KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.


C. 1413. Keressük meg mindazokat a 300-nál kisebb \(\displaystyle n\) természetes számokat, amelyekre \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\) négyzetszám.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1414. Az egységnyi oldalú \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle CD\) oldalának harmadoló pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle BF\) egyenesek az \(\displaystyle AC\) átlót \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) pontokban metszik. Határozzuk meg a \(\displaystyle KL\) szakasz hosszának pontos értékét.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1415. Felírunk a táblára egy számot. Két játékos felváltva a táblán lévő szám valamelyik 0-tól különböző számjegyét kiválasztja, és azt levonja a számból. A régi számot letörli, és a különbséget írja a helyébe. Az a játékos nyer, aki a 0-t írja fel a táblára. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája és miben áll ez, ha kezdetben 2017 volt a táblán?

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1416. Hány olyan különböző, 10 egység hosszúságú síkbeli helyvektor van, amely \(\displaystyle x\) koordinátájának háromszorosa nagyobb \(\displaystyle y\) koordinátájának négyszeresénél, és legalább az egyik koordinátája egész?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1417. Oldjuk meg az

\(\displaystyle a + b = c + d,\)

\(\displaystyle \frac 1a + \frac 1b = \frac 1c + \frac 1d\)

egyenletrendszert.

Javasolta: Kertész Ádám

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1418. Hat egymást követő egész számról a következő érdekességet fedeztük fel: a számok összege prím és ugyanezen számok négyzeteinek összege is prím. Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú számhatost.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1419. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben tekintsük azt a két körcikket, melyek végpontjai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), továbbá az egyik körcikk ívének egy pontja az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talppontja, a másik ívének egy pontja az \(\displaystyle ABC\) magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle ACB\sphericalangle=45^\circ\), akkor a két körcikk területe megegyezik.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.


B. 4867. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) valós számok összege \(\displaystyle 0\). Legyen \(\displaystyle M=ab+bc+cd\) és \(\displaystyle N=ac+ad+bd\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle 20M+17N\) és a \(\displaystyle 20N+17M\) összegek közül legalább az egyik nem pozitív.

Bolgár feladat

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4868. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AC<AB\), és az \(\displaystyle AF\) súlyvonal az \(\displaystyle A\)-nál lévő szöget \(\displaystyle 1:2\) arányban osztja. A \(\displaystyle B\)-ben \(\displaystyle AB\)-re állított merőleges az \(\displaystyle AF\) egyenest \(\displaystyle D\)-ben metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AD=2AC\).

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4869. Legyen \(\displaystyle A\) a valós számok egy véges halmaza. Azt mondjuk, hogy \(\displaystyle A\) elemeinek legalább két csoportba osztása egy parkettázás, ha az így kapott (páronként diszjunkt) részhalmazok legalább két eleműek és egymás eltoltjai. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle A\)-nak páros sok parkettázása van.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4870. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja az \(\displaystyle E\) pont. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\), \(\displaystyle CDE\) és \(\displaystyle DAE\) háromszögek Feuerbach-köreinek középpontjai egy paralelogramma csúcsai, vagy egy egyenesbe esnek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4871. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle a_n=1001001\ldots 1001\) szám (ahol \(\displaystyle n\) az 1-esek számát jelöli) nem lehet prímszám.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4872. Legyenek \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle r\) különböző prímszámok, és \(\displaystyle n=pq^2r^3\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle (n,1)+(n,2)+\ldots+(n,n) =qr^2(2p-1)(3q-2)(4r-3), \)

ahol \(\displaystyle (a,b)\) az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok legnagyobb közös osztóját jelenti.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4873. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AB=1\), \(\displaystyle BAC\sphericalangle =135^{\circ}\), \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\). Mekkora annak a parabolának a paramétere, amelynek tengelye az \(\displaystyle AB\) egyenes, továbbá érinti az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) egyeneseket?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4874. Jelölje \(\displaystyle \|x\|\) az \(\displaystyle x\) valós szám hozzá legközelebb eső egész számtól vett távolságát. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) pozitív egész számok esetén létezik olyan \(\displaystyle x\) valós szám, amelyre \(\displaystyle \|a_ix\|\ge \frac{1}{2n}\) minden \(\displaystyle 1\le i\le n\) esetén.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4875. Az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek által kifeszített síkkal a \(\displaystyle g\) egyenes \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sphericalangle(e,f)+\sphericalangle(e,g)+\sphericalangle(g,f)\le \pi +\alpha. \)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.


A. 695. Adott \(\displaystyle 2k\) egyenes, \(\displaystyle e_1, \ldots, e_{2k}\) az \(\displaystyle S\) síkban, továbbá a \(\displaystyle g\) egyenes, amely \(\displaystyle S\)-sel \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle e_1, \ldots, e_{2k}, g\) egyenesek által páronként bezárt szögek összege legfeljebb

\(\displaystyle \big(k^2+k\big)\cdot \frac \pi 2 + k\alpha. \)

(5 pont)

statisztika


A. 696. Legyen \(\displaystyle k\ge2\) egész szám. Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós \(\displaystyle p(x)\) polinomot, amelyre

\(\displaystyle p(x) \cdot p\big(2x^k-1\big) = p\big(x^k\big) \cdot p(2x-1). \)

(5 pont)

statisztika


A. 697. Legyen minden \(\displaystyle p\ge3\) prímszámra

\(\displaystyle S(p) = \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} \tg \frac{k^2\pi}{p}. \)

\(\displaystyle (a)\) Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle p\equiv1 \pmod4\), akkor \(\displaystyle S(p)=0\).

\(\displaystyle (b)\) Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle p\equiv3 \pmod4\), akkor \(\displaystyle \frac{S(p)}{\sqrt{p}}\) páratlan egész szám.

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley