A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

---

K. 694. Hány olyan hétjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek balról jobbra rendre \(\displaystyle 1\)-gyel, vagy \(\displaystyle 2\)-vel növekednek? (Pl. a \(\displaystyle 1\,234\,678\) ilyen szám.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 695. Egy \(\displaystyle ABCD\) négyzet alakú papírlap \(\displaystyle BC\) oldalán kiválasztunk egy \(\displaystyle P\) pontot. A négyzetlapot behajtjuk az \(\displaystyle AP\) vonal mentén úgy, hogy a \(\displaystyle B\) pont egyenlő távolságra kerüljön a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) csúcsoktól. A \(\displaystyle B\) pont új helyét a papíron \(\displaystyle B'\)-vel jelöljük. Határozzuk meg a \(\displaystyle CB'D\) szög nagyságát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 696. A bal első zsebemben kétszer annyi pénz van, mint a jobb első zsebemben és harmadannyi, mint a jobb hátsó zsebemben. Ha a bal első zsebembe átteszek a jobb első zsebemből 30 Ft-ot, illetve a jobb hátsó zsebemből 180 Ft-ot, akkor a bal első zsebemben háromszor annyi pénz lesz, mint amennyi a jobb első zsebemben marad. Mennyi pénzem volt eredetileg ebben a három zsebemben külön-külön?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

---

K/C. 697. Egy kocka néhány lapját befestettük, és a kockát felvágtuk egyforma méretű kisebb kockákra. Így 45 olyan kisebb kockát kaptunk, amelyiknek nincs befestve egyik lapja sem. Hány lapját festettük be a kockának?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 698. Dorka gondolt egy egész számra, amely legalább 3 és legfeljebb 25. Anna megadott egy \(\displaystyle x\) egyjegyű páros számot, majd megkérdezte Dorkát, hogy a gondolt szám négyzetszám-e, prím-e, illetve \(\displaystyle x\) többszöröse-e. Dorka azt válaszolta, hogy ha megmondaná a választ az egyes kérdésekre, akkor Anna már egyértelműen tudná, hogy melyik számra gondolt. Melyik számra gondolt Dorka?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

---

C. 1679. Igazoljuk, hogy az

\(\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \)

kifejezés értéke \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 1\) közé esik.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1680. Egy négyszög egyik oldalának hossza 5 cm, a rajta fekvő két szög \(\displaystyle 90^{\circ}\) és \(\displaystyle 60^{\circ}\). Tudjuk továbbá, hogy a négyszög húr- és érintőnégyszög is. Hogyan lehet ezek alapján megszerkeszteni a négyszöget? Írjuk le és indokoljuk a szerkesztés lépéseit (az elemi szerkesztési lépéseket, mint pl. szög felezése, tengelyes tükrözés, nem kell részletezni).

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1681. Legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) olyan, \(\displaystyle 0\)-tól különböző valós számok, amelyek összege \(\displaystyle 0\). Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2}{ab}=3c+2. \)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1682. Egy egységnyi élhosszúságú kocka csúcsai \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\) az ábra szerint. Az \(\displaystyle ABDE\) és \(\displaystyle GCFH\) tetraédereket levágjuk a kockából. Mekkora az így kapott test felszíne és térfogata?

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1683. Anna és Boglárka a következő játékot játsszák egy-egy négyzetrácsos lapon. Mindketten kijelölnek a saját négyzetrácsos lapjukon egy \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzetet és ezen beszíneznek 7 darab \(\displaystyle 1\times1\)-es rácsnégyzetet kékre, 14-et pedig pirosra.

Egyikük sem láthatja, hogy a másik a \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzeten belül hogyan színezett.

Ezután egy forduló a következőképpen zajlik: először Anna mond egy \(\displaystyle (i,j)\) számpárt, ahol az \(\displaystyle i\), \(\displaystyle j\) pozitív egész számokra \(\displaystyle 1 \le i,j \le 10\) teljesül (például az \(\displaystyle (5,2)\) számpár a \(\displaystyle 10\times10\)-es négyzet 5. sorának és 2. oszlopának találkozásánál levő rácsnégyzetet jelenti). Ha az \(\displaystyle (i,j)\) számpár Boglárka ábráján egy színezett négyzetet határoz meg, akkor Boglárkának azt kell mondania, hogy ,,talált'', ellenkező esetben azt, hogy ,,nem talált''. Ezután ugyanilyen feltételek mellett Boglárka mond egy számpárt, amire Anna válaszol.

Az első két fordulóban sem Anna, sem Boglárka nem talált. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a harmadik fordulóban Anna egy kék, Boglárka pedig egy piros négyzetet talál el?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

---

B. 5182. A \(\displaystyle 612^2=374\,544\) szám \(\displaystyle 10\)-es számrendszerben két darab \(\displaystyle 4\)-es számjegyre végződik. Legfeljebb hány \(\displaystyle 4\)-esre végződhet egy négyzetszám?

Blahota István javaslata alapján

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5183. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldala egységnyi, \(\displaystyle BAC\sphericalangle = 60^{\circ}\), \(\displaystyle ACB\sphericalangle= 100^{\circ}\) és a \(\displaystyle BC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AB\) oldalon vegyük fel a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle DB = FB\) teljesüljön. Határozzuk meg a \(\displaystyle T_{ABC\triangle}+2T_{FBD\triangle}\) pontos értékét.

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5184. Kornélia felvett a síkon négy pontot úgy, hogy ne essenek egy körre. Ezután megrajzolta az összes körvonalat, amely ettől a négy ponttól egyenlő távolságra halad el. Legfeljebb hány kört rajzolhatott? (Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle k\) körvonal és a \(\displaystyle P\) pont távolsága így mérendő: az \(\displaystyle O\)-ból induló \(\displaystyle P\)-t tartalmazó félegyenes és a \(\displaystyle k\) körvonal metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Ekkor a \(\displaystyle PM\) szakasz hossza lesz a keresett távolság.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5185. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle \sqrt[3]{4-x^2}+\sqrt{x^2-3}=1. \)

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5186. Aladár és Béla következő játékot játssza. Rögzítenek egy \(\displaystyle n \ge 3\) számot, majd Aladár gondol egy számra az \(\displaystyle \{1,2,\ldots,n \}\) halmazból. Béla ezután tippelhet a gondolt számra. Válaszul csak azt kapja, hogy eltalálta vagy sem. Ha eltalálta, vége a játéknak.

Ha nem találta el, akkor Aladár megváltoztatja a gondolt számát úgy, hogy vagy növeli vagy csökkenti 1-gyel, de továbbra is pozitívnak kell maradnia a gondolt számnak (de \(\displaystyle n\)-nél nagyobb lehet). Béla ezután ismét tippelhet. Ezeket a lépéseket ismétlik addig, amíg Béla el nem találja az aktuálisan gondolt számot.

Bizonyítsuk be, hogy ha Béla elég ügyes, akkor a játék legkésőbb a \(\displaystyle (3n-5)\)-ödik tippjével véget ér.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5187. Az \(\displaystyle S=\{1,2,\dots,n\}\) halmaz egy részhalmaza primitív, ha nincs benne két olyan elem, melyek közül az egyik osztója a másiknak. Mutassuk meg, hogy ha egy \(\displaystyle A\subseteq S\) primitív halmazhoz nem lehet úgy hozzávenni újabb \(\displaystyle S\)-beli elemet, hogy primitív maradjon, akkor vagy \(\displaystyle A=\{1\}\), vagy \(\displaystyle A\) mérete legalább annyi, mint \(\displaystyle n\)-ig a prímek száma.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5188. Igazoljuk, hogy az érintőtrapéz magassága nem lehet nagyobb alapjai mértani közepénél.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5189. Adott egy szabályos háromszög alapú egyenes gúla, az alapéle \(\displaystyle a\). Legyen a beírt gömb sugara \(\displaystyle r\), az alapot érintő hozzáírt gömb sugara \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle a^2=12rR\).

Javasolta: László Lajos (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

---

A. 803. Jelölje \(\displaystyle \pi (n)\) az \(\displaystyle n\)-nél nem nagyobb prímszámok számát. Az \(\displaystyle S= \{1,2,\dots,n\}\) halmaz egy részhalmaza primitív, ha nincs benne két olyan elem, melyek közül az egyik osztója a másiknak. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n\ge 5\) és \(\displaystyle 1\le k <\frac{\pi (n)}{2}\), akkor az \(\displaystyle 1,2,\dots,n\) számok közül kiválasztható \(\displaystyle k+1\) elemű primitív halmazok száma legalább annyi, mint a \(\displaystyle k\)-eleműeké.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 804. Egy mesebeli városban \(\displaystyle n\) ember él. A városban jogarvírus teszteket szeretnének vásárolni, melyekkel egyszerre több embertől vett mintát is meg lehet vizsgálni. A következő eredménye lehet egy tesztnek:

\(\displaystyle \bullet\) Vírus pozitív: a tesztelt emberek között van beteg, és nincs olyan, aki már korábban átesett a jogarvírus betegségen.
\(\displaystyle \bullet\) Antitest pozitív: a tesztelt emberek között van, aki átesett a betegségen, és nincs beteg.
\(\displaystyle \bullet\) Semleges: vagy mindenki egészséges, vagy van közöttük beteg és olyan is, aki már átesett a betegségen (az antitestek és a vírusok semlegesítik egymást).

Legalább hány tesztet kell vásárolniuk, ha meg szeretnék tudni, hogy a jogarvírus jelen van-e a városban, azaz van-e olyan ember, aki átesett rajta vagy éppen beteg? (Az emberektől a mintát egyszerre veszik, és mindenki vagy egészséges, vagy beteg, vagy már átesett a betegségen.)

Javasolta: Beke Csongor (Cambridge)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 805. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben a magasságvonalak talppontjai a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) (a \(\displaystyle BC\), a \(\displaystyle CA\), illetve az \(\displaystyle AB\) oldalon). Az \(\displaystyle AB_1C_1\) és a \(\displaystyle BC_1A_1\) háromszögek körülírt köre az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét másodszor a \(\displaystyle P\ne A\), illetve a \(\displaystyle Q\ne B\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle AQ\) és a \(\displaystyle BP\) egyenes, valamint az \(\displaystyle ABC\) háromszög Euler-egyenese egy ponton megy át vagy párhuzamos egymással.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika