KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


C. 900. Egy különböző számjegyekből álló háromjegyű szám 75%-a ugyanazokból a számjegyekből áll, mint az eredeti, de egyik sem marad a helyén. Melyik ez a szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 901. Az ABCD téglalap területe 100\sqrt5. Jelölje P az AB oldal A-hoz közelebb eső ötödölő pontját. Tudjuk, hogy a PD szakasz merőleges az AC átlóra. Számítsuk ki a téglalap kerületét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 902. A K kört belülről érinti a fele akkora sugarú k kör. Szerkesszünk K-ban olyan húrt, amely merőleges a két kör középpontját összekötő egyenesre, és amelyet a k-val alkotott metszéspontjai három egyenlő részre osztanak.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 903. Határozzuk meg a


\sqrt{x-2}+2\sqrt{3-x}

kifejezés legnagyobb értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 904. Mekkorák az \alpha és \beta hegyesszögek, ha igaz rájuk a következő egyenletrendszer?

2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,

\mathop{\rm tg} \beta & =3\mathop{\rm tg} \alpha.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


B. 4002. Bizonyítsuk be, hogy minden n>1 egész számhoz található olyan egészekből álló a_1=n<a_2<a_3<\ldots sorozat, amelyre minden k esetén a_1^2+\ldots+ a_k^2 osztható az a_1+\ldots+a_k számmal.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4003. Adottak a síkon a P_1,P_2,\ldots,P_{2007} pontok, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy minden 1\lei\le2007-re páros sok olyan PjPkPl háromszög létezik, amelynek Pi belső pontja.

Brit versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4004. Az ABC szabályos háromszög A csúcsának a szemközti oldalra vonatkozó tükörképe A'. Egy, az A'-n átmenő egyenes az AB és AC egyeneseket rendre a C', illetve B' pontokban metszi. Mi a BB' és CC' egyenesek metszéspontjának mértani helye?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4005. Minden pozitív egész n esetén jelölje an azt, hogy n hányféleképpen állítható elő az 1, 3, 4 számok valahány példányának összegeként, ha a tagok sorrendje is számít. Igazoljuk, hogy a2006a2007a2008 köbszám.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4006. Az a, b, c oldalú háromszögben a+b=2c. Igazoljuk, hogy a háromszög beírt és körülírt körének középpontja, valamint az a és a b oldal felezőpontja egy körön van.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4007. Legyen A, B, C, D négy különböző pont a térben. A PQ szakaszt úgy ,,mozgatjuk'' át AB-ből DC-be, hogy eközben minden pillanatban P az AD szakasznak, Q pedig a BC szakasznak ugyanolyan arányú osztópontja. Ekkor a PQ szakasz egy felületet ír le. Bizonyítsuk be, hogy ugyanez a felület jön létre akkor is, ha egy RS szakaszt mozgatunk hasonlóképpen AD-ből BC-be.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4008. Bizonyítsuk be, hogy


\mathop{\rm ctg} 70^{\circ} + 4 \cos 70^{\circ} = \sqrt{3}.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4009. Az ABC háromszög A és B csúcsából induló szögfelezője a szemközti oldalakat A1-ben, illetve B1-ben metszi. Az A1B1 félegyenesnek a háromszög körülírt körével alkotott metszéspontja P. Bizonyítsuk be, hogy


\frac{1}{PA} = \frac{1}{PB} + \frac{1}{PC}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4010. A p(x) és q(x) valós együtthatós polinomok semmilyen valós x esetén nem veszik fel ugyanazt az értéket, és minden x-re

p(q(x))=q(p(x)).

Igazoljuk, hogy a p(p(x)) és a q(q(x)) polinomok sem vesznek fel ugyanolyan értéket semmilyen x-re.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4011. A 2007 lakosú Egyesületfalva lakói nagyon szeretnek klubokat alakítani. A település polgármestere a következő szabályokat hozza:

(1) minden klubnak pontosan 101 taggal kell rendelkeznie, és

(2) két különböző klubnak nem lehet azonos a tagsága.

A város szenátusában mindegyik klubot az egyik tagja képviseli, és a törvény szerint semelyik két klubnak nem lehet ugyanaz a személy a képviselője. A jogi bizottság úgy szeretné korlátozni a klubok számát, hogy azok bárhogyan is alakuljanak a szabályok betartásával, mindig lehessen törvényesen képviselőket találni. Legfeljebb hány klub megalakítását engedélyezheti a bizottság?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


A. 428. Egy konvex rácssokszög minden csúcsának x és y koordinátája is a [0,n] intervallumba esik. Mutassuk meg, hogy a csúcsok száma kevesebb, mint 100n2/3.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 429. Határozzuk meg mindazokat az egész együtthatós f(x) és g(x) polinomokat, amikre

f(g(x))=x2007+2x+1.

Javasolta: Gyarmati Katalin (Dunakeszi)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 430. Legyen n\ge2 és u_1=1,u_2,\ldots,u_n legfeljebb 1 abszolút értékű komplex számok, továbbá legyen

f(x)=(x-u1)(x-u2)...(x-un).

Igazoljuk, hogy az f'(x) polinomnak létezik olyan komplex gyöke, aminek a valós része nemnegatív.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley