KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. október 10-én LEJÁRT.


K. 169. Négy fiú és négy lány táncolni mentek egy bálba. Az első négy tánc során a négy fiú mindegyike pontosan egyszer táncolt a négy lány mindegyikével, egy-egy táncot teljesen végigtáncolva egymással. Csaba Fannival, Barnabás Helénnel táncolta a bécsi keringőt. Aladár tangópartnere Gabriella, Dávidé Fanni volt. Gabriella Csabával, Enikő Dáviddal mambózott. Ki kivel táncolta az első táncot, az angol keringőt?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 170. Egy hosszú szalagra az ábrán látható, zárt töröttvonalból álló mintát nyomtatták. (Itt csak a szalag elejét és végét szemléltetjük.) A töröttvonal minden szakaszának hossza 1 cm.

a) Lehet-e a szalagon levő minta hossza pontosan 100 cm?

b) Lehet-e a mintában látható szakaszok hosszának összege 2008 cm?

c) Hány cm hosszú részt foglal el a minta a szalagon, ha a minta által határolt terület nagysága 65 cm2?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 171. A 8. évfolyam négy osztálya vett részt az iskolai matematika versenyen. A versenyen minden csapat különböző pontszámot ért el. Az eredményhirdetés előtt az egyik matematikatanár összeadta minden lehetséges módon 2-2 csapat eredményét, és megmondta, hogy a kapott összegek közül a legnagyobb 128, a legkisebb 82. Továbbá azt is megsúgta, hogy a 2. és 3. helyezett csapat között csak 4 pont volt a különbség. Mennyivel gyűjtött több pontot az első helyezett, mint a negyedik helyezett?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 172. Az ábrán látható ,,bűvös hatszögbe'' úgy helyeztük el 1-től 19-ig az egész számokat, hogy minden oszlopban, és minden átlós irányban (a három vagy négy hatszöget jelentő átlós irányokban is) az egymáshoz teljes oldallal csatlakozó kis hatszögekbe írt számok összege ugyanannyi. Töltsük ki az üres hatszögeket a feltételnek megfelelően. Adjuk meg az összes megoldást.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 173. A sakktáblán a lehető legrövidebb úton (a legkevesebb lépéssel) C5-ről H2-re szeretnénk eljutni lóval (lólépésben). Hány lépésből áll a legkisebb lépésszámú út? Adjunk meg 12 ilyen utat.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 174. a) Lehet-e négy egymást követő páratlan szám összege olyan négyjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?

b) Lehet-e öt egymást követő páros szám összege olyan ötjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?

c) Lehet-e nyolc egymást követő páratlan szám összege olyan nyolcjegyű szám, melynek minden számjegye azonos?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.


C. 950. Milyen számrendszerben helyes a következő szorzás?

166.56=8590.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 951. Egy utca páros oldalán a házszámok összege egyik saroktól a másikig 78, ezen a szakaszon legalább 5 ház van. Mennyi lehet a saroktól számított negyedik ház házszáma?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 952. Adott az 5 egység sugarú k kör, és rajta kívül egy P pont. Szerkesszünk a körben olyan 8 egység hosszúságú húrt, amely a P pontból derékszögben látszik.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 953. Egy derékszögű trapézba kör írható. Igazoljuk, hogy a derékszögű szár hossza harmonikus közepe az alapok hosszának.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 954. Péter legtöbbet hallgatott CD-jén tizenegy szám található. Ezek közül a nyolcadikat szereti a legjobban. Amikor a lemezt beteszi a lejátszóba, akkor egy gombbal elindítja az elsőt, majd hétszeri gombnyomással jut el a kedvenc dalhoz. Ha a készülék ,,random'' üzemmódban van, akkor a 11 számot véletlenszerűen összekevert sorrendben hallgathatja meg. Mekkora az esélye annak, hogy így kevesebb gombnyomással jut el kedvenc számához?

Javasolta: Számadó Ágnes

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.


B. 4102. Legyen a és b pozitív egész szám. Lehet-e a2+4b és b2+4a egyszerre négyzetszám?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4103. Adott ABCD téglalap BC és CD oldalán szerkesszük meg a P és Q pontokat úgy, hogy ABPQ olyan deltoidot alkosson, amely szimmetrikus az AP átlóra.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4104. Keressünk olyan a, b, c számokat, amelyekre minden pozitív egész n esetén teljesül az

(n+3)2=a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2

egyenlőség.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4105. A C csúcsú szög egyik szárán az A, a másik szárán a B pont úgy mozog, hogy CA+CB=1. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan pont, amelyen AB felezőmerőlegese mindig áthalad.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4106. Melyek azok az ABCD síknégyszögek, melyekre e sík minden P pontja esetén

PA2+PC2=PB2+PD2

teljesül?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4107. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív számok körében:

x4+y4-x2y2=13,

x2-y2+2xy=1.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4108. Egy háromszög szögfelezői a háromszög köré írt kört a P, Q, R pontokban metszik. Szerkesszük meg P, Q, R ismeretében a háromszöget.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4109. Igazoljuk, hogy


\big(\sqrt{2}+1\big)^{\frac{1}{100}}+ \big(\sqrt{2}-1\big)^{\frac{1}{100}}

irracionális szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4110. Az ABCDEF hatszög és a PQR háromszög úgy helyezkedik el a síkon, hogy az ABRQ, CDPR, EFQP négyszögek téglalapok.

a) Bizonyítsuk be, hogy a BC, DE, FA oldalak felezőmerőlegesei egy ponton mennek át.

b) Mutassuk meg, hogy létezik olyan P'Q'R' háromszög is, amelyre a BCR'Q', DEP'R', FAQ'P' négyszögek téglalapok.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4111. Legyen n pozitív egész szám, a1,a2,...,an pedig páronként különböző egész számok. Igazoljuk, hogy az (x-a_1)(x-a_2) \ldots (x-a_n)-1 polinom nem áll elő két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzataként.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.


A. 458. Adott a térben n+1 pont, P1,P2,...,Pn és Q úgy, hogy közülük semelyik négy nincs egy síkon. Tudjuk, hogy bármely három különböző Pi, Pj és Pk ponthoz található legalább egy olyan Pl pont, amelyre Q az PiPjPkPl tetraédernek belső pontja. Mutassuk meg, hogy n páros.

Bolgár versenyfeladat

(5 pont)

statisztika


A. 459. Legyen Fn az n-edik Fibonacci-szám (F0=0, F1=1, Fk+1=Fk+Fk-1). Mutassuk meg, hogy található olyan pozitív egész n, aminek legalább 1000 különböző prímosztója van, és n osztója Fn-nek.

Javasolta: Csikvári Péter (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A. 460. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges, 2n-nél kisebb fokú p(x) polinomra


|p(n)| \le 2\sqrt{n} \cdot
\max\big(
|p(0)|, |p(1)|, \ldots, |p(n-1)|, 
|p(n+1)|, |p(n+2)|, \ldots, |p(2n)| \big).

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley