KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum: Trigonometria

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

  [1]    [2]    [3]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[65] jonas2011-01-24 20:14:48

Nos, az elejére fölírtam a megoldást, bár pont a sin (nx) kifejtésével kapcsolatos részre még nem.

Előzmény: [64] PAL, 2011-01-21 14:19:05
[64] PAL2011-01-21 14:19:05

Igaz, igaz, Jonas, de mintha annál - az általad kitűzött feladatnál - is csak a feladatot látnám - vagyis mint ahogy magad is írod - az a változat túl gonosznak tűnik ahhoz, hogy megoldások is érkezzenek hozzá (nem is sok próbálkozást találtam a Csebisev-polinomos feladatodra a hivatkozáson az Érdekes feladatok között, persze lehet hogy én nem néztem át elég alaposan az utána érkező válaszokat). Lényegében én meg nem szeretem elvenni a gondolkodók kedvét, ezért egy kicsit egyszerűbben igyekeztem tálalni valami hasonló témába vágót, amolyan kedv csináló gyanánt...

De persze, ha az enyimre sem nem jön válasz, mondjuk max 1-2 héten belül, én hamarosan mindenképp mellékelek egy megoldást is, csak a teljesség kedvéért (mert sosem szerettem, ha egy jó feladat megoldás nélkül marad, hiszen abból nehéz tanulni...) .

De köszönöm hogy rámutattál.

Előzmény: [63] jonas, 2011-01-21 11:32:47
[63] jonas2011-01-21 11:32:47

A sin (nx) kifejtéséről épp most volt szó: Érdekes matekfeladatok [3368].

Előzmény: [61] PAL, 2011-01-21 02:50:27
[62] PAL2011-01-21 03:37:04

Szóval végülis ezzel az egész dologgal éppen azt szerettem volna elérni, hogy kerüljön ide az általad felhasznált kifejtés általánosított bizonyítása is, azaz feltételezve az ismert 1. összefüggést, mutassuk meg, hogy következik belőle a második (vagyis az eredeti sorozatos feladatomban [a(2n+1)] helyett már sin(2n+1)x szerepel, és 2c legyen 2cosx)!

Előzmény: [61] PAL, 2011-01-21 02:50:27
[61] PAL2011-01-21 02:50:27

igen, köszönöm nadorp, pont ez lett volna következő kérdésem Róbert Gidához, hogy még azt is érdemes megnézni mi a helyzet, ha -1 <= c <= +1, vagyis hogyan alakul át az [a(n)] képlete, ha még ezzel is szigorítjuk a konstans értékét, de egyelőre én mellőztem a trigonometrikus azonosságok belekeverését, mivel így kicsit egyszerűbbnek tűnik a feladat. Egyébként éppen a sin(nx) azonosság kifejtése ( http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html ) miatt írtam ide, mert így a sorozat vizsgálatával elindulva, és az általad adott feladat megoldás vázlatát követve, egyszerű elemi úton bizonyítható például a Bázeli probléma is (vagy másképpen Riemann-Zeta fgv. a 2 helyen), és ezért írtam korábban azt, hogy a feladat tanító célzatú.

(A Bázeli-probléma elemi bizonyítása egyébként - nagy sajnálatomra - hiányzik a magyar Wikipedia-ról, megtalálható viszont az angol változaton, és ott az Urban János Határérték-számítás c. könyvében leírt módon igazolják, ettől azonban szerintem egyszerűbb változatot kapunk sin(nx) kifejtésével: http://en.wikipedia.org/wiki/Basel problem#The proof )

Előzmény: [59] nadorp, 2011-01-21 00:50:44
[60] nadorp2011-01-21 00:53:10

Bocs

xn+1=axn+bxn-1

Előzmény: [59] nadorp, 2011-01-21 00:50:44
[59] nadorp2011-01-21 00:50:44

Nem látom az összefüggést a rekurzió és a sin nx ( pontosabban sin7x) kifejtésében, csak ha |c|<1. Ekkor Róbert Gida megoldása egy kicsit átalakul, mert komplex esetben az általános megoldás A sin nq + B cos nq alakú,ahol q a x2-2cx+1=0 egyenlet komplex gyökének az argumentuma. Egyébként van általános forma az

xn+1=axnn+bxn-1 alakú rekurzióra, érdemes utánanézned. Hasonló a konstans együtthatós másodrendű homogén differenciálegyenlet megoldásához, azaz keressünk megoldást qn alakban. Innen már elég felhasználni, hogy bármely két megoldás lineáris kombinációja is megoldás, és a konstansokat az első két tag egyértelműen meghatározza.

Előzmény: [57] PAL, 2011-01-20 19:26:28
[58] Róbert Gida2011-01-20 20:02:50

Hát ez semmi valami bonyolult:

a_n=\frac {1}{2\sqrt {c^2-1}}\bigg ((c+\sqrt {c^2-1})^n-(c-\sqrt {c^2-1})^n\bigg )

Előzmény: [57] PAL, 2011-01-20 19:26:28
[57] PAL2011-01-20 19:26:28

Valóban elírás történt, sajnos azt hiszem lemaradt egy fontos apróság.

Mégegyszer elnézért kérek, de persze megfogadom a tanácsod is, köszönöm!

A javítás tehát így szól:

Előzmény: [56] Róbert Gida, 2011-01-20 19:11:24
[56] Róbert Gida2011-01-20 19:11:24

an=n, mi ebben a bonyolult? Szerintem olvassál komolyabb könyveket!

Előzmény: [55] PAL, 2011-01-20 18:58:05
[55] PAL2011-01-20 18:58:05

Szeretnék egy régi könyvben talált gyakorló példát megosztani veletek, illetve azokkal, akiknek van kedve kicsit gondolkozni rajta. Talán elsőre kicsit furcsa lehet, hogy miért ehhez a témakörhöz írom a következő feladatot, de legyetek türelemmel és nézzétek ezt el nekem, később ígérem, részletesen leírom, miért is írtam ide (feltéve, ha addig más valaki esetleg rá nem jön az okára - és persze, ha érdekel valakit ez a feladat egyáltalán, de azért remélem, igen...) Annyit elárulok előre, hogy bár első ránézésre kicsit nehéz észrevenni, de valójában ez a feladat kapcsolódik a nadorp által legutóbb leírt, szinuszos feladatra adott, – egyébként szerintem elég ügyes – bizonyításhoz. Nos tehát akkor, fel is adom, hátha van kedve valakinek megoldania, gyakorlásképpen (szerintem emelt szinteseknek jó kis tanító célzatú feladat lehet, és talán nem is okoz túl komoly problémát sem megbírkózni vele ;-)

Előzmény: [50] nadorp, 2010-10-18 15:27:57
[54] Róbert Gida2010-10-20 00:17:42

Tényleg, sőt ez még simplify-al is megy, az eggyel korábbi verzióval néztem.

Előzmény: [53] sakkmath, 2010-10-19 23:30:02
[53] sakkmath2010-10-19 23:30:02

A Maple 13.0 ezt adja:

Előzmény: [49] Róbert Gida, 2010-10-18 15:13:15
[52] Róbert Gida2010-10-19 20:45:51

Mathematica 5.1 még nem tudta. Hanyas verzióval nézted?

Előzmény: [51] Lóczi Lajos, 2010-10-19 16:10:58
[51] Lóczi Lajos2010-10-19 16:10:58

Ha beírod a szinuszos képletet a Mathematica-ba, a FullSimplify azonnal rávágja, hogy 32.

Előzmény: [49] Róbert Gida, 2010-10-18 15:13:15
[50] nadorp2010-10-18 15:27:57

A sin 7x=0 egyenlet gyökei az x=k\frac\pi7 számok. Ezért a sin 7x=y jelöléssel (felhasználva sin 7x kifejtését) a

-64y7+112y5-56y3+7y=0 egyenlet gyökei:

y=0,\pm\sin\frac\pi7,\pm\sin\frac{2\pi}7,\pm\sin\frac{3\pi}7, tehát

-64y^7+112y^5-56y^3+7y=-64y\left(y^2-\sin^2\frac\pi7\right)\left(y^2-\sin^2\frac{2\pi}7\right)\left(y^2-\sin^2\frac{3\pi}7\right)

Azaz az y2=z jelöléssel a

-64z3+112z2-56z+7=0 egyenlet gyökei: \sin^2\frac\pi7,\sin^2\frac{2\pi}7,\sin^2\frac{3\pi}7, azaz a

7z3-56z2+112z-64=0 egyenlet gyökei: \frac1{\sin^2\frac\pi7},\frac1{\sin^2\frac{2\pi}7},\frac1{\sin^2\frac{3\pi}7}

Innen már az a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+a2c2+b2c2) azonosság és a gyökök és együtthatók összefüggése alapján

\frac1{\sin^4\frac\pi7}+\frac1{\sin^4\frac{2\pi}7}+\frac1{\sin^4\frac{3\pi}7}=\left(\frac{56}7\right)^2-2\left(\frac{112}7\right)=32

Előzmény: [48] Agéla, 2010-10-18 00:20:10
[49] Róbert Gida2010-10-18 15:13:15

Arra azért kíváncsi lennék, hogy mikor lesz képes a Mathematica vagy bármilyen más computeralgebra program ezt bebizonyítani.

Előzmény: [48] Agéla, 2010-10-18 00:20:10
[48] Agéla2010-10-18 00:20:10

Üdv Mindenkinek!

Olyasvalaki segítségét szeretném kérni, aki trigonometriában elég jártas és válaszolni tud arra, hogy az alábbi kijelentés levezethető-e komplex-számok témakörének ismerete nélkül ?

[47] Kepler2009-01-24 19:15:47

Szia! Köszönöm Valóban így már menni fog :) Még egyszer köszönöm

Előzmény: [46] Valezius, 2009-01-23 18:12:03
[46] Valezius2009-01-23 18:12:03

cos(2x)=cos(x+x) képletből levezeted. cos(3x)=cos(2x+x) az előző után már ezt is le tudod vezetni.

Előzmény: [45] Kepler, 2009-01-23 17:54:58
[45] Kepler2009-01-23 17:54:58

Sziasztok! Matematikai segítségre lenne szükségem :S! Kellene nekem a cos3x levezetése , mert azt tudom hogy mivel egyenlő.... csak a Házim hogy vezessem le :S (cos3x=4cosköbx- 3cosx) Kérnék szépen egy kis gyors segítséget.... Előre is köszönöm! Üdv: Kepler

[44] KK072008-11-09 18:20:50

Helló! Ha gondolod, szívesen segítek ( persze ha tudok) Mit nem értesz? Üdv: K. Kristóf.

(vagy ide ültetem anyukám és majd ő segít :P, mert ő neki már legalább papírja van a matekról)

Előzmény: [42] Zoya, 2008-11-08 20:14:20
[42] Zoya2008-11-08 20:14:20

Szeretnék segítséget kérni!Utolsó éves gimis vagyok. Kinek megy jól a trigonometria,vektorok?

[41] HoA2008-11-03 21:20:24

Például itt:

http://www.cliffsnotes.com/WileyCDA/CliffsReviewTopic/ProductSum-and-SumProduct-Identities.topicArticleId-11658,articleId-11616.html

De a mi időnkben a tankönyvben is benne volt, gondolom most is.

Előzmény: [40] w.andris, 2008-11-03 15:16:45
[40] w.andris2008-11-03 15:16:45

Sziasztok,

Nem tudja valaki, honnan lehetne megtudni a trigonometrikus azonosságok közül az összegek szorzattá alakításának a bizonyítását?

Kösz, Andris

  [1]    [2]    [3]  

  Játékszabályok    Technikai információ    TeX tanfolyam    Elfelejtettem a jelszavam    Témák  

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley