KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2017. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.


K. 529. Négy kör úgy helyezkedik el, ahogyan az ábrán látható. A körökön belül létrejött tíz tartományba úgy kell beírni az \(\displaystyle 1, 2, 3, \ldots, 10\) számokat, hogy az egyes körökön belüli számok összege egyenlő legyen egymással. Legfeljebb mekkora lehet ez az összeg?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 530. Anton és Bláziusz az apjuktól örököltek egy földterületet, melyet felosztottak egymás között apjuk végakaratának megfelelően. Mindkét fiú csak búzát és kukoricát termelt. A földterület talaja jobban kedvez a kukoricának, ezért egy adott területre búzát ültetve csak harmadannyi lesz a termés, mint kukorica ültetése esetén. Antonnak másfélszer annyi búzája termett, mint kukoricája, Bláziusznak pedig ötször annyi kukoricája termett, mint búzája. A teljes földterületen a búza- és kukoricatermés aránya \(\displaystyle 11:27\). Milyen arányban örökölték a földterületet a fiúk?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 531. Egy \(\displaystyle 4\times 4\)-es táblázatot sakktáblaszerűen kiszínezünk. Egy lépésben egy kiszemelt \(\displaystyle 2\times 2\)-es részen minden mező színét megváltoztatjuk (feketéből fehér, fehérből fekete lesz).

\(\displaystyle a)\) Néhány ilyen színcserével elérhető-e, hogy az egész tábla fekete színű legyen?

\(\displaystyle b)\) Elérhető-e ilyen színcserékkel ugyanez az \(\displaystyle 5\times 5\)-ös tábla esetén, ha a sarkok fehérek?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 532. Gergő a mobiltelefonját minden este töltésre teszi, így 100%-osan feltöltött akkumulátorral indulhat a nap. Ha csak telefonál a készülékkel, akkor 30%-kal több ideig tudja használni, mint ha játszana vele, és 60%-kal több ideig, mint ha internetezésre használná. A mai napon 20 percet beszélt a telefonon, 50 percet játszott és 80 percet internetezett. A készüléke lemerült. Hány percig tud Gergő internetezni a telefonjával, ha az teljesen fel van töltve, és csak erre használja?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 533. Lehet-e négy szomszédos természetes szám négyzetösszege négyzetszám?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 534. Katinak van egy asztala, melynek asztallapja egy 4 m\(\displaystyle {}^{2}\) területű kör, és van hozzá egy ugyanilyen méretű, kör alakú terítője. Józsinak van egy asztala, melynek asztallapja egy két méter oldalhosszúságú négyzet, és van hozzá egy ugyanilyen méretű, négyzet alakú terítője. Egy nap a két gyerek elcserélte a terítőket, és mindketten felrakták a kapott terítőt a saját asztalukra úgy, hogy a terítő és az asztallap középpontja egybeesett. Mindketten azt látták, hogy a terítő részben lelóg az asztallapról, az asztallap pedig részben fedetlenül marad. Melyiküknél volt nagyobb területű a fedetlenül maradt rész?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.


C. 1392. A \(\displaystyle 2017-(2+0+1+7)\) szám osztható a \(\displaystyle (2+20+201)\) számmal, tehát a 2017 rendelkezik a következő tulajdonsággal: ha kivonjuk a számból a számjegyeinek összegét, akkor egy olyan négyjegyű számot kapunk, ami osztható a szám első, első kettő, illetve első három jegye által alkotott egy, két, illetve háromjegyű számok összegével. Hány ilyen tulajdonságú négyjegyű szám létezik?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1393. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan háromszög, melynek magasságai 20, 17 és 9 cm.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1394. Hány olyan pozitív egész szám van, melynek prímtényezős felbontásában csak a két legkisebb prímszám szerepel, és a szám harmadik hatványának nyolcszor annyi pozitív osztója van, mint a számnak?

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1395. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma egyik oldala kétszerese a másiknak. Adjuk meg a belső szögfelezők által meghatározott paralelogramma és \(\displaystyle ABCD\) területének arányát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1396. Labdarúgó mérkőzések során jegyzőkönyvben rögzítik a mérkőzés állását. Hányféle különböző jegyzőkönyv készülhet, ha a végeredmény \(\displaystyle 3:3\)? Ezeknek hány százalékában fordul elő, hogy valamelyik csapat a mérkőzés során legalább 2 góllal vezetett?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1397. Bizonyítsuk be, hogy az

\(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad x\mapsto \begin{cases} 2x+2-6k, & \text{ha } x\in \left[6k; 6k+2\right[ ,\\ \frac{x-2+6k}{2}, & \text{ha } x\in \left[6k+2; 6k+6\right[ \end{cases} \quad (k\in \mathbb{Z}) \)

függvény (\(\displaystyle k\) az összes egész értéket felveszi) kölcsönösen egyértelmű, és önmaga inverze.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1398. Egy egyenes körkúpba kockát rajzolunk úgy, hogy annak egyik lapja a kúp alapkörén legyen, maradék négy csúcsa pedig a kúp palástjára essen. Mekkora a kocka felszíne, ha a kúp alapkörének sugara \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\,\), alkotója pedig háromszor ekkora?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.


B. 4840. Mutassuk meg, hogy minden egész szám felírható \(\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}\) alakban alkalmas \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív egész számokkal.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4841. Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle e\) egyenest az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban, az \(\displaystyle OB\) szakaszfelező merőlegesét pedig a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle COA \sphericalangle\) szögfelezője és az \(\displaystyle e\) egyenes 60 fokos szöget zárnak be.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4842. Legyen \(\displaystyle p\) tetszőleges (pozitív) prímszám. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle b\) pozitív egész számot, amelyre az \(\displaystyle x^2-bx+bp = 0\) másodfokú egyenlet gyökei egész számok.

Javasolta: Lelkes Ádám (New York City)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4843. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalaihoz írt köröknek az oldalakon az érintési pontjai rendre \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KL\) és \(\displaystyle AB\) szakaszok felezőpontjain átmenő egyenes párhuzamos az \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szögfelezőjével, és felezi a háromszög kerületét.

(Kvant alapján)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4844. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle (p,q,n)\) rendezett számhármast (ahol \(\displaystyle {n\ge 2}\) pozitív egész), amelyre teljesül, hogy létezik pontosan \(\displaystyle n\) darab, nem feltétlenül különböző valós szám, melyek szorzata \(\displaystyle p\) és összege \(\displaystyle q\).

Javasolta: Porupsánszki István (Miskolc)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4845. Bizonyítsuk be, hogy az

\(\displaystyle a_1 =1,\)

\(\displaystyle a_n =\frac{4a_{n-1}+\sqrt{7a^2_{n-1}-3}}{3};\quad n\ge2\)

sorozat minden eleme racionális.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4846. Öt zárt félsík metszete korlátos. Mutassuk meg, hogy kiválasztható közülük négy úgy, hogy azok metszete is korlátos.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4847. Legyen \(\displaystyle f\) a \(\displaystyle [0;1]\) intervallumon értelmezett pozitív, korlátos függvény. Igazoljuk, hogy léteznek olyan \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) számok, amelyekre

\(\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)}>\frac{f(0)}4. \)

O. Reutter (Németország)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4848. Keressük meg az összes olyan \(\displaystyle P\) konvex poliédert, aminek a belsejében létezik egy olyan \(\displaystyle O\) pont, hogy \(\displaystyle P\) minden \(\displaystyle O\)-ra illeszkedő síkkal vett metszete \(\displaystyle O\) középpontú paralelogramma.

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.


A. 686. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre \(\displaystyle \omega\). A \(\displaystyle BC\) oldalhoz hozzáírt kör a \(\displaystyle BC\) egyenest az \(\displaystyle A_1\) pontban érinti. Legyen \(\displaystyle X\) egy tetszőlegesen felvett pont az \(\displaystyle AA_1\) szakasz \(\displaystyle A_1\)-en túli meghosszabbításán, és messe a \(\displaystyle BC\) egyenes az \(\displaystyle X\)-ből \(\displaystyle \omega\)-hoz húzott érintőket \(\displaystyle Y\)-ban, illetve \(\displaystyle Z\)-ben úgy, hogy \(\displaystyle BY<BZ\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle XY-XZ\) nem függ az \(\displaystyle X\) pont helyétől.

Orosz feladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 687. Legyen \(\displaystyle f(x)\) és \(\displaystyle g(x)\) két nemnulla polinom úgy, hogy \(\displaystyle f(x)\) foka magasabb, mint \(\displaystyle g(x)\) foka. Tegyük fel, hogy végtelen sok \(\displaystyle p\) prímszámra a \(\displaystyle pf(x)+g(x)\) polinomnak van racionális gyöke. Mutassuk meg, hogy magának \(\displaystyle f(x)\)-nek is van racionális gyöke.

Olasz feladat

(5 pont)

statisztika


A. 688. Figyelem! A feladat szövege pontatlanul jelent meg. A javított szöveg:

Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle {\color{red}4097}\) különböző, \(\displaystyle 24\) hosszú \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 1\) sorozat között létezik két olyan, amely legfeljebb \(\displaystyle 7\) helyen különbözik egymástól.

Brazil feladat

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley