KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


K. 379. Kati egy olyan gombot varr fel a kabátjára, melyen négy lyuk van, az ábrán látható elrendezésben (egy négyzet négy csúcsában vannak a lyukak). A cérnát a lyukakon átbújtatva újra és újra a cérna különböző mintákat hozhat létre a gombot szemből nézve. Egy ilyen minta látható az ábrán. Hányféle mintát láthatunk a varrás után, ha a gomb felvarrásához az szükséges, hogy minimum két lyukat használjunk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 380. 6 db A és 7 db B betűből készítünk betűsorokat a betűk egymás mellé írásával. Hány olyan betűsort tudunk készíteni, amely palindrom, azaz oda-vissza olvasva ugyanaz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 381. Egy kereskedő egy terméket 20%-os árengedménnyel árul, és a beszerzési árhoz képest még így is 20%-os a haszna. Hány százalékos volt a haszna az árleszállítás előtt?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 382. A 9, 8, 8, 7, 7, 7 és még egy tetszés szerint választott számjeggyel írjuk fel a legnagyobb 36-tal osztható, hétjegyű számot.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 383. Az ABC szabályos háromszög AB alapját meghosszabbítottuk az A csúcson túl az AB oldal hosszának kétötödével, és így a P pontot kaptuk. A P pontot összekötöttük az AC oldal A csúcstól számított második ötödölő pontjával, a Q ponttal. Az így kapott egyenes a CB egyenest az R pontban metszi. Milyen hosszú a CR, ha AP=2684?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 384. Az ABC tompaszögű háromszögben az A csúcsnál van a tompaszög. A háromszög beírható körének középpontja legyen S. Az S-en át AB-vel húzott párhuzamos messe az AC oldalt D-ben és a BC oldalt E-ben. Bizonyítsuk be, hogy DE=AD+BE.

Német versenyfeladat

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


C. 1175. A valós számok halmazán értelmezzük a következő módon a \therefore műveletet:


a\therefore b=(a-2)(b-2).

Asszociatív-e ez a művelet?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1176. Az a, b, c, d, e öt növekedő sorrendben felsorolt, egymást követő egész szám. Egy téglatest éleinek mérőszáma: a, b, c. Milyen értékek esetén fordulhat elő, hogy a téglatest testátlója egy derékszögű háromszög átfogója lesz, a d és az e pedig a befogók hossza?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1177. Milyen n pozitív egész szám esetén lesz az 1!+3!+\ldots+(2n-1)! négyzetszám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1178. Az italautomatából Bálint egy pohár szörpöt szeretne vásárolni 60 forintért. A zsebében 5 db 10 Ft-os és 4 db 20 Ft-os van. Véletlenszerűen kivesz egy-egy érmét. Mekkora annak a valószínűsége, hogy négy húzással pontosan 60 Ft-ot sikerül kivennie?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1179. Lili pudingot készít nagymamája receptje szerint. Egy 42×36 cm-es magas peremű tepsibe szorosan egymás mellé helyezi a 10 cm átmérőjű üvegtálakat, majd a tepsibe vizet öntve a sütőben megsüti a pudingot. Nagymama 12 tál pudingot szokott egyszerre sütni, ám Lilinek sikerült ennél többet is. Hogyan?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1180. Vizsgáljuk meg, hogy egy hegyesszögű háromszögbe írható négyzetek közül melyiknek az oldala a legnagyobb.

Javasolta: Gyimesi Róbert

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1181. Igazoljuk, hogy tetszőleges \alpha szögre (sin \alpha+1)(cos \alpha+1)<3.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


B. 4552. Ebben a mondatban az 1 alkalommal előforduló számok száma a1, a 2 alkalommal előforduló számok száma a2, ..., a 2013 alkalommal előforduló számok száma a2013. Adjuk meg az a1,a2,...,a2013 számokat úgy, hogy igaz állítást kapjunk. Hányféleképpen tehetjük ezt meg?

Javasolta: Kozma László (Saarbrücken, Németország)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4553. Melyek azok a k pozitív egész számok, amelyekre 2.3k tökéletes szám?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4554. Egy húrnégyszög három szöge \alpha, 2\alpha és 3\alpha. Határozzuk meg a húrnégyszög szögeit.

Javasolta: Lakos Gyula (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4555. Adott a síkon négy pont úgy, hogy a páronkénti távolságaik pontosan két értéket, a-t és b-t vesznek fel. Határozzuk meg a/b lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy a>b.

Javasolta: Lakos Gyula (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4556. Oldjuk meg az

x3=5x+y,

y3=5y+x

egyenletrendszert.

(Orosz felvételi feladat)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4557. Adott a síkon öt pont, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesbe. Mutassuk meg, hogy kiválasztható közülük három, amelyek tompaszögű háromszöget alkotnak.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4558. Az egységnyi alapélű, ABCD négyzet alapú szabályos gúla csúcsa E. Az AB alapél P, továbbá az EC oldalél Q pontjára teljesül, hogy PQ merőleges AB-re is és EC-re is. Tudjuk továbbá, hogy AP:PB=6:1. Mekkorák az oldalélek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4559. Az ABC háromszög köré írt körét az A-ból, B-ből és C-ből induló belső szögfelezők rendre a D, E és F pontokban metszik. A DEF és ABC háromszögek oldalainak metszéspontjai az A-tól B irányába elindulva rendre G, H, I, J, K és L. Mutassuk meg, hogy a DGL, EHI és FKJ háromszögek egymáshoz hasonlók.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4560. Ikozapolisz városában az úthálózat gráfja egy ikozaéder élhálózatának gráfjával egyezik meg. Jorgosz szállása az ikozaéder egyik csúcsában található, míg kedvenc színháza az ezzel szemközti csúcsban. Sötétedés után a színházból hazafelé menet minden egyes csúcsba érve elbizonytalanodik, hogy merre is haladjon tovább. Tegyük fel, hogy minden csúcsban p annak a valószínűsége, hogy találkozik valakivel, aki mutat neki egy olyan irányt, amerre elindulva a legkevesebb élen haladva a szállására juthat. Ellenkező esetben véletlenszerűen halad tovább úgy, hogy egyik irány sincs kitüntetve, vagyis előfordulhat akár az is, hogy visszafordul. Mekkora p érték esetén lesz 50% annak a valószínűsége, hogy előbb ér a szállásra, minthogy a színházba visszatalálna?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4561. Léteznek-e olyan egymástól különböző, nemkonstans p és q polinomok, amelyekre


\big\{p(n)\colon n\in\mathbb{N}\big\} =\big\{q(n)\colon n\in\mathbb{N}\big\}?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.


A. 593. Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Igazoljuk, hogy


\root3\of{7a^2b+1}+\root3\of{7b^2c+1}+\root3\of{7c^2a+1} \le
\frac{23}{12}(a+b+c) +
\frac1{12} \left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right).

A 2013. évi MEMO 1. feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 594. Az ABCD konvex érintőnégyszögbe írt kör az AB és BC oldalakat az E, illetve az F pontban érinti. Az AC átló a beírt kört a P és a Q pontban metszi; a Q pont az A és a P pontok között helyezkedik el. Mutassuk meg, hogy a BD, EP és FQ egyenesek egy ponton mennek át.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 595. Legyen p pozitív prímszám, amihez van olyan a pozitív egész, amire 2a2-1 osztható p-vel. Igazoljuk, hogy vannak olyan b és c egész számok, amelyekre p=2b2-c2.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley