KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.


C. 1075. Melyik az a háromjegyű szám, amely tizenkétszer akkora, mint a számjegyeinek összege?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1076. Egy másodfokú egyenlet gyökei két egymást követő egész szám négyzetei. A két gyök mértani közepe 1-gyel nagyobb a gyökök különbségénél. Írjuk fel a másodfokú egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1077. Az ABC háromszögben az AC oldal C-hez közelebbi E negyedelő pontjára és a BC oldal F felező pontjára illeszkedő egyenes az AB egyenest D-ben metszi. Hány százaléka az ADE háromszög területe az ABC háromszög területének?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1078. A 26 betűből álló angol abc-ből készítünk legfeljebb tízbetűs karaktersorozatokat, amelyeket ,,szavaknak'' nevezünk. (Egy ,,szó'' készíthető akár csak egy betű felhasználásával, és két ,,szó'' különböző, ha legalább egy betűben eltérnek egymástól.) Igazoljuk, hogy az így kapott összes lehetséges ,,szavak'' száma osztható 27-tel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1079. Pezsgőspoharunk csonkakúp alakú, az alapkör sugara 1 cm, a fedőkör sugara 4 cm, a magassága 6 cm (lásd az ábrát). Milyen magasságig kell tölteni a poharat, ha egy fél pohár italt szeretnénk inni?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.


B. 4352. Legalább hány konvex ötszögre van szükség ahhoz, hogy azokból összerakhassunk egy konvex 2011-szöget?

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4353. Legyen A egy pozitív egész szám, B pedig jelölje az A számjegyeinek fordított sorrendben való felírásával keletkező számot. Mutassuk meg, hogy az A+B és A-B számok közül legalább az egyik osztható 11-gyel.

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4354. Adottak a síkon az egymástól különböző A, B, C, D pontok. Szerkesszünk két egymást kívülről érintő kört, amelyek egyike az A és B pontokon, másika a C és D pontokon megy át, továbbá érintési pontjuk rajta van a BC szakaszon.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4355. Bizonyítsuk be, hogy ha az x, y és z pozitív számok szorzata 1, akkor


\frac{z^3 + y^3}{x^2+xy+y^2} +
\frac{x^3 + z^3}{y^2+yz+z^2} +
\frac{y^3 + x^3}{z^2+zx+x^2} \ge 2.

Szoldatics József (Dunakeszi) javaslata alapján

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4356. Adott AB szakaszra legfeljebb hat olyan -- AB egyenesének ugyanazon oldalára eső -- egymáshoz hasonló háromszöget lehet szerkeszteni, amelynek egyik oldala AB. Igazoljuk, hogy ezen háromszögek harmadik csúcsai egy körre illeszkednek.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4357. Legyen n>1 pozitív egész. Mutassuk meg, hogy n3-n2 osztója az


\binom{n^2}{n+1}

binomiális együtthatónak.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4358. Oldjuk meg a következő egyenletet:


\big(11x^3 + 80\big)\root3\of{x+11} + \big(x^3 -
92\big)\root3\of{92x-80} = 0.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4359. Messük el a szabályos tetraédert egy olyan síkkal, amely az egyik lapjára merőleges, s azt az e egyenesben metszi. Ennek a síknak a tetraéder másik három lapsíkjával képzett metszésvonalai e-vel \varphi1, \varphi2, \varphi3 szöget zárnak be. Határozzuk meg a


\mathop{\rm tg}\nolimits^{2}\varphi_1 +\mathop{\rm tg}\nolimits^{2}\varphi_2 +\mathop{\rm tg}\nolimits^{2}\varphi_3

kifejezés lehetséges értékeit.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4360. Tetszőleges n pozitív egész szám esetén jelölje S(n) az n számjegyeinek összegét. Milyen 1-nél nagyobb k egészekhez létezik olyan ck pozitív valós szám, melyre

S(kn)\geck.S(n)

teljesül minden pozitív egész n esetén?

Javasolta: Erben Péter (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4361. Legyenek egy ellipszis féltengelyei a és b, középpontja O; P_1, P_2,
\ldots, P_n pedig olyan pontjai a görbének, amelyekre a PiOPi+1 szögek mindegyike \frac{\pi}{n}. Mutassuk meg, hogy n>1 esetén


\frac{2}{OP_1^2}+\frac{2}{OP_2^2}+ \ldots +\frac{2}{OP_n^2}=
\frac{n}{a^2}+\frac{n}{b^2}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.


A. 533. Határozzuk meg mindazokat a pozitív egészekből álló (a,b,c) számhármasokat, amelyekre a2+b2 osztható (abc+1)-gyel.

(5 pont)

statisztika


A. 534. Egy háromszög oldalai a, b és c, a hozzájuk tartozó súlyvonalak hossza rendre sa, sb, illetve sc. Igazoljuk, hogy


\frac{s_as_b}{a^2+b^2} + \frac{s_bs_c}{b^2+c^2} + \frac{s_cs_a}{c^2+a^2} \ge \frac98.

Javasolta: Nagy Donát (Szeged)

(5 pont)

statisztika


A. 535. Adott egy egyszerű G gráf, csúcsai v1,...,vn. Adottak továbbá a nemnegatív egészekből álló H1,...,Hn halmazok úgy, hogy minden 1\lei\len-re Hi elemszáma legfeljebb fele vi fokának. Igazoljuk, hogy G-nek van olyan G' részgráfja, amelynek v1,...,vn mindegyike csúcsa, és a vi csúcs G'-beli foka nem eleme Hi-nek egyetlen i-re sem.

Javasolta: Lovász László Miklós (Budapest)

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley