Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A KöMaL 2015. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.


K. 445. A \(\displaystyle PQRS\) négyzet \(\displaystyle P\) sarkát a szemközti \(\displaystyle R\) sarokra hajtva, majd a \(\displaystyle Q\)-t az \(\displaystyle R\) sarokra hajtva az így kapott alakzat területe \(\displaystyle 9~\rm cm^{2}\). Mennyi az eredeti négyzet területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 446. Jancsinak két cégnél van munkája, mindkét cég órabérben fizet. Ha egy adott hónapban az első cégnél kétszer annyit dolgozik, mint a másodiknál, akkor a havi fizetése 4/5 része annak, mintha ezt fordítva csinálná. Hány órát kell dolgoznia az első cégnél, hogy megkeresse a második cég által 10 órára fizetett bérét?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 447. Találhatunk-e olyan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) természetes számokat, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle x^{2}+y^{2}=2015\)?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 448. Egy kör alakú tárcsán négy korong helyezkedik el az ábrának megfelelően. Hányféleképpen színezhetjük ki a korongokat négy szín segítségével, ha a tárcsa középpontja körüli, a tárcsa síkjában történő forgatással egymásba vihető színezéseket nem tekintjük különbözőnek? A színezéshez a négy színből tetszőlegesen választhatunk, egy korong egyszerre csak egy színnel színezhető.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 449. Sebi 98 pontos tesztje 1 ponttal növelte az eddigi pontátlagát, míg a következő 70 pontos 2 ponttal rontotta. Hány tesztet írt összesen Sebi?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 450. Az \(\displaystyle 1, 14, 27, \ldots\) számtani sorozatban hány jegyű a második olyan szám, amely csupa 2-es számjegyből áll?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.


C. 1266. Oldjuk meg az \(\displaystyle 5(2n+1)(2n+3)(2n+5) =\overline{ababab}\) egyenletet, ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész számot, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) különböző számjegyet, \(\displaystyle \overline{ababab}\) pedig egy hatjegyű számot jelöl.

Javasolta: Számadó László (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1267. Adott a síkon egy konvex szögtartomány, belsejében egy \(\displaystyle S\) pont. Határozzuk meg (például a szerkesztési eljárás megadásával) azt az egyenest, amely által a szögtartományból levágott háromszög súlypontja éppen az \(\displaystyle S\) pont.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1268. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valós számokra fennáll:

\(\displaystyle a^4+b^4+2\ge 4ab. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1269. Legalább hány oldala van annak a szabályos sokszögnek, amelynél a körülírt kör sugara a beírt kör sugarának legfeljebb 1,1-szerese?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1270. Rajzoltunk néhány egyenest és kört egy lapra úgy, hogy bármely kettőnek van metszéspontja és semelyik három nem megy át közös ponton. Hány kört és hány egyenest rajzoltunk, ha összesen 75 metszéspontjuk van?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1271. Rajzoljuk meg egy derékszögű háromszög körülírt körének a háromszöget tartalmazó félkörét. A félkörhöz húzzunk a háromszög befogóival párhuzamos érintőket. Ezek az átfogó egyenesével az eredetihez hasonló háromszöget határoznak meg.

Mekkorák a háromszög szögei, ha a külső háromszög területe 6-szorosa a belső háromszög területének?

Légrádi Imre (Sopron) javaslata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1272. Egy 100-tagú számtani sorozat összege a 68. tag nélkül 838, a 13. tag nélkül pedig 849. Mekkora a kihagyott tagok értéke?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.


B. 4678. Annipanni és Boribon felváltva számjegyeket írnak egymás mellé, balról jobbra haladva a papíron. Annipanni kezd egy 0-tól különböző számjeggyel. Addig folytatják a játékot, amíg egy 100-jegyű számot nem kapnak. Boribon nyer, ha a kapott szám 11-gyel osztva 5 maradékot ad, ellenkező esetben Annipanni. Mind a ketten nagyon tudják a matekot. Melyikük nyeri meg a játékot?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4679. Bizonyítsuk be, hogy 39 egymás után következő természetes szám között mindig van olyan, amelyben a számjegyek összege osztható 11-gyel.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4680. Határozzuk meg a

\(\displaystyle 3^{n}=2n^2+1 \)

egyenlet egész megoldásait.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4681. Mekkora a C. 1240. feladatban szereplő ötszög területe?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4682. Adott \(\displaystyle k\) pozitív egész számhoz keressük meg azt a legnagyobb \(\displaystyle m\) pozitív egészet, amelyre a következő teljesül: ha a síkon \(\displaystyle 3k\) különböző pont közül legfeljebb \(\displaystyle m\) darab esik egy egyenesbe, akkor a pontok \(\displaystyle k\) darab hármas csoportba oszthatók úgy, hogy az egy csoportban lévő pontok egy háromszög csúcsai.

Javasolta: Frank András (Nagykovácsi)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4683. Van-e olyan sík, amely egy szabályos ötszög alapú egyenes gúlát

\(\displaystyle a)\) tengelyesen,

\(\displaystyle b)\) középpontosan

szimmetrikus hatszögben metsz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4684. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög átlói merőlegesek egymásra, a metszéspontjuk \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle E\) pontból bocsássunk merőlegest mind a négy oldalegyenesre. Tekintsük mindegyik merőlegesnek a szemközti oldallal való metszéspontját. Igazoljuk, hogy ez a négy pont egy olyan körön van, amelynek középpontja az átlók felezőpontját összekötő szakaszra illeszkedik.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4685. Adjuk meg \(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{4}\) legkisebb lehetséges értékét, ha ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) olyan pozitív számok, melyek összege 34.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4686. A sík egész koordinátájú rácspontjain egy bolha ugrál. Tud-e úgy ugrálni, hogy minden rácspontban pontosan egyszer járjon, az ugrásainak a hossza pozitív egész szám legyen és minden pozitív egész pontosan egyszer forduljon elő az ugrások hosszai között?

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. február 10-én LEJÁRT.


A. 632. Legyen \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben legyen \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) a beírt kör, illetve az \(\displaystyle A\) csúccsal szemközti hozzáírt kör középpontja. Az \(\displaystyle ACD\) háromszögben legyen \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle L\) a beírt, illetve az \(\displaystyle A\) csúccsal szemközti hozzáírt kör középpontja. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle IL\) és \(\displaystyle JK\) egyenesek, valamint a \(\displaystyle BCD\) szög felezője egy ponton mennek át.

Orosz feladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 633. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\) elegendően nagy pozitív egész szám, akkor bármely \(\displaystyle n\) különböző pozitív egész között van négy olyan, amelyek legkisebb közös többszöröse nagyobb, mint \(\displaystyle n^{3{,}99}\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 634. Legyen \(\displaystyle n\ge2\) egész szám, és legyen \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to[-1,1]\)  \(\displaystyle n\)-szer differenciálható függvény. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle f^{(n)}(x)=0\) egyenletnek legalább \(\displaystyle n-1\) különböző megoldása van.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)