Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. január 10-én LEJÁRT.

K. 145. Karcsi egy föld körüli utat tervez a terepjárójával, melynek során $42\;000$ km-t fog szárazföldön megtenni. Egy gumi az autókeréken (bármely pozícióban) $24\;000$ km-t bír ki. Hány gumit kell vennie, hogy végig tudja járni az utat? Adjuk meg azt is, hogyan kell ezeket az autóra felhelyeznie, hogy meg tudja tenni a teljes távolságot.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 146. Kati kétszer olyan gyorsan fut, mint sétál. Iskolába menet kétszer annyi ideig sétál, mint fut, így 20 perc alatt ér az iskolába. Hazafelé kétszer annyi ideig fut, mint sétál. Hány perc alatt ér haza?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 147. Egy árleszállítási akcióban egy eredetileg $4\;200\;000$ Ft-os autót $2\;310\;000$ Ft-ért adtak el. Ugyanebben az akcióban (ugyanennyi százalékos engedménnyel) egy másik autót $146\;000$ Ft-tal kevesebbért adtak el, mint a teljes árának 3/5 része. Hány forintba került eredetileg ez utóbbi autó?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 148. Anna, Bea, Cili, Dóra, Emese és Fanni moziba mennek. A jegyeik hat egymás melletti helyre szólnak. Anna és Bea mindenképpen egymás mellett akarnak ülni, Cili és Dóra pedig semmiképpen sem, mert átmenetileg összezördültek. Hányféleképpen ülhetnek le a lányok a hat egymás melletti helyre ilyen feltételekkel?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 149. Egy négyzetet felosztottunk 30 háromszögre, melyek nem fedik át egymást. A négyzet oldalai egy-egy (különböző) háromszög oldalai. A háromszögek a csúcsaikban találkoznak (azaz egyik háromszög csúcsa sem esik egy másik háromszög oldalának belsejébe). Hány háromszög-csúcs esik a négyzet belsejébe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 150. Melyik az első időpont 8 óra után, amikor a kismutató és a nagymutató ugyanolyan szöget zár be a vízszintessel?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

C. 920. A rétet egyik oldalán egy kb. 50 méteres egyenes szakaszon egy fal határolja. Mehemed szeretné a teheneit villanypásztorral minél nagyobb területű téglalap alakú részen elkeríteni. Hogyan teheti ezt meg, ha 44 méter hosszú drót áll rendelkezésére, amit

a) méterenként,

b) 2 méterenként,

tud a talajhoz rögzíteni? Mekkora az elkerített részek területe az egyes esetekben?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 921. A félév vége előtti utolsó matematika dolgozat kiosztása előtt a tanár a következőt mondta Pistinek, aki 4-es és 5-ös között állt: ,,16-an írtátok meg a dolgozatot. Fél osztályzatokat is adtam. Az osztályzatok terjedelme 2, a módusza 4,5, a mediánja pedig 4. Az összes ilyen lehetőség közül a legrosszabb átlagot érte el a csoport. Ha megmondod, hogy ezek alapján kaphattál-e 5-öst a dolgozatodra, akkor megadom a jelest félévkor.'' Mit válaszolt Pisti, ha megkapta az 5-öst?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 922. Adjuk meg az alábbi egyenlet összes egész megoldását: x²+12=y⁴.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 923. Egy húrtrapéz párhuzamos oldalai a=10, c=15 hosszúak, köré írható körének sugara r=10. Mekkorák lehetnek a szárai? Mekkora a területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 924. Egy bizonyos téglatest két párhuzamos élére illeszkedő téglalap alakú átlós síkmetszet területe háromféle lehet: t₁=60, $t_2=4\sqrt{153}$ , $t_3=12\sqrt{10}$ . Számítsuk ki a téglatest felszínét és térfogatát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

B. 4042. Egy 2007×2008-as sakktáblát egyrétegűen lefedtünk néhány 2×2-es és 1×4-es dominóval. A fölhasznált készlet egy 2×2-es dominóját 1×4-esre cseréljük. Bizonyítsuk be, hogy az új készlettel nem fedhető le a sakktábla.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4043. Mely páronként különböző a, b, c, d pozitív egészek esetén lesz

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}$

értéke egész szám?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4044. Mutassuk meg, hogy egy szabályos sokszög belsejében fekvő pontnak az oldalegyenesektől mért távolságainak átlaga a beírt kör sugarával egyenlő.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4045. Az egység oldalú, szabályos ABC háromszöget úgy mozgatjuk a 120^o-os XOY szög tartományában, hogy az A csúcs az OX szárra, a B csúcs az OY szárra illeszkedik, és az AB egyenes elválasztja egymástól a C és az O pontot. Határozzuk meg a C csúcs mértani helyét.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4046. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

$a\sqrt a+b\sqrt b =183,$

$a\sqrt b+b\sqrt a =182.$

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4047. Véges sok körlap együtt T területű részt fed le a síkon. Mutassuk meg, hogy a körlapok közül kiválaszthatunk néhányat, amelyek nem nyúlnak egymásba, és legalább T/9 területű részt fednek le.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4048. Egy 2n oldalú szabályos sokszög csúcsai rendre $A_1, A_2, \ldots, A_{2n}$ . Bizonyítsuk be, hogy

$\frac{1}{A_1A_2^2} + \frac{1}{A_1A_n^2} = \frac{4}{A_1A_3^2}.$

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4049. Az a, b, c pozitív valós számokra $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ . Bizonyítsuk be, hogy

$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge\frac{1}{a+b+c}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4050. Mutassuk meg, hogy az x³-x²-2x+1=0 egyenletnek van két olyan valós gyöke, a és b, amelyekre a-ab=1.

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4051. Igazoljuk, hogy tetszőleges n pozitív egész esetén $\underbrace{111\ldots1}_{\textstyle 5^n}$ minden osztója 1-esre végződik.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

A. 440. Adott az ABC egyenlő szárú háromszög, amelyben a BC alap felezőpontja M, a D és E pontok pedig az AB, illetve AC szárak belső pontjai úgy, hogy DE párhuzamos BC-vel.

A BC oldal B-n, illetve C-n túli meghosszabbításán vegyük fel a P és Q pontokat úgy, hogy

$\frac1{MP}+\frac1{MQ}=\frac1{MB}$

teljesüljön. A PD és QE egyenesek metszéspontja legyen R. Mi az így kapható R pontok mértani helye?

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 441. Egy $A=(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ sorozatra legyen

$SA=(a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2,\ldots)$

az $a_0+a_1+a_2+\ldots$ sor részletösszegeinek sorozata. Van-e olyan, nem azonosan nulla A sorozat, amelyre az A, SA, SSA, SSSA, ... sorozatok mind konvergensek?

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2007

(5 pont)

A. 442. Egy n²+n-1 elemű halmaz összes n elemű részhalmazát két csoportra osztjuk. Bizonyítsuk be, hogy valamelyik csoportban lesz n páronként diszjunkt halmaz.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2007

(5 pont)

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)