KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2011. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.


K. 301. Egy dobozban piros és sárga golyók vannak. Ha kivennénk 1 piros golyót, akkor a bennmaradó golyók hetedrésze lenne piros. Ha ehelyett kivennénk 5 sárga golyót, akkor a bennmaradók hatodrésze lenne piros. Hány golyó van a dobozban?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 302. Melyek azok a természetes számok, amelyek harmadik és negyedik hatványa együtt az összes számjegyet tartalmazza pontosan egyszer?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 303. Hány darab háromszöget, rombuszt és húrtrapézt találhatunk az ábrán?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 304. Az ABCD téglalap AB oldalának harmadolópontja X, CD oldalának harmadolópontja Y az ábrának megfelelően. Határozzuk meg, hogy az ábrán szürkével jelölt síkidom területe hányadrésze az ABCD téglalap területének.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 305. Amerika csapadékban szegény részeinek műholdas felvételét nézegetve érdekes köröket láthatunk (pl. Texasban, a 79068 ZIP-kódú területen, a Google Earth programban a kereséshez TX 79068-at írva.) A körök abból a sajátos öntözési technológiából származnak, melyben egy rúd alakú öntözőberendezés forog körben a középpontja vagy az egyik vége körül. Természetesen így a földterület egy része termelésre nem használható, mert a víz nem mindenütt éri el, csak a körökön belül.

Joe, Jim és Jack három testvér, mindhármójuknak 1 km oldalhosszúságú, négyzet alakú földjük van. Az öntözött területet az ábrán látható módon alakították ki:

Jack elrendezésében a kisebbik körök sugara 210,5 m. Melyikük elrendezése a leghatékonyabb, azaz melyikük tudja földjének legnagyobb részét növénytermesztésre használni?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 306. Töltsünk ki egy 4×4-es négyzetes táblázatot a 2011 számjegyeivel úgy, hogy minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban is a 2, 0, 1, 1 álljon valamilyen sorrendben. Hány különböző, a feltételnek megfelelő kitöltés létezik?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.


C. 1090. Tizenhárom szabályos dobókockából összeragasztottuk a képen látható testet. Hány pötty lehet maximálisan a felületén?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1091. Az ötöslottóban az egyik játékhéten a nyerőszámok emelkedő számsorrendben a következők: \overline{ab}, \overline{bc}, \overline{ca}, \overline{cb}, \overline{cd}. Az öt szám összege \overline{bcc}, a harmadik és a második szám szorzata \overline{bbec}, a harmadik és az ötödik szorzata pedig \overline{eccd}. Határozzuk meg az a, b, c, d, e számjegyeket.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1092. Az AB szakasz belső pontja C. Szerkesszünk az AC és BC szakaszokra szabályos háromszögeket az AB egyik oldalán, majd szerkesszünk szabályos háromszöget az AB szakaszra a másik oldalán. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögek súlypontjai egy szabályos háromszög csúcsai.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1093. Az f(x) függvény helyettesítési értéke tetszőleges x valós szám esetén legyen az x2-4x+3, az x-1 és a -x+7 értékek közül a legkisebb. Adjuk meg az f(x)=c egyenlet megoldásainak számát a c valós paramétertől függően.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1094. Az ABC egyenlőszárú derékszögű háromszögben a BC befogón a C-hez közelebbi negyedelőpont H, a CA befogón felvett G pontra CG:GA=3:2. Mekkora szöget zárnak be a HA és a GB szakaszok?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.


B. 4382. Jelöljön x egész számot. Mutassuk meg, hogy ha a


\frac{4x+1-\sqrt{8x+1}}2

kifejezés értéke egész, akkor négyzetszám.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4383. Az ABCD konvex négyszög oldalaira teljesül, hogy AB>BC>CD>DA. Az ABD, illetve a BCD háromszögekbe írt kör a négyszög BD átlóját rendre az E és F pontban érinti. Hasonlóan az ABC, illetve az ACD háromszögbe írt kör az AC átlót rendre a H és G pontban érinti. Mutassuk meg, hogy EF=GH.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4384. Lapunk B. 4283. feladata szerint, ha egy 23×23-as négyzetet felbontunk 1×1-es, 2×2-es és 3×3-as négyzetekre, akkor ehhez szükségünk van legalább egy darab 1×1-es négyzetre is. Hol helyezkedhet el az 1×1-es négyzet, ha tudjuk, hogy pontosan egy szerepel a felbontásban?

Javasolta: Gyenes Zoltán (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4385. Oldjuk meg az {x}={x2}={x3} egyenletrendszert (ahol {y} az y szám törtrészét jelöli).

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4386. Van-e olyan racionális szám, amely 10-es számrendszerbeli alakjából a számjegyeinek egy részét elhagyva megkapjuk a \pi-t?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4387. Az ABCDEF húrhatszögben AB=BC, CD=DE és EF=FA. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe fele a hatszög területének.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4388. Az ABC hegyesszögű háromszög AB oldalának belső pontja D. A D ponton keresztül az AC oldallal húzott párhuzamos a BC oldalt az E, a D-n keresztül a BC oldallal húzott párhuzamos pedig az AC oldalt az F pontban metszi. Az ADF és BDE körök második metszéspontja G. Igazoljuk, hogy ABEF akkor és csak akkor húrnégyszög, ha G rajta van a CD szakaszon.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4389. Egy egyenesen adott négy pont: A, B, C és D ebben a sorrendben. Tekintsük az összes olyan egymást érintő körpárt, amelyek közül az egyik átmegy az A és a B, a másik a C és a D pontokon. Határozzuk meg az érintési pontok mértani helyét.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4390. Hány megoldása van a \sin \log_\pi x + \log_\pi \sin x =0 egyenletnek a [0,20] intervallumban?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4391. Egy ötszög magasságán egy csúcs szemközti oldaltól vett távolságát értjük. Legyen P olyan ötszög, amelynek minden szöge 108o és minden magassága különböző. Mutassuk meg, hogy P csúcsait valamelyik irányban megszámozhatjuk sorban úgy, hogy a megfelelő magasságokra

m1>m3>m4>m5>m2

teljesüljön.

Javasolta: Kevei Péter, Vígh Viktor (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. november 10-én LEJÁRT.


A. 542. Van 1000 pénzérménk, de tudjuk, hogy közülük 100 hamis. Ismerjük a valódi érmék súlyát, és tudjuk, hogy a hamis érmék könnyebbek, mint a valódiak, de a hamis érmék súlyai különbözők is lehetnek. Egy egykarú mérleggel szeretnénk találni egy hamis érmét. Minden lépésben megmérhetjük néhány érme súlyának összegét, ezzel megállapíthatjuk, hogy a mérlegre tett érmék között van-e hamis. Hány mérésre van szükségünk, hogy biztosan találjunk egy hamis érmét?

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 543. Néhány független esemény valószínűségének az összege 4. Bizonyítsuk be, hogy több, mint 1/2 eséllyel a bekövetkező események számának 4-gyel való osztási maradéka 0 vagy 3.

Javasolta: Csóka Endre (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 544. Adott az O középpontú k kör és rajta a különböző A, B, C, D rögzített pontok. A k' kör k-t merőlegesen metszi A-ban és B-ben. Vegyünk fel az OA egyenesen egy X változó pontot. Legyen U az ACX és a k' körök A-tól különböző metszéspontja, V az ADX és a k' körök A-tól különböző metszéspontja, W a BDU kör és az OB egyenes B-től különböző metszéspontja, végül legyen EBVW és a k körök B-től különböző metszéspontja. Igazoljuk, hogy az E pont helyzete nem függ az X pont megválasztásától.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley