KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.


K. 421. Egy 30 egység sugarú kör egyik átmérőjének \(\displaystyle A\) pontján keresztül rajzolhatunk egy 18 egység hosszúságú, az átmérőre merőleges húrt a körben. Hány olyan húrja van a körnek az átmérőn kívül, amelyik átmegy az \(\displaystyle A\) ponton, és hossza egész szám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 422. Egy \(\displaystyle a\) és egy \(\displaystyle b\) oldalú négyzetet egymáshoz illesztünk, majd két \(\displaystyle c\) hosszúságú szakasszal az ábrán látható módon szétvágjuk a két négyzetet összesen 5 darab síkidomra. Mutassuk meg, hogy a keletkező 5 darabból hézag- és átfedésmentesen összeállítható egy \(\displaystyle c\) oldalú négyzet.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 423. Sanyi minden nap ugyanabban az étteremben vacsorázik, rántott húst, sült krumplit és savanyúságot, és minden nap a számlán szereplő végösszeg 1000 Ft feletti részét adja borravalóként a fizetendő összegen felül. Egyik nap azonban kisebb összegű a számla, mint a szokásos, mert a rántott húst akciósan, féláron adják (a köretre és a savanyúságra az akció nem vonatkozik). Sanyi a számlát áttanulmányozva azt látta, hogy a fizetendő ÁFA nagysága 135 Ft, de azért ő a szokásos 180 Ft-os borravalót adta a pincérnek. Hány forintba kerül teljes áron (ÁFÁ-val) egy adag rántott hús? (Az élelmiszerekre fizetendő általános forgalmi adó mértéke (ÁFA) az ÁFA nélküli ár (azaz a nettó ár) 18%-a.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 424. Helyezzük el az alábbi ábrába az 1-10-ig terjedő egész számokat oly módon, hogy a pontosan négy számot tartalmazó szakaszokon levő számok összege 23 legyen (szakaszonként), a pontosan három számot tartalmazó szakaszokon levő számok összege pedig 16 (szakaszonként). Hány különböző elrendezés létezik? (A forgatásokkal és tükrözésekkel egymásba vihető elrendezéseket különbözőnek tekintjük.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 425. Egy cég számátalakító gépeket gyárt. Egy ilyen gép a pozitív számokat átalakítja úgy, hogy a kiadott érték is egy pozitív szám, továbbá az eredmény csak a beadott számtól függ, tehát ha többször is ugyanazt a számot adjuk be ugyannak a gépnek, akkor a kiadott szám is mindig ugyanaz lesz. Vegyünk két ilyen gépet, \(\displaystyle A\)-t és \(\displaystyle B\)-t. Ha az \(\displaystyle A\) gépnek beadunk egy számot, majd az \(\displaystyle A\) gép által kiadott számot beadjuk a \(\displaystyle B\) gépnek, akkor az eredetileg \(\displaystyle A\)-ba beadott érték négyzetgyökét kapjuk eredményként. Ha viszont először a \(\displaystyle B\) gépnek adunk be egy számot, majd a kapott értéket beadjuk az \(\displaystyle A\) gépnek, akkor a \(\displaystyle B\)-be beadott szám négyzete lesz az eredmény. Ha az \(\displaystyle A\) gépnek beadjuk a 12-t, akkor 25-öt ad ki eredményül. Mennyit ad ki az \(\displaystyle A\) gép eredményül, ha a 144-et adjuk be?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 426. Egy házi dolgozat háromféle típusú, összesen 100 kérdésből áll. Az igaz-hamis kérdések helyes megválaszolása 0,5 pontot, a feleletválasztós kérdéseké 3 pontot, az esszékérdéseké pedig 10 pontot ér darabonként. A dolgozatra összesen maximum 100 pontot lehet kapni. Melyik típusú kérdésből hány darab van a dolgozatban?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.


C. 1238. Melyek lehetnek az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számjegyek, ha a 10-es számrendszerben felírt számokra fennáll, hogy \(\displaystyle \overline{aa\vphantom{b}}^2+\overline{bb}=\overline{cccc\vphantom{b}}\)?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1239. Adjunk meg olyan természetes számokból álló \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) számhármast (\(\displaystyle x<y<z\)), amelyre \(\displaystyle 3^x+3^y+3^z=179\;415\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1240. Az \(\displaystyle ABCDE\) ötszöget a \(\displaystyle HICBG\) ötszög \(\displaystyle C\) körüli forgatásával, az \(\displaystyle FGBAE\) ötszöget pedig az \(\displaystyle ABCDE\) ötszög \(\displaystyle E\) körüli forgatásával kaptuk, ahogyan ezt a vázlatrajz mutatja. Az \(\displaystyle AB\) szakasz hossza 7 cm.

Milyen hosszú a 11 szakasz összesen?

Német versenyfeladat alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1241. Oldjuk meg a következő egyenletet:

\(\displaystyle \left(\frac{x-1}{2} \right)^{2} + \frac12 = \left|\frac{4x}{x+3}\right| - \frac12. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1242. Egy derékszögű háromszög oldalai 3, 4, 5. Határozzuk meg azt az egyenest, amely a háromszög kerületét és területét is felezi.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1243. Az ötöslottó esetén mi a valószínűbb?

\(\displaystyle (a)\) A nyerőszámok egy számtani sorozat egymást követő elemei.

\(\displaystyle (b)\) A kisorsolt számok közül a 15 a legnagyobb.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1244. Egy téglatest minden élének hossza egész szám, testátlója 65, legnagyobb területű átlós metszetének területe 1500. Adjuk meg a téglatest éleinek hosszát. (Az átlós metszet tartalmazza két szemközti lap egymással párhuzamos átlóit.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.


B. 4642. Adott a síkban öt pont úgy, hogy közülük semelyik három nincs egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott háromszögek közül legfeljebb hét hegyesszögű.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4643. Léteznek-e olyan \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) egész számok, amelyekre

\(\displaystyle n^3-n-1=k^2-k+1? \)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn.)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4644. Egy \(\displaystyle R\) sugarú félkörbe két \(\displaystyle r\) sugarú, egymást kívülről, a félkörívet és az átmérőt pedig belülről érintő kört írtunk az ábra szerint. Határozzuk meg az \(\displaystyle r\) sugarat.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4645. Tetszőleges \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egészekre legyen

\(\displaystyle H_{1}=\{1, 3, 5, \ldots, 2n-1\} \quad\text{és}\quad H_{2}=\{1+k, 3+k, 5+k, \ldots, 2n-1+k\}. \)

Létezik-e minden \(\displaystyle n\)-hez olyan \(\displaystyle k\), hogy a \(\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\) halmaz összes elemének szorzata négyzetszám legyen?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4646. A \(\displaystyle p\) paraméter mely értékei esetén áll fenn az

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{\sin x}\right)^{3} \ge \frac{p}{\mathop{\rm tg}^2 x} \)

egyenlőtlenség bármely \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\) esetén?

Javasolta: Faragó András

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4647. Tegyük föl, hogy 100 zárt egységkör együttesen lefed egy tőlük különböző 101-ediket. Mutassuk meg, hogy a 100 közül valamelyik lefedi egy másiknak a legfelső (legnagyobb ordinátájú) pontját.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4648. Egy egyenlő oldalú tetraéder élei 13, \(\displaystyle \textstyle \sqrt{281}\) és \(\displaystyle 20\) egység hosszúságúak. Határozzuk meg két lapjának a hajlásszögét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4649. Legyenek a síkon \(\displaystyle e_1,e_2,\dots,e_n\) különböző egyenesek, \(\displaystyle f\) pedig egy olyan egyenes, mely egyikükkel sem párhuzamos. Tekintsük az \(\displaystyle f\)-fel párhuzamos összes \(\displaystyle f_{\alpha}\) egyenest. Legyen \(\displaystyle S_{\alpha}\) az \(\displaystyle f_{\alpha}\cap e_1, f_{\alpha}\cap e_2, \ldots, f_{\alpha}\cap e_n\) pontok súlypontja. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle S_{\alpha}\) pontok kollineárisak.

Javasolta: Csikós Balázs (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4650. Létezik-e olyan \(\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) alakú függvény, melyre alkalmas páronként különböző \(\displaystyle x_1,\ldots,x_5\) valós számokkal

\(\displaystyle f(x_1)=x_2,\quad f(x_2)=x_3,\quad f(x_3)=x_4,\quad f(x_4)=x_5,\quad f(x_5)=x_1 \)

teljesül?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. október 10-én LEJÁRT.


A. 620. Artúrnak és Benőnek van egy \(\displaystyle k\times n\)-es csokoládéja, ezzel a következő játékot játsszák. Felváltva esznek egy-egy darabot a csokoládéból, Artúr kezd. Minden lépésben a soron következő játékos a vonalak mentén két kisebb téglalap alakú darabra töri szét a csokoládét, és megeszi a kisebbik darabot. (Ha történetesen a két darab ugyanakkora, akkor szabadon választhat, hogy melyiket eszi meg.) Aki először eszik valamelyik lépésben egyetlen csokoládékockát, veszít, a másik játékos nyer.

Határozzuk meg mindazokat a \(\displaystyle (k,n)\) párokat, amikre Artúrnak van nyerő stratégiája.

Izraeli feladat nyomán

(5 pont)

megoldás (angolul), statisztika


A. 621. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjai rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\). A \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BCB_1C_1\) pontokon átmenő kör az \(\displaystyle AA_1\) szakaszt a \(\displaystyle D\) pontban metszi. Legyen \(\displaystyle T\) az a pont a \(\displaystyle DF\) szakaszon, amelyre a \(\displaystyle BT\) egyenes érinti az \(\displaystyle AB_1C_1\) kört. Messe a \(\displaystyle C_1F\) szakasz a \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle BT\) egyeneseket \(\displaystyle P\)-ben, illetve \(\displaystyle Q\)-ban. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle DPQT\) négyszög érintőnégyszög.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 622. Igazoljuk, hogy tetszőleges nemnegatív egész \(\displaystyle k\) esetén \(\displaystyle \dfrac{7^{7^{k+1}}+1}{7^{7^{k}}+1}\) összetett szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley