KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2010. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.


K. 259. Az ABCD és EFGH olyan egy síkban fekvő téglalapok, melyek oldalai párhuzamosak. Tudjuk, hogy AB=15 cm, AD=12 cm, EF=10 cm, EH=8 cm, FI=14 cm. Számítsuk ki a besatírozott részek területének különbségét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 260. Egy osztályban a tanulók több mint 93%-a lány, de az osztályban van fiú is. Mennyi az osztály tanulóinak lehető legkisebb létszáma, ha tudjuk, hogy a lányok száma az osztály létszámának egész százaléka?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 261. Négy számot írtunk le egymás mellé. Az első kettő átlaga 7; az utolsó kettőé 8,4; a középső kettőé 2,3. Mennyi az első és az utolsó szám átlaga?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 262. A ,,Hurrá nyaralunk'' Kemping bejárata közvetlenül egy egyenes út mellett található, a ,,Végrenyárvan'' Ifjúsági Tábor bejárata pedig az úttól 300 méterre van. A két bejárat távolsága légvonalban 500 méter. Egy büfét akarnak építeni közvetlenül az út mellé úgy, hogy egyenlő távolságra legyen a kemping és a tábor bejáratától is. Hová építsék a büfét?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 263. Karcsi három számkártyára felírja a 3, 5, 6 számokat, Karola pedig három számkártyára felírja a 8, 9, 10 számokat. Mindketten véletlenszerűen kiválasztanak két kártyát a sajátjaik közül, majd Karcsi összeszorozza, Karola pedig összeadja a saját számait. Mennyi a valószínűsége annak, hogy Karcsi nagyobb számot kap eredményül, mint Karola?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 264. Négy darab henger alakú konzervet rögzítenek egybe egy gyárban az ábrán látható módokon egy köréjük tekert szalagpánttal. Milyen hosszú szalagra van szükség az egyes módozatoknál, ha a hengerek alapkörének átmérője 10 cm, és a szalag záródásánál hosszában 2 cm átfedés van a szalag két végének összeragasztására?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.


C. 1045. Dobjunk három szabályos dobókockával. Írjuk fel egymás mellé tetszőleges sorrendben a dobott pöttyök számát. Ugyanilyen sorrendben folytassuk az írást az alsó lapon látható pöttyök számával. Igazoljuk, hogy az így kapott hatjegyű szám és a 111 hányadosát 7-tel csökkentve, és ezt a különbséget 9-cel osztva olyan háromjegyű számot kapunk, amelynek a számjegyei a dobott pöttyök számát adják.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1046. Jelölje \alpha(n) egy szabályos n-szög belső szögeinek nagyságát. Mekkora az n, ha \alpha(n+3)-\alpha(n)=\alpha(n)-\alpha(n-2)?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1047. Egy szabályos pénzérmét tízszer egymás után feldobunk. Ha fejet dobtunk, 2-est, ha írást, akkor 3-ast írunk sorban egymás mellé. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kapott tízjegyű szám osztható

a) 3-mal,

b) 4-gyel?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1048. Mutassuk meg, hogy


\frac{2 \cos 40^\circ - \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}=\sqrt 3.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1049. Egy 2 egység oldalú négyzet két szomszédos oldala mint átmérő fölé köröket rajzolunk. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a négyzet oldalát és az egyik kört belülről, a másik kört kívülről érinti?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.


B. 4292. Az ABC háromszög A és B csúcsából húzott belső szögfelezőkre a C csúcsból állított merőlegesek talppontjai E és F. A háromszög beírt köre az AC oldalt a D pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy EF=CD.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4293. Három pozitív egész szám összege 2010, reciprokainak összege pedig \frac{1}{58}. Melyek ezek a számok?

(Olasz versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4294. Egy szabályos 10-szög alapú egyenes hasábnak legfeljebb hány élét metszheti egy sík?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4295. Egy 13×13-as táblázat mezőibe úgy írtak számokat, hogy a 13 sorban és a 13 oszlopban ugyanannyi a számok összege. Legalább hány számot kell a táblázatban ahhoz megváltoztatni, hogy a 26 darab összeg között ne legyenek egyenlők?

(Kavics Kupa 2010 feladata nyomán)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4296. Egy háromszög a, b oldalához tartozó magasságvonalak hossza legyen ma, illetve mb. Mutassuk meg, hogy ha a>b, akkor

a2010+ma2010\geb2010+mb2010.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4297. Mutassuk meg, hogy tetszőleges x, y valós számokra


-\frac{1}{2}\le \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\le\frac{1}{2}.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4298. Adott egy szabályos ötszög. Határozzuk meg azt a pontot, amelynek az ötszög csúcsaitól való távolságainak az összege minimális.

Csikós Balázs (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4299. Az ABC háromszögbe írt CDEF paralelogramma D, E, F csúcsa rendre a CA, AB és BC oldalon van. Szerkesszük meg a DF szakasz hosszának ismeretében az E pontot. Melyik E pontra lesz a DF átló hossza minimális?

dr. Katz Sándor (Bonyhád)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4300. Bizonyítsuk be, hogy 35 egymást követő pozitív egész szám négyzetének összege mindig osztható 35-tel.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4301. Két szomszédos pozitív egész szám köbének különbsége n2, ahol n>0. Igazoljuk, hogy n két négyzetszám összege.

(8. osztályos Kalmár verseny megyei forduló, 2010)

(4 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. november 10-én LEJÁRT.


A. 515. Adott a síkban egy ABC háromszög. Tetszőleges 0<t<1 esetén legyen U(t), illetve V(t) az AB, illetve a BC szakaszt t:(1-t) arányban osztó pont. Igazoljuk, hogy létezik egy olyan parabola, ami az összes U(t)V(t) egyenest érinti.

(5 pont)

statisztika


A. 516. A B1, B2, B3, B4, B5 dobozok mindegyikében kezdetben egy érme van. Kétféle megengedett lépés van:

1. típusú lépés: Választunk egy Bj nemüres dobozt, ahol 1\lej\le4. Elveszünk egy érmét a Bj dobozból, és hozzáadunk két érmét a Bj+1 dobozhoz.

2. típusú lépés: Választunk egy Bk nemüres dobozt, ahol 1\lek\le3. Elveszünk egy érmét a Bk dobozból, és kicseréljük a Bk+1 (esetleg üres) doboz tartalmát a Bk+2 (esetleg üres) doboz tartalmával.

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges 0\len\le22010 egész szám esetén ilyen lépések valamilyen véges sorozata segítségével elérhető, hogy a B1, B2, B3, B4 dobozok mindegyike üres legyen, a B5 doboz pedig pontosan n érmét tartalmazzon.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 517. Legyen m\ge3 egész szám, és legyen \Phim(x) az m-edik körosztási polinom, továbbá legyen \Psim(x) az az egész együtthatós polinom, amelyre


x^{\varphi(m)/2} \Psi_m\left(x+\frac1x\right) = \Phi_m(x).

Igazoljuk, hogy tetszőleges a egész számra a \Psim(a) szám minden prímosztója vagy osztója m-nek, vagy pedig mk\pm1 alakú.

(A körosztási polinomokról és a \Psim polinomról bővebben olvashatunk Keith Kearnes, Kiss Emil és Szendrei Ágnes Gauss egészek és Dirichlet tétele c. cikkében, a KöMaL 2010. márciusi és áprilisi számaiban.)

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley