KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


K. 277. Pisti gondolt egy pozitív egész számra, és a következő igaz állításokat mondta róla:

Ha a gondolt szám osztható 3-mal, akkor 50 és 59 között van.

Ha a gondolt szám nem osztható 4-gyel, akkor 60 és 69 között van.

Ha a gondolt szám nem osztható 6-tal, akkor 70 és 79 között van.

Melyik számra gondolt Pisti?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 278. Az alábbi két ábrán szabályos sokszögek (most megengedjük a csillagsokszögeket is) vannak összeillesztve egy-egy csúcsuknál. Tényleg mindkét esetben illeszkednek a sokszögoldalak egymásra, vagy valamelyik ábra ,,csal''?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 279. Anna, Bea, Csilla és Dóri 52 lapos kártyacsomaggal kártyázott. Az egyik körben Dóri osztott. Egyesével adta a lapokat a résztvevőknek Anna, Bea, Csilla és Dóri sorrendben, amikor hirtelen kiesett néhány kártya a kezében levő, még kiosztatlan lapok közül a padlóra. Észrevették, hogy a padlón levő lapok darabszáma éppen az Annának már kiosztott lapok darabszámának 2/3 része, a Csillának már kiosztott lapok darabszáma pedig a Dóri kezében maradt, még ki nem osztott lapok darabszámának 2/3 része. Hány lapot osztott már ki Dóri összesen?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 280. Keressük meg azt a legkisebb (2a3b7c alakú) pozitív természetes számot, amelynek a fele egy egész szám köbe, a harmada egy egész szám hetedik hatványa, a hetede pedig egy egész szám négyzete.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 281. Dominikának olyan dominókészlete van, amiben a legkisebb dominó a dupla 1-es, a legnagyobb a dupla 6-os, és közte minden párosításból 1 db van. Dominika rájött, hogy a dominókkal bizonyos törtszámokat is szemléltethet, ha a felső félen lévő szám a számláló, az alsó félen lévő a nevező. Dominika leült húgával, Noémival szemben, és az itt látható osztást rakta ki dominókból.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 282. Gyufaszálakból raktunk ki egy háromszöget. A háromszög oldalainak hossza 13, 20, illetve 21 gyufaszál. Adjuk meg (ha van) a háromszög azon magasságainak hosszát, amelyek kirakhatók egész gyufaszálakból.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


C. 1060. Legyen n egy 3-mal osztható szám. Az n-1, n-2, ..., 2, 1 sorozat minden harmadik tagját hagyjuk el. A megmaradó sorozatban két tagonként haladva adjunk a tagpároknak felváltva pozitív, majd negatív előjelet: +(n-1), +(n-2), -(n-4), -(n-5), ... . Bizonyítsuk be, hogy az így kapott számok összege n.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1061. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB oldalának felezőpontja, az AC oldalhoz tartozó magasság talppontja és az A csúcsnál levő \alpha szöge.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1062. Egy dobókockával n-szer dobunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számok között van két egyenlő?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1063. Egy épület egyik oldala 20 méter oldalhosszúságú négyzet. A vízszintes talaj két pontjából megmértük a függőleges élek látószögeit. Ezek az egyik pontból 40o és 38o, a másik pontból 32o és 40o. Milyen távolságra van egymástól a két észlelési hely?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1064. Az x, y, z valós számok egy nem konstans számtani sorozat egymást követő tagjai, melyekre teljesül, hogy


\cos x + \cos y + \cos z & = 1,


\sin x + \sin y + \sin z & = \frac{1}{\sqrt 2}.

Mennyi a sorozat 12. tagjának tangense, ha az első tag x volt?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


B. 4322. Egy állásinterjúra öt embert hívnak be, öt előre adott lehetséges időpontra. Minden jelentkező egy adatlapon megjelöl az öt időpontból kettőt. Mi a valószínűsége, hogy mindenkit meg tudnak hallgatni az egyik általa megjelölt időpontban?

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4323. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\frac{1+x^4}{{(1+x)}^4} = \frac{3}{4}.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4324. Az ABC háromszögben az A-ból induló magasságvonal talppontja D, a B-ből induló magasságvonal felezőpontja E, továbbá a C-ből induló magasságvonal felezőpontja F. Mutassuk meg, hogy EDF\sphericalangle =CAB\sphericalangle.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4325. a) Igaz-e, hogy bármely ABC háromszög tetszőleges P belső pontjára fennáll a PA+PB<CA+CB egyenlőtlenség?

b) Igaz-e, hogy bármely ABCD tetraéder tetszőleges P belső pontjára fennáll a PA+PB+PC<DA+DB+DC egyenlőtlenség?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4326. Legyenek a és b egész számok. Adjunk meg olyan c és d egészeket, amelyekre tetszőleges n egész szám esetén az an+c relatív prím bn+d-hez.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4327. Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott az egyik szárhoz tartozó súlyvonala és e súlyvonalnak a másik szárral bezárt szöge.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4328. Adottak az a és b oldalú szabályos ötszögek. Ha az a oldalú ötszöget megforgatjuk az egyik oldala körül, akkor a keletkezett test térfogata egyenlő annak a testnek a térfogatával, melyet a b oldalú ötszög egyik átlója körüli forgatásával kapunk. Határozzuk meg az a:b arányt.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4329. Írjuk fel sin (\pi/22011) pontos értékét az 1 és 2 számjegyek, valamint az alapműveletek és négyzetgyökjelek segítségével.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4330. Melyik az a kétváltozós p polinom, amelyre


p(x+y,xy) =\sum_{k=0}^{20}x^{20-k}y^{k}?

Javasolta: Hraskó András (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4331. Mutassuk meg, hogy ha a \mathcal{K} konvex sokszögnek P belső pontja, akkor megadható a síkon négy egyenes úgy, hogy \mathcal{K} bármely oldalszakaszához van az adott egyenesek közt olyan, amely által meghatározott két nyílt félsík egyike P-t, másika pedig az oldalszakaszt tartalmazza. Igaz-e az állítás, ha csak három egyenest adhatunk meg?

Javasolta: Vígh Viktor (Calgary)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


A. 524. Felbontható-e az {1,2,...,2010} halmaz páronként diszjunkt, ötelemű halmazokra úgy, hogy az elemek összege mindegyik ötelemű halmazban osztható legyen 2011-gyel?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 525. Legyen f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 egész együtthatós polinom, d_1,\ldots,d_n pedig páronként különböző egész számok. Tegyük fel, hogy végtelen sok p prímhez létezik olyan kp egész szám, amelyre


f(k_p+d_1)\equiv f(k_p+d_2)\equiv \dots\equiv f(k_p+d_n)\equiv 0 \pmod{p}.

Igazoljuk, hogy ekkor van olyan k0 egész szám, amire


f(k_0+d_1)=f(k_0+d_2) =\ldots=f(k_0+d_n)=0.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 526. A síkbeli koordináta-rendszerben nevezzük sávnak az olyan tartományokat, amelyeket két párhuzamos egyenes határol. Egy sáv szélessége legyen a beleírható, a tengelyekkel párhuzamos oldalú négyzetek oldalhossza. Igazoljuk, hogy ha a 0\lex,y\le1 egységnégyzetet lefedjük véges sok sávval, akkor ezek szélességének összege legalább 1.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley