KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.


K. 289. Ha egy háromjegyű számnak elhagyjuk a középső számjegyét, akkor pontosan a hetedét kapjuk. Melyik ez a háromjegyű szám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 290. Feleségem születésnapi tortájára az életkorát két marcipán számjegy segítségével írtuk föl. Észrevettük, hogy ez a két számjegy az én születésnapi tortámra is megfelelő, ha hatvány alakban használjuk föl őket. Melyikünk hány éves, ha a közöttünk lévő korkülönbség pont a két marcipánszámjegy összege?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 291. Összeragasztottunk 125 db 1 cm élhosszúságú kockát egy nagyobb, tömör kockává, majd a nagy kockába az oldallapjaira merőlegesen négyzetes keresztmetszetű lyukakat fúrtunk úgy, hogy a lyukak teljesen átmennek a kockán. A lyukak elkészítése után a kocka minden lapja így nézett ki (a fekete négyzetek jelölik a lyukak helyét):

A lyukak elkészítése után az egész megmaradt testet piros festékbe mártottuk.

a) Hány cm3 a kapott test térfogata?

b) Hány cm2 lett piros festékes?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 292. Vegyük a koordinátarendszerben az A(0;0), B(b;2), C(b;5), D(0;d) pontokat, ahol b és d pozitív egész számok. Tudjuk, hogy ezek egy ABCD trapézt határoznak meg, melynek területe 25 egység. Adjuk meg a csúcsok hiányzó koordinátáit.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 293. Frédi a teheneit egy legelőn legelteti. Minden tehén mindennap ugyanannyi füvet eszik, függetlenül attól, hogy hány tehén van a legelőn. Egyszer Frédi kivitt 6 tehenet a legelőre, és ezek 3 nap alatt teljesen lelegelték az összes füvet, úgyhogy a 3 nap elteltével el kellett onnan hozni a teheneket, hogy a fű vissza tudjon nőni. Amikor a fű visszanőtt az eredeti mennyiségre, akkor Frédi 3 tehenet vitt ki a legelőre, és meglepődve tapasztalta, hogy most 7 nap kellett ahhoz, hogy teljesen lelegeljék az összes füvet a tehenek. Frédi nem értette a dolgot, ezért megkérdezte Bénit, akinek ötöse volt matekból. Béni elmondta Frédinek, hogy egy dologról megfeledkezett, miközben legeltette a teheneket és számolgatta a napokat. Miről feledkezett meg Frédi, és mennyi ideig tartana 1 tehénnek lelegelni ugyanerről a legelőről az összes füvet?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 294. Keressünk legalább két olyan, különböző hosszúságú, értelmes magyar szót, amelynek betűi pontosan 20-féleképpen rendezhetők sorba. A sorbarendezésnél az egyforma betűket nem különböztetjük meg egymástól.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.


C. 1070. Egy szám n alapú számrendszerben felírt alakja 2011, az (n+3) alapú számrendszerben pedig 537. Melyik ez a szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1071. A KöMaL fórumának pontosan 1000 regisztrált tagja van. Minden tag küld egy e-mailt pontosan egy másik tagnak. Bizonyítsuk be, hogy közülük kiválaszthatunk egy olyan 334 tagú csoportot, amelyen belül senki nem küldött senkinek e-mailt.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1072. Bizonyítsuk be, hogy minden derékszögű háromszög beírt körének sugara kisebb, mint a hosszabbik befogó háromtizede.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1073. Az f(x)=x3+ax2+bx+c (a, b, c \in \mathbb{R}) függvénynek legalább két zérushelye van. Igazoljuk, hogy ekkor a2>3b.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1074. Az egység élű kocka AB éle milyen messze van az EC testátlótól?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.


B. 4342. Egy ötöslottó-húzás nyerőszámait nagyság szerint növekvő sorrendben írva melyik szám fordul elő leggyakrabban a második helyen?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4343. Legyenek a és b olyan pozitív számok, amelyekre a3+b3=1. Mutassuk meg, hogy a2+ab+b2-a-b>0.

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4344. Az ABCD szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalainak hossza a és c. Szárainak felezőpontjai legyenek E és F. Az E pontnak a BC szár egyenesére eső merőleges vetülete legyen G. Mekkora a trapéz területe, ha a C pont a GF szakasz G-hez közelebbi harmadoló pontja?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4345. Bizonyítsuk be, hogy bármely hét különböző pozitív egész között van három olyan, melyek közül bármely kettő legnagyobb közös osztója ugyanannyi maradékot ad hárommal osztva.

Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4346. Adott egy konvex ötszög. Szerkesszünk olyan egyenest, amely felezi a sokszög területét.

Javasolta: Horváth Tibor (Dunakeszi)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4347. Egy téglalapot felbontottunk legalább kettő különböző méretű négyzetre. Bizonyítsuk be, hogy nem lehet minden négyzet oldalhossza Fibonacci-szám.

Javasolta: Damásdi Gábor (Kecskemét)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4348. Az ABCD húrnégyszög átlói nem merőlegesek egymásra. Az A, B, C, D csúcsokból a csúcsokon át nem menő átlókra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre A', B', C', D'. Az AA' és DD', DD' és CC', CC' és BB', végül a BB' és AA' egyenesek metszéspontjai rendre E, F, GH. Bizonyítsuk be, hogy az A'B'C'D' olyan húrnégyszög, mely körülírt körének középpontja az EG és FH szakaszok metszéspontja.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4349. Bizonyítsuk be, hogy ha egy négyszög lefedhető egységsugarú körlemezzel, akkor oldalainak szorzata nem nagyobb, mint 4.

Helyesbítés:

Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög lefedhető egységsugarú körlemezzel, akkor oldalainak szorzata nem nagyobb, mint 4.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4350. Tudjuk, hogy az A1A2A3A4 tetraéder tetszőleges P belső pontjára az 1, 2, 3, 4 számok bármely i, j, k, l sorrendje esetén fennáll a

PAi+PAj+PAk<AlAi+AlAj+AlAk

egyenlőtlenség. Igaz-e, hogy a tetraéder szabályos?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4351. Egy n elemű halmaznak kiválasztottuk néhány, legalább kételemű részhalmazát. Tudjuk, hogy a halmaz bármely két eleme pontosan egyszer szerepel együtt egy kiválasztott részhalmazban. Igazoljuk, hogy a kiválasztott részhalmazok száma vagy 1, vagy legalább n.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.


A. 530. Adottak egy kör kerületén ebben a sorrendben az A_1,A_3,\ldots,A_{2n+1},\allowbreak
A_{2n},A_{2n-2},\ldots, A_2 pontok (n\ge2) úgy, hogy


A_1A_2A_3\sphericalangle = A_2A_3A_4\sphericalangle = \ldots =
A_{2n-1}A_{2n}A_{2n+1}\sphericalangle = \frac{90^\circ}{n}.

Az A_2A_3,A_3A_4,\ldots,A_{2n-1}A_{2n} egyenesek az A1A2n+1 szakaszt 2n-1 részre osztják; jelöljük ezek hosszát rendre \ell_1,\ell_2, \ldots,
\ell_{2n-1}-gyel. Igazoljuk, hogy


\ell_1^2-\ell_2^2+\ell_3^2-\ell_4^2
+ -\ldots-\ell_{2n-2}^2+\ell_{2n-1}^2 = 0.

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A. 531. Igazoljuk, hogy minden k pozitív egész számhoz van olyan (csak k-tól függő) Nk pozitív egész szám, hogy tetszőleges olyan \mathcal{C} halmazrendszerhez, aminek minden eleme egy legfeljebb k-elemű halmaz, és \mathcal{C} bármely két elemének van közös eleme, létezik egy olyan, legfeljebb Nk-elemű A halmaz, amelyre \mathcal{C} bármely két elemének és A-nak is van közös eleme.

Javasolta: Zsbán Ambrus (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A. 532. Bizonyítsuk be, hogy van olyan c>0 valós szám, hogy ha az a_0,a_1,\ldots,a_n számok mindegyike 1 vagy -1, és az a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n polinom osztható az (x-1)k polinommal, akkor k<c.ln2(n+1).

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley