KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. december 10-én LEJÁRT.


K. 181. Egy dobozban piros, kék és zöld színű golyók vannak. A dobozból legalább tizenkét golyót kell kivenni, hogy biztosan legyen a kivett golyók közt piros színű, és legalább tizenhetet, hogy a kivettek közt biztosan legyen piros is és zöld is. Tudjuk továbbá, hogy legalább hét golyót kell kivennünk ahhoz, hogy biztosan legyen köztük olyan, ami nem kék. Legalább hány golyót kell kivenni, ha azt szeretnénk, hogy a kivett golyók között legalább két zöld legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 182. Van egy város, ahol mindenki igazmondó vagy hazudós, és őrült vagy normális. Az igazmondók azt mondják, amit gondolnak, a hazudósok az ellenkezőjét mondják annak, amit gondolnak. A normálisak az igazat gondolják, az őrültek az igazság ellenkezőjét gondolják. Négyen, akik ebben a városban laknak, a következőket mondták:

Andi: Őrült vagyok.

Bandi: Igazmondó vagyok.

Szandi: Hazudós vagyok.

Dendi: Normális vagyok.

Andi: Szandi igazmondó.

Bandi: Dendi őrült.

Szandi: Bandi hazudós.

Dendi: Szandi normális.

Állapítsuk meg a négy személyről, hogy melyikük hazudós, illetve melyikük igazmondó, valamint melyikük normális, illetve melyikük őrült.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 183. Két téglalap oldalainak mérőszáma centiméterben mérve egész szám. Az egyik területe 18 cm2, a másiké 7 cm2. Tudjuk továbbá, hogy a kerületeik különbsége 6 cm. Adjuk meg a téglalapok oldalainak hosszát.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 184. Sárinak és Katinak egy feladatban két pozitív egész számot kellett összeszoroznia. Az egyik szám utolsó számjegye a nyomtatásban nem látszott tisztán. Sári 8-asnak olvasta ezt a számjegyet, és a szorzás eredményeként általa kapott érték 904-gyel tért el a helyes eredménytől. Kati 3-asnak olvasta ezt a számjegyet, és a szorzás eredményeként 60\;116-t kapott. Mi lehetett az eredeti feladatban kitűzött szorzás?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 185. Tíz csapat körmérkőzéses futballbajnokságot játszik, azaz minden csapat minden csapattal pontosan egyszer mérkőzik. Egy meccsen a győztes csapat 3, a vesztes 0 pontot kap, döntetlen esetén mindkét csapat 1-1 ponttal gazdagodik. A bajnokság végére a csapatok pontszámának összege 119 lett. Igaz-e, hogy volt olyan csapat, amelyik legalább négy döntetlent játszott?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 186. Adott egy 11×11 cm oldalhosszúságú négyzet. Ezt a négyzetet kell felosztani 5 db téglalapra, melyek oldalainak hossza centiméterben mérve egész szám, és a hosszúságok között 1-10 cm-ig minden lehetséges hossz pontosan 1-szer szerepel. A feladat két különböző téglalap-ötössel oldható meg. Keressük meg mindkét felosztást.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.


C. 960. Egy téglalap alakú papírlapot az egyik átlója mentén összehajtottunk. A hajtás után a négy csúcs egy olyan trapéz négy csúcsába került, amelynek három oldala egyenlő hosszúságú. Mekkora az eredeti téglalap rövidebb oldala, ha a hosszabb 12 cm-es?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 961. A gáz árát az év első felében három alkalommal emelték, rendre 5%-kal, 6%-kal és 10%-kal. Az elemzők azt jósolták, hogy az év során a gáz ára összességében 1/3-ával fog növekedni. Hány százalékos további áremelésre lehet számítani az idén ezek szerint?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 962. Az AC alapú ABC egyenlő szárú háromszög magasságpontja M. Tudjuk, hogy AC=BM. Mekkorák a háromszög szögei?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 963. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:


\sin^2\, (x+y)-\cos^2\, (x-y)=1.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 964. A tavalyi labdarúgó Bajnokok Ligájában először fordult elő, hogy egy nemzetből, Angliából négy csapat (Arsenal, Chelsea, Liverpool és Manchester United) is a legjobb nyolc közé jutott. A legjobb nyolc csapatot vaksorsolással négy párba sorolták, minden párból a győztes jutott a legjobb négy közé.

a) Egyes angol szurkolók azt szerették volna, ha az angol csapatok elkerülik egymást, így lehetőség nyílt volna arra, hogy akár mind a négy csapat a legjobb négy közé jusson. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

b) Más angol szurkolók azt szerették volna, ha két-két angol csapatot összesorsolnak egy párba, hiszen így két csapatuk biztosan bejuthatott volna a legjobb négy közé. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

c) A sorsoláskor végül is két angol csapatot összesorsoltak, a másik kettő nem angol ellenfelet kapott. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

Javasolta: Koncz Levente

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.


B. 4122. Egy egységnégyzetekből álló 5×5-ös sakktábla mezői közül 7 piros, 18 kék. A piros mezők közül kettő a tábla szélén helyezkedik el. Azokat a szakaszokat, amelyek két szomszédos piros mezőt választanak el, szintén pirosra színezzük. A két szomszédos kék mezőt elválasztó szakaszokat pedig kékre színezzük. A többi szakasz, beleértve a tábla szélét is, fekete. Így összesen 35 fekete vonal keletkezik. Mennyi a piros szakaszok száma?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4123. Mi azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolságának négyzetösszege állandó?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4124. Minden négyjegyű szám négyzetgyökét kiszámoltuk, és amennyiben nem egész számot kaptunk, egészre kerekítettük. Felfelé vagy lefelé kerekítettünk többször?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4125. Egy 45o-os szögtartomány belsejében adott két pont. Szerkesszünk olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek alapja a szög egyik szárán, harmadik csúcsa a másik szárán van, és a két pont illeszkedik a háromszög egy-egy oldalára.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4126. Egy kör AB húrjának végpontjaiból bocsássunk merőlegeseket a kör egy A-tól és B-től különböző P pontjában húzott érintőjére, illetve bocsássunk merőlegest P-ből az AB húrra. Bizonyítsuk be, hogy a húrra bocsátott merőleges az érintőre bocsátott merőlegesek mértani közepe.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4127. Oldjuk meg az x5-x3y2-x3y-x2y3+y2=0 egyenletet az egész számok körében.

Javasolta: Somogyi Ákos

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4128. Az ABCD paralelogramma AC átlójának két különböző pontja P és Q. A P-n átmenő AB-vel párhuzamos egyenes a BC és AD oldalakat K-ban és L-ben, a Q-n átmenő BC-vel párhuzamos egyenes pedig az AB és CD oldalakat M-ben és N-ben metszi. Mutassuk meg, hogy a PNM és a QKL háromszögek területe egyenlő.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4129. Az (an) sorozatot a következő rekurzióval definiáljuk: a0=0, a1=1, n>1 esetén pedig an=2an-1+an-2. Igazoljuk, hogy ha 2^k\mid n, akkor 2^k\mid a_n.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4130. Adott véges sok szakasz egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy ha ezeket úgy rendezzük át, hogy bármely két szakasznak a középpontja közelebb kerül egymáshoz, akkor a szakaszok uniójának összhossza nem nő.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4131. Egy 3×3×3-as kockarács egyik sarokkockájába egy egeret teszünk, a középsőbe pedig egy darab sajtot. Az egér bolyong a sajtot keresve: minden lépésben véletlenszerűen lép át valamelyik szomszédos kockába. Várhatóan hány lépésben találja meg a sajtot?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.


A. 464. Legyen H egy halmaz, és P(H) a H részhalmazainak halmaza. Tegyük fel, hogy f és g olyan P(H)\toP(H) függvények, amelyekre tetszőleges X\subsetY\subsetH halmazok esetén f(X)\subsetf(Y)\subsetH és g(X)\subsetg(Y)\subsetH. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan A,B\subsetH halmazok, amikre f(A)=H\B és g(B)=H\A.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 465. Mutassuk meg, hogy ha n pozitív egész, akkor \big[\big(\root3\of{28}-3\big)^{-n}\big] nem osztható 6-tal.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 466. Meg lehet-e adni úgy köröket a síkon, hogy minden egyenes legalább 1-et, de legfeljebb 100-at messen közülük?

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2008

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley