Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.


K. 759. Egy kilencfős társaságról tudjuk, hogy mindenki pontosan négy másik embert ismer a társaság tagjai közül. (Az ismeretség kölcsönös.)

\(\displaystyle a)\) Lehetséges-e, hogy a társaság tagjai között bármely két embernek van közös ismerőse?

\(\displaystyle b)\) Igaz-e, hogy egy ilyen társaság tagjai között bármely két ember vagy ismeri egymást, vagy van közös ismerősük?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 760. Az \(\displaystyle A(2;4)\), \(\displaystyle B(6;4)\), \(\displaystyle C(4;10)\) háromszöget az \(\displaystyle x = a\), majd az \(\displaystyle y = 2\) egyenesre tükrözzük.

\(\displaystyle a)\) Mennyi a két tükrözés után kapott csúcsok második koordinátáinak összege?

\(\displaystyle b)\) Mennyi \(\displaystyle a\) értéke, ha a két tükrözés után kapott csúcsok első koordinátáinak összege 36?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 761. Jancsi a 3/5 számlálójához és nevezőjéhez is hozzáírja – vagy elé, vagy mögé – ugyanazt a számjegyet úgy, hogy a számlálóban és a nevezőben is kétjegyű szám szerepeljen. Mekkora a legnagyobb eltérés az így kapható számok között?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.


K/C. 762. Egy \(\displaystyle 5\times5\)-ös táblázat huszonöt mezőjét valamilyen sorrendben kiválasztjuk, és egy számot írunk rá. Az aktuálisan választott mezőre azt a számot írjuk, amely megmutatja, hogy annak a mezőnek addig hány olyan oldalszomszédja van már, amelyre írtunk számot.

(Ezt a táblázatot pl. az alábbi sorrendben tölthettük ki: a5, b5, c5, d5, e5, e4, e3, e2, a4, a3, a2, a1, b1, c1, d1, e1, \(\displaystyle \ldots\,\).)

Készítsünk még két ilyen kitöltést. Adjuk össze a kitöltésben lévő számokat.

Bizonyítsuk be, hogy akárhogyan töltjük ki a szabálynak megfelelően a táblázatot, a számok összege minden esetben 40 lesz.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C. 763. Egy egységnyi sugarú félkörbe két olyan, az átmérőre illeszkedő négyzetet írunk, melyeknek van közös oldalszakasza, és egy-egy csúcsuk a körvonalra illeszkedik.

Tudjuk, hogy a kör középpontjából a két négyzet körön lévő csúcsaihoz húzott sugarak egymásra merőlegesek. Igazoljuk, hogy a két, ilyen módon megrajzolt négyzet területének összege állandó.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.


C. 1758. Ádám az egyik rejtvényújságban talált egy bűvös négyzetet (tehát olyan \(\displaystyle 3\times3\)-as számnégyzetet, amelyben az egyes sorokban, oszlopokban, illetve a két átlóban található számok összege megegyezik), melyet ki is töltött helyesen, majd találomra kiválasztott egy sort vagy egy oszlopot a táblázatból, és felírta a benne szereplő számokat balról jobbra vagy fentről lefele olvasva. Ezeket a számokat jelölik az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) betűk az így keletkező \(\displaystyle ax^2 + bx + c = 0\) egyenletben. Ádám nagy örömmel vette tudomásul, hogy az egyenletnek két valós gyöke is van. Ezek után kiszámolta az egyenlet gyökeinek négyzetösszegét. Milyen számot kaphatott?

Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1759. Egymás mellé helyeztük az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle EDC\) derékszögű háromszögeket az ábra szerint.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BC=3\), \(\displaystyle {CA=4}\), az \(\displaystyle EDC\) háromszögben \(\displaystyle DC=6\), \(\displaystyle CE=8\). Az \(\displaystyle ABE\) háromszög körülírt köre a \(\displaystyle DE\) egyenest másodszor a \(\displaystyle P\), a \(\displaystyle DB\) egyenest másodszor a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Határozzuk meg az \(\displaystyle ABDE\) négyszög és az \(\displaystyle AEPQB\) ötszög területe arányának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1760. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelyhez a faktoriálisát hozzáadva a szám köbét kapjuk.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1761. Egy szabályos háromszöget az egyik oldallal párhuzamos egyenessel elvágunk. Megrajzoljuk a keletkező háromszög és a trapéz köré írható két kört. Lehet-e a trapéz és a háromszög köré írt sugarának aránya \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)?

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1762. Létezik-e olyan pozitív \(\displaystyle p\) prímszám, amelyre teljesül, hogy

\(\displaystyle \log_{p-2}(4p-11)=m, \)

ha az \(\displaystyle m\) paraméter a \(\displaystyle 2023\) valamelyik számjegye?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.


B. 5302. Egy \(\displaystyle 8 \times 8\)-as táblázat minden mezőjébe \(\displaystyle +1\)-et vagy \(\displaystyle -1\)-et írtunk úgy, hogy az összes szám összege 0. Minden sorban és oszlopban kiszámoljuk a számok összegét. Legfeljebb hány pozitív szám lehet ezen 16 összeg között?

Gáspár Merse Előd (Budapest) ötlete nyomán

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5303. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú derékszögű háromszögnek \(\displaystyle C\)-nél van a derékszöge. Vegyünk fel a \(\displaystyle BC\) oldal belsejében egy \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy a \(\displaystyle CDA\) szög \(\displaystyle 75^\circ\) legyen. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle ADC\) háromszög területe egységnyi. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle BD = 2\).

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5304. \(\displaystyle a)\) Vannak-e olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, amelyekre

\(\displaystyle a+b \mid a^2+b^2, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^4 + b^4? \)

\(\displaystyle b)\) Vannak-e olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, amelyekre

\(\displaystyle a+b \mid a^4+b^4, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^2+b^2? \)

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5305. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja pedig \(\displaystyle A_2\). A \(\displaystyle CA\) oldalon hasonlóképpen jelöljük ki a \(\displaystyle B_1\) és \(\displaystyle B_2\), végül az \(\displaystyle AB\) oldalon a \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) harmadolópontokat. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja illeszkedik az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle A_2B_2C_2\) háromszögek körülírt köreinek közös pontjait összekötő egyenesre.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5306. Van egy cinkelt dobókockánk és egy cinkelt érménk, amelynek egyik oldalán egy pötty van, a másik oldalán pedig kettő. Tudjuk, hogy a dobott pöttyök számának várható értéke ugyanannyi a kocka és az érme esetén. Mutassuk meg, hogy egyszerre dobva a kockával és az érmével, annak a valószínűsége, hogy az érmével több pöttyöt dobunk, mint a kockával nagyobb, mint annak a valószínűsége, hogy a kockával dobunk több pöttyöt, mint az érmével.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5307. Egy hegyesszögű háromszög területe \(\displaystyle T\), beírt körének sugara \(\displaystyle r\), körülírt körének sugara \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \sqrt{3}\,T \le {(r+R)}^2. \)

Javasolta: Simon László Bence (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5308. Jelölje \(\displaystyle a_n\) az \(\displaystyle n+1,n+2,\ldots,n+10\) pozitív egész számok legkisebb közös többszörösét. Határozzuk meg a legnagyobb olyan \(\displaystyle \lambda\) valós számot, melyre \(\displaystyle \lambda a_{n}\le a_{n+1}\) mindig teljesül.

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5309. Szerkesszük meg a parabola fókuszpontját és vezéregyenesét, ha adott a tengelye és két pontja.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.


A. 848. Legyen \(\displaystyle G\) egy síkgráf, amely egyben páros gráf is. Igaz-e mindig, hogy minden lapjához hozzárendelhetjük egy csúcsát úgy, hogy semelyik két laphoz ne rendeljük ugyanazt a csúcsot?

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 849. Az \(\displaystyle r\) valós szám esetén jelölje \(\displaystyle f(r)\) az \(\displaystyle r\) számhoz legközelebbi egész számot (ha \(\displaystyle r\) törtrésze \(\displaystyle 1/2\), \(\displaystyle f(r)\) legyen \(\displaystyle r-1/2\)). Legyenek \(\displaystyle a>b>c\) racionális számok úgy, hogy minden \(\displaystyle n\) egészre \(\displaystyle f(na)+f(nb)+f(nc)=n\) teljesüljön. Mi lehet \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) értéke?

Javasolta: Damásdi Gábor (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 850. Igazoljuk, hogy létezik egy olyan \(\displaystyle N\) pozitív valós szám, melyre tetszőleges \(\displaystyle a,b>N\) valós számok esetén az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) hosszúságú oldalakkal rendelkező téglalap kerülete lefedhető egymásba nem nyúló egység sugarú körlapokkal (a körlapok érinthetik egymást).

Javasolta: Váli Benedek (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)