KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.


C. 1035. Egy matematikaversenyen három feladatot tűztek ki. 56 versenyző oldott meg legalább egy feladatot. 2 versenyző volt, aki mindhárom feladatot megoldotta. A harmadik feladatot megoldók közül 10-zel többen oldották meg a másodikat, mint az elsőt. Az elsőt és a másodikat is megoldó versenyzők 10-zel többen voltak, mint akik csak a harmadikat oldották meg. Aki megoldotta az elsőt és a harmadikat is, az a másodikat is megoldotta. Akik csak az első vagy csak a második feladatot oldották meg, összesen 14-en voltak. Hány versenyző oldotta meg a harmadik feladatot?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1036. Hány olyan 11-gyel osztható 9-jegyű szám van a tízes számrendszerben, amelyben a nulla kivételével minden számjegy előfordul?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1037. Egy félkör köré írt egyenlőszárú háromszög alapja az átmérő egyenesére esik, szárai pedig érintik a félkört. Az ilyen háromszögek közül melyiknek legkisebb a területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1038. Legyen a valós számok halmazán értelmezett \mathop{\rm lac}\, (x) függvény hozzárendelési szabálya a következő:


\mathop{\rm lac}\, (x)=
x, & {\rm ha \ } x\in [2n; 2n+1], {\rm \ ahol \ } n\in\mathbb{Z},\quad {\rm vagy} \quad -x+4n+3, & {\rm ha \ } x\in ]2n+1; 2n+2[, {\rm \ ahol \ } n\in\mathbb{Z}.

Oldjuk meg a \mathop{\rm lac}\, (2x^2 + x + 4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2 + 7x -1) egyenletet a valós számok halmazán.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1039. Egy gömb belsejében négy egységsugarú gömb úgy helyezkedik el, hogy mindegyikük érinti ezt a gömböt és a másik három egységsugarú gömböt is. A nagyobb gömb térfogatának hányad részét tölti ki együttvéve a négy egységsugarú gömb?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.


B. 4272. Az (an) sorozat elemei pozitív egész számok és minden n\ge1 esetén an+1=an2+5an+1 teljesül. Lehet-e a sorozat összes tagja összetett szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4273. Adott a síkon hat olyan kör, amelyeknek van közös belső pontjuk. Igazoljuk, hogy a körök között van olyan, amely a belsejében tartalmazza egy másik megadott kör középpontját.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4274. Egy egységnyi területű paralelogramma oldalainak hossza a és b, ahol a<b<2a. Mekkora a paralelogramma belső szögfelezői által határolt négyszög területe?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4275. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}\,. \)

Javasolta: Pintér Ferenc (Nagykanizsa), Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4276. Mutassuk meg, hogy a háromszög bármelyik magassága legfeljebb akkora, mint a közrefogó oldalakhoz tartozó hozzáírt körök sugarának mértani közepe.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4277. Oldjuk meg az egész számok halmazán az \(\displaystyle x^{3}+y^{3}+1=x^{2}y^{2}\) egyenletet.

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4278. Oldjuk meg a

x+y & =a,

\mathop{\rm tg} x\cdot \mathop{\rm tg} y  =b

egyenletrendszert, ahol a és b valós paraméter.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4279. Igaz-e, hogy ha egy tetraéder bármely belső pontjának az oldallapoktól vett távolságösszege állandó, akkor a tetraéder szabályos?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4280. Az ABC háromszög k köréírt körén a C-t tartalmazó AB ív felezőpontja M. Az AB oldalhoz hozzáírt kör középpontja J. A J pontban a CJ szögfelezőre állított merőleges az AC egyenest D-ben, a BC egyenest E-ben metszi. Az MJ egyenes a k kört másodszor F-ben metszi. Igazoljuk, hogy a D, E, F pontokon átmenő kör érinti az AC és a BC egyeneseket, továbbá érinti k-t is.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4281. Valaki gondolt n darab nem feltétlenül különböző egész számra, és egy lapra felírta a belőlük képezhető összes (2n-1 darab) összeget, melyek között a 0 nem szerepelt. Meghatározhatók-e ebből az eredeti számok?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.


A. 509. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan c>0 valós szám, amire a következő tulajdonság teljesül: tetszőleges a_1,a_2,\ldots,a_n páronként különbőző pozitív egészek (n\ge3) között van három olyan, amelyek legkisebb közös többszöröse legalább c.n2,99.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 510. Adott egy n pozitív egész, és adott néhány egyenes a síkban úgy, hogy egyik egyenes sem megy át a (0,0) ponton, és minden olyan (a,b) rácsponton, ahol 0\lea,b\len egészek és a+b>0, az egyenesek közül legalább a+b+1 átmegy. Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek száma legalább n(n+3).

(5 pont)

statisztika


A. 511. Mutassuk meg, hogy tetszőleges n, k pozitív egészekhez létezik olyan, legfeljebb 100\sqrt{nk}-adfokú p(x) polinom, amelyre


p(0) > \big( \big|p(1)\big|+\ldots+\big|p(n)\big| \big) +
\big(\big|p(-1)\big|+\ldots+\big|p(-k)\big| \big).

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley