KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.


C. 895. A képen látható ábrasorozat egyre több sötét szabályos háromszögből készült. A látható szabálynak megfelelően elkészítjük az első n db ábrát. Hány sötét háromszöget használtunk fel összesen?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 896. A koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcspontjai: A(0;4), B(3;0), C(c;6). A háromszög területe 7. Mekkora a c, ha tudjuk, hogy 0<c<3 ?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 897. Egy egységnyi oldalú rombusz hegyesszöge 60o. Hány olyan körvonal van, amelytől a rombusz csúcsai egyenlő távolságra vannak? Mekkora a körök sugara?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 898. Az ABC szabályos háromszög oldalainak hossza 6 cm. A háromszög C csúcsából kiindulva egy bogár egyenletesen mozog az A csúcs felé 4 mm/s sebességgel. Ugyanakkor a B csúcsból is elindul egy bogár a C csúcs felé 3 mm/s sebességgel. Az indulásuktól számítva mennyi idő múlva lesznek egymáshoz a legközelebb, és mekkora ez a távolság?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 899. A v valós paraméter milyen értéke esetén nincs megoldása az

x+y+z=v,    x+vy+z=v,    x+y+v2z=v2

egyenletrendszernek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.


B. 3992. Néhányan paintball-ütközetet vívnak egymással. Egy adott helyzetben egymástól való távolságaik mind különbözők. Ekkor mindenki rálő a hozzá legközelebb álló emberre. Legfeljebb hányan lőhetnek ugyanarra az emberre?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3993. Egy valós számsorozat bármely 5 egymást követő tagjának összege pozitív, bármely 7 egymást követő tagjának összege negatív. Milyen hosszú lehet a sorozat?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3994. Határozzuk meg az összes olyan n nemnegatív egész számot, amelyhez találhatók olyan a és b egész számok, hogy n2=a+b és n3=a2+b2.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3995. Az A, B, C, D pontok ebben a sorrendben egy egyenesre esnek. Az egyenes egyik oldalán rajzoljuk meg az ABE és CDF szabályos háromszögeket. Legyen G az ACE és BDF körök metszéspontja az ABCD egyenes ugyanazon oldalán. Igazoljuk, hogy AGD\sphericalangle
=120^\circ.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3996. Van egy téglalap alakú papírlapunk. Ebből húszszögeket szeretnénk előállítani a következő eljárással. Minden lépésben kiválasztunk egy darab papírt (ez kezdetben csak a kiinduló papírlap lehet), és azt egy egyenes vonal mentén kettévágjuk. Ezt az eljárást folytatva, legalább hány vágásra van szükség, hogy legalább száz darab húszszöget kapjunk?

Német versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3997. Igazoljuk, hogy ha az x, y, z valós számok szorzata 1, akkor

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x+y+z).

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3998. Egy a, b, c élű téglatestnek kiválasztjuk a P csúcsát. A P-vel szomszédos csúcsokon át fektetünk egy síkot, jelölje a sík P-től való távolságát m. Bizonyítsuk be, hogy


\frac{1}{m^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3999. Egy egységgömbbe szabályos dodekaédert írunk, és megrajzoljuk a gömb középpontjából a dodekaéder csúcsaiba mutató vektorokat. Mi ezeknek a vektoroknak az összege?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4000. Határozzuk meg x2+y2 legkisebb lehetséges értékét, ha x és y valós számok, x\ne0 és

xy(x2-y2)=x2+y2.

Brit versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4001. Három barátnő, Xénia, Yvett és Zita egy napon egymástól függetlenül, véletlenszerűen választott időpontban betérnek egy-egy órára a déltől este 8-ig nyitvatartó internetes kávézóba. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárman összefutnak?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.


A. 425. Igazoljuk, hogy ha n\ge2, továbbá a_1,a_2,\ldots,a_n, x_1,x_2,\ldots,x_n pozitív valós számok, amelyekre a_1+\ldots+a_n=x_1+\ldots+x_n=1, akkor


2\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j \le \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i}\,.

Lengyel versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 426. Tetszőleges a, b, c pozitív számok esetén mekkora a legnagyobb kör sugara, ami illeszkedik az


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

ellipszoidra?

Cseh versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 427. Egy papírlap szélére 2007 ,,fület'' ragasztunk. A fülek egy-egy hosszú papírcsíkból állnak, amelyek keresztezhetik egymást, de egyikük sem csavarodhat meg. Igazoljuk, hogy az így keletkezett felületnek legalább két határgörbéje van. (Például az ábrán látható felületnek három határgörbéje van.)

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley