KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.


C. 1224. Összeszoroztunk két csupa 9-esekből álló egész számot, egy \(\displaystyle m\) és egy \(\displaystyle n\) jegyűt. Mennyi a szorzat számjegyeinek összege?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1225. Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a kerülete, melynek alapja 6 cm, a beírt körének sugara pedig 1,5 cm?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1226. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számpárok halmazán:

\(\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=0. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1227. Egy trapéz alapjainak hossza 7, illetve 1. Az alapokkal párhuzamos egyenessel két egyenlő területű részre vágtuk a trapézt. Mekkora darabja esik az egyenesnek a trapéz belsejébe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1228. Konyhaszekrényünkben minden bögre különböző, a harmaduknak letört a füle. Hány bögrénk van, ha két fületlen és három ép bögrét pontosan 1200-féleképpen tudunk kiválasztani?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1229. Mekkora hányadát vágja le egy gömb térfogatának az a sík, amelynek távolsága a gömb középpontjától a gömb sugarának 2/3-a?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1230. Az \(\displaystyle x^2+y^2-2x-4y-45=0\) egyenletű körvonal rácspontjaiból véletlenszerűen választunk hármat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a három pont derékszögű háromszöget alkot?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.


B. 4622. Egy \(\displaystyle 3\times 3\)-as táblázat mezőibe úgy írtuk be az \(\displaystyle 1,2,\ldots,9\) számokat, hogy mind a négy \(\displaystyle 2\times 2\)-es négyzeten belül ugyanannyi a számok összege. Mi lehet ez az összeg?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4623. Egy konvex négyszögben az átlók négy olyan háromszöget határoznak meg, amelyek területe egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ennek a négy egésznek a szorzata nem végződhet 2014-re.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4624. Az \(\displaystyle ABCD\) trapézban jelölje \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle CD\) alap felezőpontját, \(\displaystyle O\) pedig az átlók metszéspontját. Az \(\displaystyle OA\), \(\displaystyle OE\) és \(\displaystyle OB\) szakaszokat egy alapokkal párhuzamos egyenes rendre az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle P\) pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle APCN\) és \(\displaystyle BNDM\) négyszögek területe egyenlő.

Javasolta: Longáver Lajos (Nagybánya)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4625. Hány olyan \(\displaystyle (A,B)\) rendezett pár van, ahol \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) egy rögzített \(\displaystyle n\) elemű halmaz részhalmazai és \(\displaystyle A\subseteq B\)?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4626. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle {(1+a)}^4 {(1+b)}^4 \ge 64ab {(a+b)}^2\) tetszőleges \(\displaystyle a,b\ge 0\) számokra teljesül.

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4627. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű \(\displaystyle C\) csúcsából induló szögfelező a körülírt kört a \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle A\)-ból induló szögfelező pedig a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. A \(\displaystyle PQ\) és \(\displaystyle AB\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle K\). A beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AC\) oldalon levő érintési pont \(\displaystyle E\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle K\) pontok egy egyenesbe esnek.

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4628. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) egy háromszög szögei, akkor

\(\displaystyle \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ \cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma\le \frac 98. \)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4629. Oldjuk meg a

\(\displaystyle 2\sin\frac{3x}{2}=3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right). \)

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4630. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok nem esnek egy síkba. Határozzuk meg azon \(\displaystyle P\) pontok mértani helyét, amelyekre \(\displaystyle PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4631. Az egy síkban fekvő \(\displaystyle k_0\), \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\) körök páronként kívülről érintik egymást; \(\displaystyle k_i\) és \(\displaystyle k_j\) érintési pontja \(\displaystyle T_{ij}\). Legyen \(\displaystyle k_0\) középpontja \(\displaystyle O\); sugara \(\displaystyle r\). Legyen a \(\displaystyle T_{12}T_{23}T_{31}\) kör középpontja \(\displaystyle U\), sugara pedig \(\displaystyle R\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle OU^2 = R^2-4Rr+r^2. \)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.


A. 614. Az \(\displaystyle A_1A_2A_3\) háromszög \(\displaystyle A_i\)-vel szemközti hozzáírt körét jelöljük \(\displaystyle k_i\)-vel, és legyen \(\displaystyle P_i\) az a pont a \(\displaystyle k_i\) körön, amelyre az \(\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}P_i\) kör érinti \(\displaystyle k_i\)-t. (\(\displaystyle i=1,2,3\); a pontok indexeit modulo \(\displaystyle 3\) értjük.) Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_1P_1\), az \(\displaystyle A_2P_2\) és az \(\displaystyle A_3P_3\) szakasz egy ponton megy át.

(5 pont)

statisztika


A. 615. Balázs és Péter a következő játékot játssza. Balázs felír száz valós számot a táblára. Ezután felváltva lépnek, Péter kezd. Minden lépésben a soron következő játékos választ két számot, ezeket letörli, és mindkettő helyére az átlagukat írja. Péter akkor nyeri meg a játékot, ha eléri, hogy valamelyik 50 szám összege megegyezzen a többi 50 szám összegével. Megakadályozhatja-e ezt Balázs?

Javasolta: I. Bogdanov és A. Shapovalov

(5 pont)

statisztika


A. 616. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \left(\frac{1+a}2\right)^{2x(x+y)} \left(\frac{1+b}2\right)^{2y(x+y)} \ge a^{x^2} b^{y^2} \left(\frac{a+b}2\right)^{2xy} \)

teljesül tetszőleges \(\displaystyle a,b>0\) és \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számokra.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley