KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.


K. 439. Az ábrán látható alakzat minden oldala 10 cm hosszú, minden belső szöge \(\displaystyle 30^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 150^\circ\), vagy \(\displaystyle 300^\circ\). Mekkora a területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 440. Tíz darab szabályos dobókockával dobtunk egyszerre, a dobott számok szorzata 7776 lett. Tudjuk, hogy a dobott számok legnagyobbika csak egyszer fordult elő. Mennyi lehet a dobott számok összege?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 441. Keressük meg az összes kétjegyű számot, melyben a számjegyek összegéhez a számjegyek szorzatát hozzáadva az eredeti számot kapjuk eredményül.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 442. Az 1, 3, 120 számokra igaz, hogy bármely két közülük kiválasztott szám szorzatánál eggyel nagyobb szám négyzetszám. Melyik számot vehetjük hozzájuk a 120-nál kisebb pozitív egész számok közül negyedikként, hogy az állítás továbbra is igaz maradjon?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 443. Az \(\displaystyle \overline{ab}_{7} +\overline{cd}_{7} =100_{7}\) hetes számrendszerbeli egyenlőség teljesül. Mennyi lehet \(\displaystyle \overline{ab}_{10} +\overline{cd}_{10}\) tízes számrendszerben?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 444. Melyik az a legnagyobb szám, ami 22-vel, 33-mal és 55-tel osztható, azonban 52-vel, 117-tel és 325-tel nem osztható, és 18404100-nak osztója?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.


C. 1254. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle C\)-ből induló magasság \(\displaystyle T\) talppontjára teljesül, hogy \(\displaystyle AT=3TB\). Jelöljük az \(\displaystyle AB\) felezőpontját \(\displaystyle F\)-fel, továbbá a \(\displaystyle CT\) magasság azon pontját \(\displaystyle D\)-vel, ahonnan az \(\displaystyle AB\) derékszög alatt látszik. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontja egybeesik az \(\displaystyle FBD\) háromszög súlypontjával, akkor \(\displaystyle AD\) felezi a \(\displaystyle BAC\) szöget.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1259. Gondoltunk három, legalább kétjegyű egész számra. Tudjuk, hogy az első számnál eggyel nagyobb, a második szám kétszeresénél néggyel nagyobb és a harmadik szám háromszorosánál kilenccel nagyobb számok egyenlők. Legalább mekkora lesz a három gondolt szám szorzata?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1260. Az \(\displaystyle ABCD\) egységnégyzet \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalainak felezőpontja rendre: \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle I\), \(\displaystyle H\). Az \(\displaystyle ED\) és \(\displaystyle HI\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle EC\) és \(\displaystyle FI\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle G\). Mekkora a \(\displaystyle MEGI\) négyszög területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1261. Hány olyan pozitív egészekből álló számhármas létezik, amelyek összege 30, és közülük bármely kettő összege nagyobb a harmadik számnál?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1262. Bizonyítsuk be, hogy ha egy húrnégyszög egyben érintőnégyszög is, és az egyik szöge derékszög, akkor szimmetrikus.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1263. Keressük meg a 144-nek azt a legkisebb többszörösét, amely csak 0 és 1 számjegyeket tartalmaz.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1264. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsából induló belső szögfelező a szemközti oldalt a \(\displaystyle P\) pontban, az \(\displaystyle AP\) szakasz felezőmerőlegese az \(\displaystyle AC\) oldalt a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Fejezzük ki az \(\displaystyle ABPQ\) négyszög területét az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle AQ\) szakaszok és a \(\displaystyle BAQ\) szög ismeretében.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1265. Határozzuk meg az

\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+4 \)

kifejezés legkisebb értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.


B. 4669. Közismert, hogy a 777 fejű sárkányoknak minden nyakán 9 vagy 13 fej ül. Két sárkány egyforma, ha ugyanannyi 9 fejű nyakuk van. Hány különböző 777 fejű sárkány van?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4670. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak felezőpontjai legyenek \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\). Bocsássunk \(\displaystyle A_1\)-ből merőlegest az \(\displaystyle A\) csúcshoz tartozó szögfelezőre, \(\displaystyle B_1\)-ből a \(\displaystyle B\)-hez, \(\displaystyle C_1\)-ből pedig a \(\displaystyle C\)-hez tartozóra. A \(\displaystyle B_1\)-et tartalmazó merőleges és a \(\displaystyle C_1\)-et tartalmazó merőleges metszéspontja legyen \(\displaystyle A_2\), hasonlóan kapjuk a \(\displaystyle B_2\), \(\displaystyle C_2\) pontokat. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_1A_2\), \(\displaystyle B_1B_2\), \(\displaystyle C_1C_2\) egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4671. Legyenek \(\displaystyle AB_1B_2\ldots B_6\) és \(\displaystyle AC_1C_2\ldots C_6\) azonos körüljárású szabályos hétszögek. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle B_1C_1, B_2C_2, \dots, B_6C_6\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4672. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számokon értelmezett, valós értékeket felvevő \(\displaystyle f\) függvényt, amelyre tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész esetén teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{p}{f(1)+f(2)+\ldots +f(n)}=\frac{p+1}{f(n)}-\frac{p+1}{f(n+1)}, \)

ahol \(\displaystyle p\) rögzített pozitív szám.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4673. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle E\), körülírt körének középpontja \(\displaystyle K\). Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalegyenesek metszéspontja \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle DA\) oldalegyenesek metszéspontja \(\displaystyle G\). A \(\displaystyle BFC\) és \(\displaystyle CGD\) háromszögek körülírt köreinek második metszéspontja \(\displaystyle H\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle K\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle H\) pontok egy egyenesen fekszenek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4674. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt körön, a \(\displaystyle B\) csúcsot nem tartalmazó \(\displaystyle AC\) íven egy \(\displaystyle X\) pont mozog. Jelölje rendre \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) a \(\displaystyle BA\), illetve \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle A\)-n, illetve \(\displaystyle C\)-n túli meghosszabbításán azt a pontot, amelyre \(\displaystyle AY=AX\) és \(\displaystyle CZ=CX\). Mi az \(\displaystyle YZ\) szakasz felezőpontjának mértani helye?

Javasolta: Pozsonyi Enikő (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4675. Melyik a nagyobb:

\(\displaystyle \log_{3}4\cdot \log_{3}6 \cdot \log_{3}8\cdot \ldots \cdot \log_{3}2012 \cdot \log_{3}2014 \)

vagy

\(\displaystyle 2\cdot \log_{3}3\cdot \log_{3}5 \cdot \log_{3}7\cdot \ldots \cdot \log_{3} 2011 \cdot \log_{3} 2013? \)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4676. A számegyenesen egy bolha ugrál. A \(\displaystyle 0\)-ból indul, minden ugrásának hossza 1, és a következő ugrás mindig \(\displaystyle p\) valószínűséggel az előzővel egyező, \(\displaystyle {1-p}\) valószínűséggel pedig ellentétes irányú. Mennyi annak a valószínűsége, hogy visszajut a 0-ba?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4677. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder egyenlő oldalú (azaz szemközti élei egyenlő hosszúak), akkor a \(\displaystyle D\)-ből induló magasságvonal talppontja rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög Euler-egyenesén.

Javasolta: Szabó Csaba (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.


A. 629. A négyzetrácson megjelöltünk végtelen sok rácspontot úgy, hogy egyetlen körvonalon sincs 2014-nél több a megjelölt pontok közül. Mutassuk meg, hogy biztosan van olyan \(\displaystyle 100\) egység átmérőjű körlap (a négyzetrács síkjában), amelynek belsejében nincs egyetlen megjelölt pont sem.

Javasolta: Ágoston Péter, Gyenes Zoltán és Hujter Bálint

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 630. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex érintőnégyszögbe írt kör középpontja \(\displaystyle I\). Az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle DC\) félegyenes az \(\displaystyle F\) pontban, az \(\displaystyle AD\) és a \(\displaystyle BC\) félegyenes a \(\displaystyle G\) pontban metszi egymást. Legyen \(\displaystyle \mathcal{E}\) az a \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) fókuszú ellipszis, amely átmegy a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontokon, és legyen \(\displaystyle \mathcal{H}\) az a \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) fókuszú hiperbolaág, amely átmegy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontokon. Az \(\displaystyle \mathcal{E}\) és \(\displaystyle \mathcal{H}\) metszéspontjait jelölje \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle I\) pontok egy egyenesen vannak.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 631. Legyen \(\displaystyle k\ge1\), és legyenek \(\displaystyle I_1,\ldots,I_k\) a \(\displaystyle [0, 1]\) intervallum el nem fajuló részintervallumai. Bizonyítsuk, hogy

\(\displaystyle \sum \frac1{|I_i\cup I_j|} \ge k^2, \)

ahol az összegzés az olyan \(\displaystyle (i, j)\) indexpárokra vonatkozik, ahol \(\displaystyle I_i\) és \(\displaystyle I_j\) nem diszjunkt.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley