KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.


C. 1120. Ábrázoljuk azokat a P(x;y) pontokat, amelyeknek koordinátáira: |y|\le1-x és |x|\le3-y.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1121. Bizonyítsuk be, hogy ha n természetes szám, akkor a


\frac{3^{2n}}{112}-\frac{4^{2n}}{63}+\frac{5^{2n}}{144}

összeg értéke egész szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1122. Az ABC háromszög BAC szögének felezője a BC oldalt A1-ben metszi. Az ABC, ABA1, ACA1 háromszögek köré írt körök középpontjai legyenek rendre O, O1O2. Bizonyítsuk be, hogy az OO1O2 háromszög egyenlő szárú.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1123. Kockacukrokból egy 4×4×4-es kockát építünk. A kockacukrok hány különböző téglatestet határoznak meg, ha a téglatestek legalább egy kockacukorban különböznek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1124. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x^{x+y} & = y^3,

y^{x+y} & = x^{12}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.


B. 4442. Anna, Béla és Cecília a következő játékot játssza. Felváltva mondanak egy egész számot 1 és 10 között, és a mondott számot a már addig elhangzott számok összegéhez adják (egyszerűség kedvéért mindig az összeget mondja be a soronkövetkező játékos). Az nyer, aki először mond 100-at. Bizonyítsuk be, hogy a két lány együtt ki tud alakítani olyan stratégiát, amellyel kettőjük közül biztosan valamelyikük nyer.

Javasolta: Futó Béla (New York)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4443. Adott két sorozat, az elemeik pozitív egészek: a1,a2,...,an és b1,b2,...,bk, továbbá ai\lek és bj\len. Mutassuk meg, hogy léteznek olyan 0\lei1<i2\len és 0\lej1<j2\lek egészek, amelyekre


a_{i_1+1}+\ldots +a_{i_2}=b_{j_1+1}+\ldots +b_{j_2}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4444. Az ABCD négyzet D csúcsát A körül, a (D-vel szemközti) B csúcsát pedig C körül \alpha hegyesszöggel kifelé forgattuk, s így rendre az E, illetve G pontokat kaptuk. Az AE és BG egyenesek metszéspontja F. A GD egyenes a GCB kört, illetve a BDE kört másodszor rendre az L, illetve M pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az A, B, F, L, M pontok egy körön vannak.

Javasolta: Bodnár János

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4445. Egy konvex testnek hat darab négyzet- és nyolc darab szabályos hatszöglapja van. Tudjuk, hogy a négyzetlapok közül semelyik kettőnek nincs közös csúcsa. Határozzuk meg a test térfogatát, ha tudjuk, hogy van egységnyi hosszú éle.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4446. Egy n×n-es négyzetrácsban hány négyzetet jelölnek ki a rácspontok?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4447. Oldjuk meg a \sqrt{x-3} + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{{(x-2)}^3} egyenletet.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4448. Az ABC háromszög AC oldalához tartozó hozzáírt köre a BC, AC és AB oldalegyeneseket rendre az A1, B1 és C1 pontokban érinti. Legyen F az A1B1 szakasz felezőpontja. Igazoljuk, hogy B_1C_1C \sphericalangle = A_1C_1F
\sphericalangle.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4449. Hány nullára végződik a 456+654 tízes számrendszerbeli alakja?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4450. Adottak az e egyenesen ebben a sorrendben az egymástól különböző A, B és C pontok. Mi azon P pontok mértani helye, amelyekre az ACP háromszög beírt köre az e egyenest B-ben érinti?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4451. Adott egy n-csúcsú konvex sokszög, melynek semelyik négy csúcsa nem esik egy körre. A csúcsokból kiválasztható ponthármasokra megrajzoljuk a rájuk illeszkedő kört. Egy ilyen kör sovány, ha a sokszög csúcsai (kivéve a háromszög csúcsait) a körön kívül fekszenek, illetve kövér, ha a sokszög összes csúcsa a zárt körlemezre esik. A kövér vagy a sovány körökből van-e több?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.


A. 560. Adott egy egyenes körkúp, a csúcsa O, továbbá a kúp alaplapjának síkjában egy rögzített P pont. Húzzunk P-n keresztül egy x egyenest, ami a kúp alapkörét az X1 és X2 pontokban metszi. Igazoljuk, hogy


\mathop{\rm tg}\frac{POX_1\sphericalangle}2 \cdot \mathop{\rm
tg}\frac{POX_2\sphericalangle}2

nem függ az x egyenes megválasztásától.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 561. Mutassuk meg, hogy


\frac{a^3b}{{(3a+b)}^p} + \frac{b^3c}{{(3b+c)}^p}
+\frac{c^3a}{{(3c+a)}^p} \ge \frac{a^2bc}{{(2a+b+c)}^p}+
\frac{b^2ca}{{(2b+c+a)}^p} + \frac{c^2ab}{{(2c+a+b)}^p}

teljesül tetszőleges a, b, c, p pozitív számok esetén.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 562. Bármely k pozitív egészre legyen f(k)=2k+1. Létezik-e olyan pozitív egész n, amire f(f(n)) osztható n-nel, de f(f(f(n))) nem osztható n-nel?

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley