KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. április 10-én LEJÁRT.


K. 163. Egy nyolcfős csoport egy adott munka elvégzéséért 224 000 Ft-ot kap. A csoport vezetője (aki a nyolc fő egyike), az egy főre jutó átlagkeresetnél 7 000 Ft-tal többet kap. Hogyan osztják szét a pénzt a tagok között, ha a vezető kivételével mindenki ugyanannyit kap?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 164. Egy körvonalon felvettünk nyolc pontot, a szomszédos pontok egymástól egyenlő távolságra vannak. Olyan nem egyenlő szárú háromszöget rajzolunk, amelynek mindhárom csúcsa a nyolc pont egyike. Mekkorák lehetnek a háromszög szögei?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 165. Balázs és Zsófi papírcsíkokból karikákat gyártanak, majd ezeket összefűzve láncot készítenek. Mindketten egy 21×30 cm-es papírlapot használnak fel a lánc elkészítéséhez. Balázs a 21 cm-es oldallal párhuzamosan, Zsófi a 30 cm-es oldallal párhuzamosan 1 cm széles csíkokra vágja fel a papírt. A kapott csíkok végeit egymáshoz érintve karikákat ragasztanak össze átfedés nélkül. A karikák láncszerűen kerülnek egymásba úgy, hogy közben nem deformálódnak. Melyikük lánca lett hosszabb? (A kör kerületének számításakor a \pi értékét vegyük 3,14-nak; a papírlap vastagságát vegyük nullának.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 166. Sanyi egybevágó kockákból az alábbi minta szerint induló piramist építi (ragasztóanyagot nem használ, a kockákat egyszerűen csak egymásra, illetve egymás mellé teszi):

A soron következő függőleges réteg mindig két kockányival magasabb az előzőnél, és az ábrának megfelelően lépcsőzetesen halad felfelé mindkét irányból. Sanyi amikor elérte a 10 kockányi magasságot, az előző szabályok szerint két kockányival csökkentve fejezi be a ,,piramist''. Hány kockát használ fel összesen a munkája során?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 167. Dudley Langford skót matematikus tiszteletére nevezzük DudLa-számoknak azokat a számokat, amelyeknek minden számjegye legalább kétszer szerepel a számban, és az is igaz, hogy bármely két ugyanolyan értékű számjegy között annyi darab más értékű számjegy áll, mint amennyi azok értéke. Például ilyen DudLa szám a 723 121 327, mert két 1-es között 1 db, két 2-es között 2 db, két 3-as között 3 db, két 7-es között 7 db tőle különböző értékű számjegy áll. Keressünk minél több hétjegyű DudLa-számot.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 168. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből a számjegyek egyszeri felhasználásával elkészítjük az összes lehetséges hétjegyű számot.

a) Mutassuk meg, hogy a felírt hétjegyű számok közül bármely kettő különbsége osztható 9-cel.

b) Hány olyan különböző számokból álló számpárt találunk a felírt hétjegyű számok között, melyekben az egyik szám osztója a másiknak?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.


C. 935. Feldarabolható-e egy szabályos háromszög

a) 2007,

b) 2008 darab szabályos háromszögre?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 936. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelynek ugyanannyi hattal osztható osztója van, mint ahány hattal nem osztható.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 937. Egy négyszög három oldala rendre a=4\sqrt3, b=9 és c=\sqrt3. Az a és b oldalak által bezárt szög 30o, a b és c oldalak által bezárt szög pedig 90o. Mekkora szöget zárnak be a négyszög átlói?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 938. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számpárok halmazán:

(x+2)4-x4=y3.

Javasolta: Fülöp Dóra (Marcali, Berzsenyi D. Gimn., 11. o. t.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 939. Egy téglalapot, amelynek oldalai 15 cm és 20 cm hosszúak, megforgatjuk egyik átlója körül. Mekkora a kapott forgástest térfogata?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.


B. 4072. Jelölje S(n) az n természetes szám számjegyeinek az összegét. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan nem 0-ra végződő n természetes szám van, amelyre S(n2)=S(n).

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4073. Keressük meg az összes olyan derékszögű háromszöget, amelynek oldalai egész számok, és az átfogóhoz 6-ot hozzáadva a befogók összegét kapjuk.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4074. Adott a síkban egy C pont és egy kör. Legyen AB a kör tetszőleges átmérője. Mi az ABC háromszög magasságpontjának a mértani helye?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4075. Határozzuk meg az f(x)=\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-7} + \sqrt{18-3x} függvény maximumát.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4076. Nóra és Kristóf a következő játékot játsszák: egy adott ABC háromszög AB oldalán Nóra kijelöl egy N1 pontot. Ezután Kristóf választ egy K pontot a BC oldalon. Végül Nóra jelöl meg egy N2 pontot a CA oldalon. Nóra arra törekszik, hogy az N1KN2 háromszög területe a lehető legnagyobb, Kristóf pedig arra, hogy a lehető legkisebb legyen. Mekkora lesz az N1KN2 háromszög területe, ha mindketten a lehető legügyesebben játszanak?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4077. Bizonyítsuk be, hogy bármely konvex rácskilencszögnek van három olyan csúcsa, amelyek által meghatározott háromszög súlypontja szintén rácspont.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4078. Az a és n pozitív egész számokra n>1 és n\mid a^n-1. Igazoljuk, hogy (a-1;n)>1.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4079. Legyen G olyan egyszerű gráf, amelyben a leghosszabb út k\ge3 élből áll, és minden csúcs foka legalább k/2. Mutassuk meg, hogy G-nek minden éle benne van egy körben. (Útnak nevezzük egymáshoz csatlakozó élek egy olyan sorozatát, amely minden csúcsot legfeljebb egyszer érint.)

Javasolta: Héger Tamás (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4080. A körvonalon egymástól függetlenül véletlenszerűen kiválasztunk 3 pontot. Mi annak a valószínűsége, hogy az általuk meghatározott háromszög hegyesszögű?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4081. Bizonyítsuk be, hogy a pozitív egész számok kiszínezhetők 2008 színnel úgy, hogy mindegyik színt felhasználjuk, és valahányszor 3a+5b=7c, akkor a, b és c között van két ugyanolyan színű.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.


A. 449. Legyen az ABCD konvex négyszögben rA, rB, rC és rD a BCD, CDA, DAB, illetve ABC háromszögek beírt körének sugara. Bizonyítsuk be, hogy ABCD akkor és csak akkor húrnégyszög, ha rA+rC=rB+rD.

Kínai feladat

(5 pont)

statisztika


A. 450. Az f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} függvény kielégíti az

f(x+f(y))+f(f(x)+y)=2x+2y

függvényegyenletet. Bizonyítsuk be, hogy minden x valós számra f(2x)=2f(x).

(5 pont)

statisztika


A. 451. Tegyük fel, hogy \mathcal{U} és \mathcal{D} két, az n-elemű S halmaz bizonyos részhalmazaiból álló halmazrendszer a következő tulajdonságokkal.

(a) Bármely X\in\mathcal{U} és X\subsetY\subsetS esetén Y\in\mathcal{U}; más szóval, \mathcal{U} egy felszálló rendszer S-en.

(b) Bármely X\in\mathcal{D} és Y\subsetX esetén Y\in\mathcal{D}, vagyis \mathcal{D} egy leszálló rendszer.

Igazoljuk, hogy


|\mathcal{U}| \cdot |\mathcal{D}| \ge 2^n \cdot |\mathcal{U}\cap\mathcal{D}|.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley