KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2015. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.


K. 475. Írjuk be a lenti mezőkbe az egész számokat 1-től 15-ig úgy, hogy bármely két szomszédos mezőben álló szám összege négyzetszám legyen.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 476. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, melyeknek ezresre kerekített értéke kétszer akkora, mint a százasra kerekített értéke. (A kerekítési szabályok alkalmazása során 5, 50, 500, ...\(\displaystyle \;\) végződésű számok esetén már felfelé kerekítünk.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 477. Jancsi éppen azt tanulja, hogyan kell evőpálcikákkal enni. Gyakorlásképpen a két összefogott evőpálcikával egy 4 cm átmérőjű golyót kell felvennie az ábrán látható módon. (A gömböt akkor lehet felemelni, ha középpontja illeszkedik a pálcikák által meghatározott síkra.) A két evőpálcika Jancsi kezében éppen 60 fokos szöget zár be egymással. Mekkora távolságra van az akció során a pálcikák találkozási pontjától a gömb (ehhez a ponthoz) legközelebbi pontja?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 478. Tamás gazda a boltban szeretne venni 4 méternyi láncot, melynek métere 210 Ft-ba kerül. Az eladó megpróbálja rábeszélni, hogy inkább vigye el mind a 10 métert, ami még ebből a láncból maradt. Tamás gazda továbbra is ragaszkodik a 4 méterhez, azonban észreveszi, hogy a boltos szándékosan rosszul mérte a levágandó darabot, ezért az 4 méternél rövidebb lett. Így azt kéri a boltostól, hogy mégis inkább a másik darabot adja el neki, aki, hogy a csalása ki ne derüljön, kénytelen 6 méter áráért eladni a másik darabot Tamás gazdának. Ha nem vette volna észre a csalást, akkor Tamás gazdának 14/9-szer annyiba került volna egy méter lánc, mint amennyibe ezzel a kis ravaszsággal került. Hány méter láncot kapott Tamás gazda?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 479. Az \(\displaystyle \big({(-a^{-b})}^{-c}\big)^{-d}\) kifejezésben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) helyére az 1, 2, 3, 4 számokat írva melyik esetben lesz a kifejezés értéke minimális, melyik esetben maximális?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 480. A következő összeadásban az ötféle betű az öt páratlan számjegyet jelenti valamilyen sorrendben: \(\displaystyle a+\overline{bb} +\overline{ccc\vphantom{b}} +\overline{dddd} +\overline{eeeee\vphantom{b}}\). Adjuk meg az összes ilyen alakban előállítható ötjegyű szám összegét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.


C. 1315. Egy csokoládégyárban a kész csokimasszát 100 grammos adagokban öntik táblákba. A gépek hibája miatt pontosan minden 45. tábla eltörik, és ezt még csomagolás előtt egy ellenőr visszaolvasztja a masszába. Ám az ellenőr figyelmetlen, és minden 21. törött táblát továbbenged csomagolásra. 10 tonna masszából hány tábla törött csokoládé kerül ki a piacra?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1316. Egy teremben 3 oszlopban és 6 sorban - összesen 18 helyre - ül le 10 lány és 7 fiú. Hány különböző ülési rend lehetséges, ha egy oszlopba és egy sorba nem ülhet csupa fiú vagy csupa lány?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1317. Az \(\displaystyle ABCDE\) ötszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) csúcsánál levő belső szögek rendre \(\displaystyle 90^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\), \(\displaystyle 150^\circ\) és \(\displaystyle 150^\circ\), továbbá \(\displaystyle AB=2BC=\frac 43 AD\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek metszéspontját az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) egyenesek metszéspontjával összekötő szakasz párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1318. Az 518 számnak van egy érdekes tulajdonsága. Képezzük azt a hat darab háromjegyű számot, amelyek számjegyei az 518 számjegyeinek különböző permutációi. Az így kapott számok átlaga éppen 518. Keressük meg az ilyen tulajdonságú különböző számjegyekből álló háromjegyű számokat.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1319. Egy négyszög oldalfelező pontjai egy négyzet csúcsait alkotják. A négyszög területe 50, két szemközti oldala 5 és \(\displaystyle \sqrt{85}\). Mekkora a másik két oldal?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1320. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

\(\displaystyle 4x^{2}y^{2}+z^{4}+\sqrt{3x^{2}y-6x^{2}}+16=7z^{2}+4xyz. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1321. Hány olyan különböző 6 csúcsú egyszerű gráf van, amelynek 5 éle van?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.


B. 4741. Hány olyan tengelyesen szimmetrikus háromszög van, melynek egyik oldala kétszer olyan hosszú, mint a háromszög valamelyik magassága, ha az egymáshoz hasonló háromszögeket nem tekintjük különbözőnek?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4742. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle n\ge 3\) csúcsú teljes gráf éleire írhatunk 1-et, 2-t vagy 3-at úgy, hogy minden csúcsban különböző legyen az oda befutó élekre írt számok szorzata.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4743. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírható köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontban érinti. Legyenek az \(\displaystyle AC_1B_1\), \(\displaystyle BA_1C_1\) és \(\displaystyle CB_1A_1\) háromszögek magasságpontjai rendre \(\displaystyle M_A\), \(\displaystyle M_B\) és \(\displaystyle M_C\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög egybevágó az \(\displaystyle M_AM_BM_C\) háromszöggel.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4744. Legyen \(\displaystyle n\) nemnegatív egész szám. Határozzuk meg a 7 kitevőjét a \(\displaystyle 3^{7^n} + 4^{7^n}\) prímtényezős alakjában.

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4745. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \frac{1}{\sin^{2n} x} + \frac{1}{\cos^{2n} x} = 2^{n+1} \)

egyenletet.

Javasolta: Longáver Lajos (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4746. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírható köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle C_1\) pontban érinti. Az \(\displaystyle AA_1\) szakasznak a beírható körrel való másik metszéspontja \(\displaystyle Q\). Az \(\displaystyle A\) ponton átmenő, \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos egyenest az \(\displaystyle A_1 C_1\) és \(\displaystyle A_1 B_1\) egyenesek a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle R\) pontban metszik. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle PQR\sphericalangle =B_1 QC_1\sphericalangle\).

(Kvant)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4747. Az idei év legelső játékhetében a hatoslottó különleges meglepetéssel szolgált, ugyanis öt egymás utáni számot húztak ki a 45-ből. A kihúzott nyerőszámok a következők voltak: 37, 38, 39, 40, 41, 45. A hír hamar bejárta a sajtót, de vajon tényleg annyira különlegesek? Nevezzünk tökéletesnek egy számsort, ha hat közvetlenül egymás után álló számból áll, és majdnem tökéletesnek, ha a hatból pontosan öt közvetlenül egymást követi. Hány különböző tökéletes, illetve majdnem tökéletes kombináció van? Figyelembe véve, hogy a hatoslottót több mint 26 éve játsszák, és eddig 1227 játékhét volt, mekkora a valószínűsége annak, hogy ennyi idő alatt kihúznak legalább egy tökéletes vagy majdnem tökéletes számsort?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4748. Forgassuk meg a \(\displaystyle \mathcal H\) háromszöget egy, a síkjában fekvő, de őt nem metsző egyenes körül. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett test térfogata megegyezik \(\displaystyle \mathcal H\) területének és a \(\displaystyle \mathcal H\) súlypontja által a forgatás során leírt kör kerületének a szorzatával.

(Figyelem! A feladat a lapban pontatlanul jelent meg.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4749. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsából induló magasságvonal talppontja az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle AB\) oldalon rendre \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AF\) és \(\displaystyle DE\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle M\) pontnak a \(\displaystyle BC\) szakaszra eső merőleges vetülete \(\displaystyle N\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AN\) szakasz felezi a \(\displaystyle DE\) szakaszt.

Tanára, dr. Kálmán Attila emlékére javasolta Bíró Bálint (Eger)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. december 10-én LEJÁRT.


A. 653. Legyen \(\displaystyle n\ge2\) egész. Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor léteznek olyan \(\displaystyle a_1,\dots,a_{n-1}\) egész számok, amelyekre

\(\displaystyle a_1 \arctg 1 + a_2 \arctg 2 +\ldots+ a_{n-1}\arctg(n-1) = \arctg n, \)

ha \(\displaystyle (1^2+1)(2^2+1)\ldots\big((n-1)^2+1\big)\) osztható \(\displaystyle (n^2+1)\)-gyel.

Az IMC 2015 (Blagoevgrad) feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 654. Legyen \(\displaystyle p(x)\) olyan legfeljebb \(\displaystyle n\)-edfokú polinom, amire \(\displaystyle 0<x\le 1\) esetén \(\displaystyle \big|p(x)\big|\le\frac{1}{\sqrt{x}}\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \big|p(0)\big|\le 2n+1\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 655. A \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontokban metszik egymást. A \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok a \(\displaystyle k_1\), az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok pedig a \(\displaystyle k_2\) körön helyezkednek el úgy, hogy \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle F\) kollineáris. Az \(\displaystyle ACE\) egyenesen \(\displaystyle G\), a \(\displaystyle BDF\) egyenesen \(\displaystyle H\) egy újabb pont. A \(\displaystyle CH\) egyenes az \(\displaystyle FG\) egyenest \(\displaystyle I\)-ben, a \(\displaystyle k_1\) kört másodszor \(\displaystyle J\)-ben metszi. A \(\displaystyle DG\) egyenes az \(\displaystyle EH\) egyenest \(\displaystyle K\)-ban, a \(\displaystyle k_1\) kört másodszor \(\displaystyle L\)-ben metszi. A \(\displaystyle k_2\) kör az \(\displaystyle EHK\) és \(\displaystyle FGI\) egyeneseket másodszor az \(\displaystyle M\), illetve az \(\displaystyle N\) pontban metszi. Az \(\displaystyle A,B,C,\ldots,N\) pontok különbözők. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) egy körön vagy egy egyenesen vannak.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley