KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.


K. 541. Anna jövedelme Betti jövedelmének \(\displaystyle \frac{5}{8}\) része, Anna havi kiadásai Betti havi kiadásainak felét teszik ki. Anna jövedelmének 40%-át félreteszi havonta. Jövedelmének hány százalékát teszi félre Betti havonta?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 542. Egy boltban 1100 Ft-ért lehet megvenni egy ajándéktárgyat. Egy egzotikus országból érkezett turista úgy szeretné megvenni, hogy a saját országának pénzével fizet érte. A turista országában háromféle pénz van forgalomban: kerek, négyszög, illetve háromszög alakú. 11 db kerek 1500 Ft-ot, 11 db négyszög alakú 1600 Ft-ot, 11 db háromszög alakú 1700 Ft-ot ér. Melyik pénzből hány darabot kell adnia, hogy pontosan ki tudja fizetni az 1100 Ft-ot? Adjuk meg az összes lehetőséget.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 543. Egy raktárban 27 db kocka alakú dobozt egy nagyobb kocka alakba rendeztek el. Mindegyik dobozban egy nagyméretű sajt lapul. A raktárban egy egér bemászik az egyik földön levő dobozba, megeszi az ott levő sajtot, majd átmászik egy, ezzel közös oldallappal rendelkező nem üres dobozba, ott is megeszi a sajtot, és ezt így folytatja. Tud-e úgy tevékenykedni az egér, hogy a nagy kocka

\(\displaystyle a)\) egyik lapjának közepén levő dobozban levő sajtot

\(\displaystyle b)\) belsejében levő dobozban található sajtot

egye meg utoljára?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 544. Háromszögszámoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek előállnak az első valahány egymást követő természetes szám összegeként (\(\displaystyle 1, 3, 6, 10, \ldots\)). Hatszögszámnak nevezzük az alábbi ábrasor számait és az ábrasor folytatásában megjelenő további számokat. Adjuk meg az összes olyan hatszögszámot, amely háromszögszám is.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 545. Balázs kis kockákból elkészítette az ábrán látható három testet. Hány kockából állna a 10. test, ha ugyanígy építkezne tovább?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 546. Bori véletlenszerűen választ két számot az \(\displaystyle A = \{8; 9; 10\}\) halmazból, és összeadja azokat, Matyi véletlenszerűen választ két számot az \(\displaystyle M = \{3; 5; 6\}\) halmazból és összeszorozza azokat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy Bori eredménye a nagyobb?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.


C. 1406. Az \(\displaystyle \overline{abcd}\) négyjegyű számról a következőket tudjuk: \(\displaystyle a+b=c+d\), \(\displaystyle a+d=c\), \(\displaystyle 2(a+c)=b+d\), \(\displaystyle 3\overline{ab}=\overline{cd}\). Melyik ez a szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1407. Vegyük fel az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle AD\) oldalán az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle DC\) oldalán az \(\displaystyle N\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle \frac{AM}{MD}=\frac{DN}{NC}=\frac{7}{11}\) legyen. A \(\displaystyle BM\) és \(\displaystyle AN\) egyenesek metszéspontja legyen \(\displaystyle P\).

Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle APB\) háromszög és a \(\displaystyle DMPN\) négyszög területe egyenlő.

Longáver Lajos (Nagybánya) feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1408. Tegyünk le az asztalra nyolc különböző dominót a játék szabályai alapján úgy, hogy egy zárt négyzetet alkossanak (az ábrán egy ilyen elrendezés látható). Mennyi lehet a dominókon lévő pontok összegének legkisebb és legnagyobb értéke?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1409. A vén platánfa henger alakú törzse 2 m kerületű. A fatörzs egyik oldalán egy csiga mászik felfelé a fa tengelyének síkjában, és már csak 3 cm hiányzik, hogy elérje a 2 méteres magasságot. Egy másik csiga épp elkezdene felfelé mászni a vele átellenes oldalon, amikor felfedezik egymást. Ekkor a két csiga a lehető legrövidebb úton egymás felé közeledve elindul. Mekkora távolságot tesznek meg a találkozásig, ha egyenlő sebességgel haladnak?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1410. Legyen \(\displaystyle b=\sqrt{a+\sqrt a}\), ahol \(\displaystyle a\) pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle b\) nem lehet egész szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1411. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 120^{\circ}\)-os szög van. Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle D\) pontjára \(\displaystyle CD\) szögfelező, akkor

\(\displaystyle \frac{1}{CD}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}. \)

Fülöp Dóra (Pécs)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1412. Mely \(\displaystyle n\) természetes számok esetén létezik olyan \(\displaystyle n\) csúcsú, \(\displaystyle 2n\) élű, síkba rajzolható egyszerű gráf, melynek tartományai nem színezhetők ki két színnel úgy, hogy az élben szomszédos tartományok különböző színűek legyenek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.


B. 4858. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) egységnyi távolságra lévő pontok köré írt \(\displaystyle k_A\) és \(\displaystyle k_B\) egységkörök a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban metszik egymást. Legyen a \(\displaystyle C\) középpontú, \(\displaystyle D\)-re illeszkedő körvonal \(\displaystyle k_C\). Az \(\displaystyle AC\) egyenes és a \(\displaystyle k_C\) kör \(\displaystyle A\)-tól távolabbi metszéspontja \(\displaystyle F\); a \(\displaystyle k_A\) kör és a \(\displaystyle DF\) egyenes második metszéspontja pedig \(\displaystyle G\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle GAD\sphericalangle=90^\circ\).

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4859. Rudi gondolt egy pozitív egész \(\displaystyle k\) számot, és azt vette észre, hogy tízes számrendszerben \(\displaystyle 4^k\) és \(\displaystyle 5^k\) ugyanazzal a számjeggyel kezdődik. Bizonyítsuk be, hogy ez a jegy csak \(\displaystyle 2\)-es vagy \(\displaystyle 4\)-es lehet.

Német feladat

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4860. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c<d\) és \(\displaystyle a+d\ne b+c\). Mutassuk meg, hogy az

\(\displaystyle \frac1{a-x}-\frac1{b-x}-\frac{1}{c-x}+\frac1{d-x}=0 \)

egyenletnek pontosan két különböző gyöke van, amelyek közül az egyik a \(\displaystyle (b,c)\) intervallumba, a másik pedig az \(\displaystyle (a,d)\) intervallumon kívül esik.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4861. Legyen az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög beírt és körülírt körének sugara rendre \(\displaystyle r\), illetve \(\displaystyle R\), az \(\displaystyle AB\) átfogóhoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle CD\). Rajzoljuk meg azt a \(\displaystyle CD\) oldalhosszúságú \(\displaystyle CEFG\) négyzetet, amelynek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle G\) csúcsa rendre az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) szakaszon van. Legyen \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle t\) a \(\displaystyle CEFG\) négyzet \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejébe eső, illetve a háromszögön kívül eső részének területe. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{r}{2R}. \)

Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4862. Az \(\displaystyle ABCDE\) konvex ötszög \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DE\), illetve \(\displaystyle EA\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BQ\), \(\displaystyle CR\) és \(\displaystyle DM\) szakaszok egy közös pontban metszik egymást, akkor ez a pont rajta van az \(\displaystyle EN\) szakaszon is.

Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4863. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AB=BC\). A \(\displaystyle D\) pont úgy helyezkedik el a háromszög belsejében, hogy \(\displaystyle ADC\sphericalangle= 2ABC\sphericalangle\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle B\) pontnak az \(\displaystyle ADC\sphericalangle\) külső szögfelezőjétől való távolsága az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle DC\) szakaszok számtani közepe.

(Kvant)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4864. Egy zsákban 100 piros és 100 kék golyó van. Addig húzzuk ki visszatevés nélkül, véletlenszerűen, egyesével a golyókat, amíg mind a 100 piros golyót ki nem húztuk. Határozzuk meg a zsákban maradt golyók számának várható értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4865. Egy hegyesszögű háromszög \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalai által bezárt szög harmadolói \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac{f+g}{2}< \frac{2}{\frac{1}{a} +\frac{1}{b}}. \)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4866. Xavér és Yvett felváltva mondanak

\(\displaystyle a)\) valós számokat;

\(\displaystyle b)\) komplex számokat.

Xavér kezd, és a játék a 100. szám kimondása után ér véget. Yvett célja az, hogy a kimondott \(\displaystyle a_1,\dots,a_{100}\) számokból képzett összesen \(\displaystyle \binom{100}2\) darab kettős szorzat \(\displaystyle a_1a_2+a_1a_3+\ldots +a_{99}a_{100}\) összege 0 legyen, Xavér ezt szeretné megakadályozni. Kinek van nyerő stratégiája?

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.


A. 692. Léteznek-e olyan \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) bijektív függvények, amelyekre az \(\displaystyle f\big(g(x)\big)\) függvény szigorúan monoton nő, a \(\displaystyle g\big(f(x)\big)\) függvény pedig szigorúan monoton csökken?

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 693. A \(\displaystyle \mathcal{P}\) konvex sokszögnek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) két olyan csúcsa, amelyek távolsága maximális. Messe az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese a \(\displaystyle \mathcal{P}\) határát a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \mathcal{P}\) kerülete kisebb, mint \(\displaystyle 2(AB+CD)\).

(5 pont)

statisztika


A. 694. Igazoljuk, hogy az

\(\displaystyle \frac1{\sqrt{2x}} + \frac1{\sqrt{2y}} + \frac2{\sqrt{x+y}} + 2 \ge \frac4{\sqrt{x+2}} + \frac4{\sqrt{y+2}} \)

egyenlőtlenség teljesül tetszőleges \(\displaystyle (x,y)\) pozitív számpár esetén.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley