KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.


K. 403. Hány 8-as számjegy szerepel a 0{,}9+0{,}99+0{,}999+\dots+0{,}
\underbrace{999\dots 9}_{2013\;\rm{db}} összeg tizedestört alakjában?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 404. Melyik az a legnagyobb háromjegyű szám, amelyik osztható számjegyei szorzatával?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 405. a) Melyek azok az egész számokból álló számhármasok, melyeknek tagjaira teljesül, hogy szorzatuk pozitív prímszám, és ha nagyság szerinti sorrendbe állítjuk őket, akkor a szomszédosok különbsége megegyezik?

b) Melyek azok az egész számokból álló számhármasok, melyeknek tagjaira teljesül, hogy szorzatuk egy pozitív prímszám kétszerese, és ha nagyság szerinti sorrendbe állítjuk őket, akkor a szomszédosok különbsége megegyezik?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 406. Nevezzük ,,hegyszámnak'' az olyan számot, amely egymástól és nullától különböző számjegyekből épül fel úgy, hogy az első számjegytől a ,,csúcsáig'' nő a számjegyek értéke, majd a csúcstól kezdve az utolsó számjegyig csökken. A csúcs nem lehet a szám ,,szélén''.

a) Melyik a legnagyobb és a legkisebb hegyszám?

b) Hány négyjegyű hegyszám van?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 407. n és n+200 négyzetszám, n+100 pedig 1-gyel több, mint egy négyzetszám. Mennyi lehet az n természetes szám értéke?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 408. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amire \frac{16!}n négyzetszám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.


C. 1203. Mutassuk meg, hogy ha x, y és z olyan racionális számok, amelyekre x+y\nez, z\ne0, továbbá (a-1)2x+(a-1)2y-(a2-1)z=0, akkor az a is racionális szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1204. Az ABCD és az EFGH konvex négyszög oldalfelező pontjai egybeesnek. Igazoljuk, hogy a két négyszög egyenlő területű.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1205. Adjuk meg az összes olyan derékszögű háromszöget, amelynek oldalai hosszának mérőszámai kétjegyű egész számok, az egyik befogó számjegyeinek felcserélésével kapjuk az átfogó hosszát, és a leírásukhoz pontosan háromféle számjegyre van szükségünk, mindegyiket kétszer felhasználva.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1206. Öt dobókockával dobunk egyszerre. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott számok között van legalább két egyforma?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1207. Az ABC háromszög oldalain kijelöljük rendre az E, F és G pontokat úgy, hogy


\frac{AE}{EB}=\frac{1}{n-1},\quad \frac{BF}{FC}=\frac{1}{n} \quad\rm{\'es}\quad
\frac{CG}{GA}=\frac{1}{n+1}.

Mutassuk meg, hogy ha n\ge5 egész szám, akkor az EFG háromszög területe az ABC háromszög területének felénél nagyobb.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1208. Adottak a síkon a PQRL és az LSTA azonos körüljárású paralelogrammák, melyeknek az L ponton kívül nincs közös része. Igazoljuk, hogy mindig található egy (esetleg hurkolt vagy elfajuló) ABCDE ötszög a síkon, amelyben az oldalak felezőpontjai a megadott sorrendben P, Q, R, S, T.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1209. A C külső pontból húzzunk érintőket egy körhöz, az érintési pontok legyenek A és B. A rövidebbik AB íven vegyük fel az M pontot. Az M pontból az AB, BC és CA szakaszokra bocsátott merőleges szakaszok legyenek rendre MN, ME és MD. Adjuk meg az MNE háromszög területét, ha MN=4, MD=2 és AMB\sphericalangle=120^{\circ}.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.


B. 4592. Hány fős lehet az a társaság, amelyben mindenkinek pontosan 3 ismerőse van, és két embernek pontosan akkor van közös ismerőse, ha egymást nem ismerik?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4593. Egy hangya egy 4 m hosszú gumikötél bal végpontjától állandó sebességgel mászik a jobb oldali végpont felé úgy, hogy percenként pontosan egy métert tesz meg. Minden perc eltelte után a bal oldali végén rögzített és vízszintesen fekvő gumikötelet egy méterrel egyenletesen megnyújtjuk. Hányadik percben éri el a hangya a kötél jobb oldali végpontját? A hangyát pontszerűnek tekintjük, a kötél megnyújtására fordított idő elhanyagolható, és a gumikötél akármeddig nyújtható, nem szakad el.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4594. Tükrözzünk valamilyen sorrendben egy négyzet mind a négy oldalegyenesére. A négy tükrözés egymásutánja hány különböző transzformációt eredményez?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4595. Jelölje d(n) az n pozitív egész szám pozitív osztóinak a számát. Oldjuk meg a

d(n3)=n

egyenletet.

Javasolta: Di Giovanni Márk (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4596. Oldjuk meg az


x^{4}-2\sqrt{3}x^{2}+x+3-\sqrt{3}=0

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4597. Egy háromszög hozzáírt köreinek sugara ra, rb és rc, körülírt körének sugara pedig R. Határozzuk meg a háromszög szögeit, ha


r_a+r_b=3R
\quad\text{ \'es }\quad
r_b+r_c= 2R.

Javasolta: Kiss Sándor (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4598. Az ABCD húrnégyszög átlóinak metszéspontja E, az AB és CD oldalak felezőpontja K, illetve M, az E pont merőleges vetülete a BC és AD oldalon pedig L és N. Bizonyítsuk be, hogy a KM és LN egyenesek merőlegesek egymásra.

(Kvant)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4599. Oldjuk meg a

sin5x+cos5x+sin4x=2

egyenletet.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4600. Szét lehet-e osztani az első n prímszámot két részre úgy, hogy azokban a tagok összege megegyezzen, ha

a) n=20132014;

b) n=20142013?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4601. Egy tetraéder egyik lapja egységnyi oldalú szabályos háromszög, továbbá van 3 darab a hosszúságú éle. Legfeljebb mekkora területű lehet a tetraéder merőleges vetülete egy síkon?

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. február 10-én LEJÁRT.


A. 605. Legyenek k, m és n pozitív egészek, amelyekre m\len, és legyenek 0\le
a_1\le\ldots\le a_{m+n} valós számok. Igazoljuk, hogy


\root{k+1}\of{\frac{a_1^{k+1}+\ldots+a_{m}^{k+1}}{m}} \le
\root{k}\of{\frac{a_1^k+\ldots+a_{m+n}^k}{m+n}}.

Javasolta: Erben Péter és Pataki János (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 606. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges, n pontú G egyszerű gráfhoz léteznek olyan S1, ..., Sk egyszerű gráfok, amelyekre a következők teljesülnek:

(a) Mindegyik Si teljes páros gráf;

(b) G minden éle páratlan sok Si-ben szerepel;

(c) G komplementerének minden éle páros sok Si-ben szerepel;

(d) k\le\frac34n.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 607. A k1, k2 és k3 körök páronként kívülről érintik egymást; k1 és k2 érintési pontja T. A k1 és k2 egyik közös külső érintője k3-at a P és Q pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy k1 és k2 közös belső érintője felezi a k3 kör T-hez közelebbi PQ ívét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley