes felezi az AFB szöget.

(5 pont)

statisztika


A. 411. Legyenek x_1,x_2,\ldots,x_n pozitív valós számok, amikre teljesül, hogy


\frac1{x_1+1}+\frac1{x_2+1}+\ldots+\frac1{x_n+1}=1.

Igazoljuk, hogy \root{n}\of{x_1x_2\ldots x_n}\ge n-1.

Vietnami versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 412. Legyen t irracionális szám, és tetszőleges x, y egész számokra legyen


f(x,y) = \cases{
1, & \text{ha \ } \{tx\}>\{ty\}; \\
0, & \text{ha \ }\{tx\}\le\{ty\}.
}

Az f(x,y) függvény többféleképpen is felírható u(x)+v(y)+w(x-y) alakban, ahol az u, v és w függvények az egész számokhoz rendelnek valós számokat. Bizonyítsuk be, hogy

(a) Az f függvénynek létezik olyan felírása, amikor u, v és w is korlátos;

(b) Létezik olyan felírás, amikor u, v és w is csak egész értékeket vesz fel;

(c) Nincs olyan felírás, amikor u, v és w is korlátos és csak egész értékeket vesz fel.

Javasolta: Keleti Tamás (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley