A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

---

C. 1420. Egységnyi oldalú szabályos háromszög súlypontja körül kört rajzolunk, amelynek kerületéből ugyanakkora rész esik a háromszögön kívül, mint azon belül. Mekkora a kör sugara?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1421. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle n\in \mathbb{N}^+\) esetén léteznek olyan \(\displaystyle a,b\in \mathbb{N}^+\) számok, melyekre \(\displaystyle a^2+b^2=13^n\) fennáll.

Olosz Ferenc (Szatmárnémeti) feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1422. Egy téglalap alaprajzú egyszintes lakásban bármely két helyiség között legfeljebb egy ajtó nyílik. Ezen kívül bármely helyiségből legfeljebb egy ajtó nyílik a lakáson kívülre. Legfeljebb hány ajtó tartozhat a lakáshoz, ha négy helyiség található benne?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1423. Adott a síkon öt különböző kör, amelyek közül bármelyik négynek van közös pontja. Mutassuk meg, hogy van olyan pont, amelyen mind az öt kör áthalad.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1424. Mi az \(\displaystyle x\longmapsto\frac{16x^2-96x+153}{x-3}\) függvény értékkészletének legkisebb pozitív értéke?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1425. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög derékszögű csúcsa \(\displaystyle C\), izogonális pontja (lásd pl.: https://hu.wikipedia.org/wiki/Izogon%C3%A1lis_pont) \(\displaystyle I\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle IC=12\) mm és \(\displaystyle IB=16\) mm. Adjuk meg az \(\displaystyle IA\) szakasz hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1426. Az

\(\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)

egyenletnek négy valós megoldása van, együtthatói pedig ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotó pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy nem lehet minden gyök egész.

Javasolta: Kertész Ádám

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

---

B. 4876. Melyik az a legnagyobb \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre pontosan egy olyan \(\displaystyle k\) egész szám létezik, amelyre

\(\displaystyle \frac{10}{11}<\frac{n}{k+n}<\frac{11}{12}? \)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4877. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok ebben a sorrendben illeszkednek egy egyenesre. Az egyenesen kívül eső \(\displaystyle E\) pontra

\(\displaystyle AEB\sphericalangle=BEC\sphericalangle =CED\sphericalangle = 45^\circ. \)

Legyen az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BD\) szakasz felezőpontja pedig \(\displaystyle G\). Mekkora az \(\displaystyle FEG\) szög?

Javasolta: Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11.c.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4878. Legfeljebb mekkora lehet a \(\displaystyle PA+PB+PC+PD\) összeg, ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle ABCD\) egységnégyzet egy pontja?

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4879. \(\displaystyle a)\) Igaz-e, hogy bármely \(\displaystyle a\) irracionális számhoz van olyan \(\displaystyle x\) irracionális szám, amelyre \(\displaystyle a+x\) racionális és \(\displaystyle ax\) irracionális?

\(\displaystyle b)\) Igaz-e, hogy bármely \(\displaystyle a\) irracionális számhoz van olyan \(\displaystyle y\) irracionális szám, amelyre \(\displaystyle a+y\) irracionális és \(\displaystyle ay\) racionális?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4880. Az \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\), \(\displaystyle \ldots\) pozitív egész számokból álló sorozatra teljesül, hogy \(\displaystyle a_n\cdot a_{n+1} = a_{n+2}\cdot a_{n+3}\) minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re. Mutassuk meg, hogy a sorozat valamelyik elemétől kezdve periodikus.

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4881. Jelölje \(\displaystyle d(n)\) az \(\displaystyle n\) szám (pozitív) osztóinak számát. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle n+d(1)+d(2)+\ldots+d(n)\le d(n+1)+d(n+2)+\ldots+d(2n). \)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4882. Legfeljebb hány lapja lehet egy olyan konvex poliédernek, amelynek kiválasztható három lapja úgy, hogy a poliéder minden éle illeszkedik a kiválasztott lapok valamelyikére?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4883. Definiáljuk az \(\displaystyle a_1, a_2, \ldots\) sorozatot a következő rekurzióval:

\(\displaystyle a_1=4, \quad a_2=2 \quad\text{és}\quad a_{n+1}=\frac{na_n^2}{na_n^2-(n+1)a_n+n+1}, \text{ ha } n\ge 2. \)

Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle a_1+2\cdot a_2+3\cdot a_3+\ldots+n\cdot a_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot\ldots\cdot a_n \)

bármely \(\displaystyle n\ge 1\) esetén.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4884. Legalább mekkora egy olyan háromszögnek a területe, mely magába foglal egy egységnégyzetet?

Javasolta: Bogár Péter (Békéscsaba)

(6 pont)

statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

---

A. 698. Legyenek \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) pozitív egészek, és legyen \(\displaystyle H\) az \(\displaystyle \{1,2,\ldots,m\} \times \{1,2,\ldots,n\}\) halmaz egy részhalmaza. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle |H|>m+ {(m+n)}\log_2n\), akkor vannak olyan \(\displaystyle 1\le u<v\le m\) és \(\displaystyle 1\le x<y<z\le n\) egészek, amelyekre \(\displaystyle (u,x)\), \(\displaystyle (u,y)\), \(\displaystyle (v,x)\) és \(\displaystyle (v,z)\) is elemei \(\displaystyle H\)-nak.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 699. Az \(\displaystyle \omega\) kör az \(\displaystyle \Omega\) kör belsejében helyezkedik el, közös középpontjuk az \(\displaystyle O\) pont. Adott továbbá egy \(\displaystyle O\)-tól különböző \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle \omega\) belsejében. Legyen \(\displaystyle X\) egy mozgó pont az \(\displaystyle \Omega\) kerületén. Legyen az \(\displaystyle AX\) egyenes és \(\displaystyle \Omega\) második metszéspontja \(\displaystyle Y\), az \(\displaystyle AX\) szakasz és \(\displaystyle \omega\) metszéspontja \(\displaystyle Z\), és az \(\displaystyle AZ\) szakaszon legyen \(\displaystyle M\) az a pont, amelyre \(\displaystyle MX\cdot MZ\cdot AY = MA\cdot MY\cdot XZ\). Legyen \(\displaystyle x\), illetve \(\displaystyle y\) az \(\displaystyle \Omega\)-hoz \(\displaystyle X\)-ben, illetve \(\displaystyle Y\)-ban húzott érintő, és legyen \(\displaystyle t\) az az \(\displaystyle M\)-en keresztül átmenő egyenes, amely átmegy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) metszéspontján is, vagy pedig mindkettővel párhuzamos. Végül legyen \(\displaystyle T\) az \(\displaystyle OZ\) egyenes és \(\displaystyle t\) metszéspontja.

Mutassuk meg, hogy a lehetséges \(\displaystyle T\) pontok mértani helye egy ellipszis, és ennek az ellipszisnek a \(\displaystyle t\) egyenes mindig érintője.

(5 pont)

statisztika

---

A. 700. Mely \(\displaystyle n\) pozitív egész számokra lehet megadni néhány egész számot úgy, hogy közülük véletlenszerűen két különbözőt választva az összegük \(\displaystyle n\)-es maradéka egyforma eséllyel legyen \(\displaystyle 0,1,\dots,n-1\)?

(5 pont)

statisztika