Fórum: Matek OKTV

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[99] Edgar

2004-10-29 00:03:59

Nem lehet, hogy a két képlet ugyanazt takarja?

Jah egyébként nem annyira örülök ennek a feladatnak... nyilvánvaló, hogy zárt alakot várnak el, de ez nem derül ki a feladat szövegéből. Ráadásul a faktoriálist tartalmazó kifejezés *nem* tekinthető egyértelműen zárt alaknak, tehát ezt mindenképpen tisztázni kellett volna!

Előzmény: [97] lorybetti, 2004-10-28 22:09:21

[98] BrickTop	2004-10-28 22:16:16
Ajjaj.... a kifejezés magában foglalja azt is hogy zárt alakban (szummázás nélkül) kell megadni?
Előzmény: [97] lorybetti, 2004-10-28 22:09:21

[97] lorybetti

2004-10-28 22:09:21

Péter, köszönöm!!!!

annyira siettem, hogy efelejtettem leellenőrizni, amit írtam.Helyesen: a₀=2 !!!

Mindenkitől elnézést kérek! Egyébként szerintem nem ez a végeredmény.

Hanem: a_n= $\frac{(n+1)!+1}{(n+1)!}$

Előzmény: [96] Maga Péter, 2004-10-28 21:58:36

[96] Maga Péter

2004-10-28 21:58:36

Kösz, Betty, a példákat! Azt hiszem, az 1. feladatnál a feladatod szövege nem vág össze BrickTop végeredményével. Biztos, hogy ez a feladat? Illetve biztos, hogy ez a végeredmény?

Egyébként kinek hogy sikerült?

Előzmény: [93] lorybetti, 2004-10-28 20:26:49

[95] tassyg	2004-10-28 20:45:22
Nem tudja valaki, hogy idén is fent lesznek-e az OKÉV oldalán a hivatalos megoldások?

[92] BrickTop	2004-10-28 20:26:49
A megoldás $a_n=2-\sum_{i=1}^n\frac{i}{(i+1)!}$ ?
Előzmény: [91] lorybetti, 2004-10-28 20:14:24

[93] lorybetti

2004-10-28 20:26:49

2. feladat

Az ABCD konvex négyszög csúcsai egy körön vannak. A szomszédos oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok a négyszögből négy háromszöget vágnak le. Igazoljuk, hogy e négy háromszög körülírt körei egy ponton haladnak át!

3. feladat

Az a, b, c olyan pozitív egészek, melyekre az $\frac{a\sqrt3+b}{b\sqrt3+c}$ tört értéke racionális szám. Bizonyítsuk be, hogy $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ egész szám!

4. feladat

Az ABC háromszög beírt körének középpontja O. Az OAB OBC, OCA háromszögek súlypontjai rendre C^', A^',B^'. Igazoljuk hogy AA^', BB^', CC^' szakaszok egy ponton mennek át!

5. feladat

Igazoljuk, hoyg 102 db pozitív egész szám közül kiválasztható kettő úgy, hogy azok különbsége vagy összege osztható legyen 200-zal!

[91] lorybetti

2004-10-28 20:14:24

1. feladat

Az a_n sorozatot (n természetes szám) a következőképp értelmezzük:

a₀=0 és a_n= $a_{n-1} -\frac{n}{(n+1)!}$ ha n>0.

Adjuk meg a_n-t n függvényében!

[90] Maga Péter	2004-10-28 20:01:04
Igen, van rá igény!
Előzmény: [89] lorybetti, 2004-10-28 19:33:06

[89] lorybetti

2004-10-28 19:33:06

ma volt a gimisek 1. fordulója

nem ártana beírni a feladatokat...persze, csak ha igény van rá

[88] Csillag

2004-08-03 21:25:40

OKTV eredmények

no comment

Előzmény: [86] Csóka Endre, 2004-05-02 22:33:16

[87] Kritya3	2004-05-24 18:38:41
Engem az érdekelne, hogy mivel jövőre más jellegű feladatok lesznek az érettségin, a Matek OKTV-n is lehet-e számítani valamilyen változásra?

[86] Csóka Endre	2004-05-02 22:33:16
Nem tudja valaki az OKTV eredményeket? Az Oktatási Minisztérium honlapjára ugyanis még mindig nem tették fel.

[85] zorbb

2004-03-21 11:07:39

Üdv mindenkinek!

(Bár ez nem oktv de mégis matekverseny) Akik írtak kengurut azoknak hogy sikerült? A megoldókulcs megtalálható a www.zalamat.hu oldalon.

[84] nadorp

2004-03-10 10:00:50

OKTV III/2. megoldásvázlat:

Ha k=2^rk₀,ahol k₀ páratlan, akkor $\frac{p(k)}k=\frac1{2^r}$ , ezért

$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{p(k)}k=\sum_{r=1}^{m}\frac{a_r}{2^r}$ , ahol m=[log₂n]

Itt a_r értéke annyi, ahány olyan szám van 1-től n-ig, amelynek a 2^r pontos osztója. Így könnyen látható, hogy $a_r=\left[\frac{n}{2^r}\right]-\left[\frac{n}{2^{r+1}}\right]$ , ezért

$S_n=\sum_{r=0}^{m}\left({\left[\frac{n}{2^r}\right]-\left[\frac{n}{2^{r+1}}\right]}\right)\frac{1}{2^r}=n+\left[\frac{n}{2}\right]\left(\frac12-1\right)+\left[\frac{n}{4}\right]\left(\frac14-\frac12\right)+ ...+ \left[\frac{n}{2^m}\right]\left(\frac1{2^m}-\frac1{2^{m-1}}\right)=n-\sum_{r=1}^{m}\left[\frac{n}{2^r}\right]\frac1{2^r}$

Az alsó becsléshez elég felhasználni, hogy $\left[\frac{n}{2^r}\right]\le\frac{n}{2^r}$ és a mértani sorozat összegképletét

A felső becsléshez felhasználjuk, hogy $\left[\frac{n}{2^r}\right]\ge\frac{n}{2^r}-\frac{2^r-1}{2^r}$ , megint a mértani sorozat összegképletét és végül, hogy $\frac{n}{2^m}<2$

Előzmény: [75] Csillag, 2004-03-04 17:39:09

[83] Adus

2004-03-09 22:31:07

Sziasztok! Nagyon megköszönném, ha az OKTV III. kategória 2. és 3. feladatának megoldását közreadnátok.

Köszönöm!!!

Előzmény: [75] Csillag, 2004-03-04 17:39:09

[82] Kós Géza	2004-03-05 14:54:06
Szerintem jó a megoldásod.
Előzmény: [81] lorantfy, 2004-03-05 13:58:59

[81] lorantfy	2004-03-05 13:58:59
Sziasztok! Én a III./1. példát elég könnyűnek találom, ha valami gond van az alábbi gondolatmenettel szóljatok: OKTV III./1. megoldásvázlat: Legyen az ABC $\Delta$ legkisebb szöge $\alpha$ $\geq$ 60^o Növeljük az AB és AC oldalakat $\sqrt{2}$ hosszúra (ha rövidebbek). Az ABC $\Delta$ nyilván benne van az így keletkező AEF $\Delta$ -ben. Vegyük fel a kocka egyik oldallapjának oldalain a G csúcsból a $\frac{EF}{\sqrt{2}}$ szakaszokat. Ekkor EF átfogójú derékszögű háromszöget kapunk. $\sqrt{2} \leq EK=FK$ , mivel FK az FKH derékszögű $\Delta$ átfogója, melynek KH befogója $\sqrt{2}$ . EFA és EFK azonos alapú egyenlő szárú $\Delta$ -k. FA $\leq$ FK, így az A pont az EFK $\Delta$ belsejébe esik (vagy megegyezik K-val), amit tartalmaz az egységélű kocka.

Előzmény: [75] Csillag, 2004-03-04 17:39:09

[80] BrickTop	2004-03-04 22:32:36
A 2. feladatot szerintem mindenki meg tudta csinálni. Az 1.-vel lehetett a legtöbb időt elvesztegetni, sokféleképpen neki lehet menni egy ilyen feladatnak. Én nem sokra jutottam, kifejeztem a CY szakasz hosszát ismert adatokból, ezek alapján elvileg megszerkeszthető, dehát ez nem a legideálisabb megoldás :( A 3. feladatot nem(/sem) tudtam megcsinálni, de ezt sajnálom a legkevésbé, mert nem hiszem, hogy eszembe jutott volna ez az ötlet. Ülhetnék rajta egy hétig, akkor se ugrana be. A 3.-ra sok időt se lehetett pazarolni, rögtön látszott rajta hogy vagy beugrik, vagy nem.
Előzmény: [77] tassyg, 2004-03-04 18:35:45

[79] tassyg

2004-03-04 22:31:13

Kedves Endre!

A 2. feladatnál úgy tűnik, Te is figyelmen kívül hagytad, hogy az oldalhosszak különböző egész számok, így a (2;2;3) nem jó megoldás. Nekem elég sok eset vizsgálata után a (6;7;12), valamint a (7;8;9) jöttek ki, melyekre a szorzat egyaránt 504. Becslésekkel és néhány eset kipróbálásával ki lehetett zárni a leghosszabb oldal 12-nél nagyobb értékeit. De azért kíváncsi vagyok, volt-e rá valami "szép" megoldás.

Előzmény: [78] Csóka Endre, 2004-03-04 22:19:46

[78] Csóka Endre

2004-03-04 22:19:46

Sziasztok!

Egy-egy nagyon tömör megoldásvázlat a II. kategóriás feladatokhoz (én túlkoros voltam ehhez, de azért megoldottam):

1. P helyének nyilván lineáris függvénye X és Y pont helye, így az XY vektor is. Ez a két szélső helyzetben az AC, illetve a CB vektor. Ha tehát az XY vektort az A kezdőpontba toljuk, akkor a végpont helye C és D között lineárisan változik, ahol D az a pont, melyre (CB vektor)=(AD vektor). Ekkor nyilván akkor a legrövidebb a szakasz, amikor merőleges CD-re, ami egybeesik a súlyvonallal. Mivel ez az eredeti vektor eltoltja, így a merőlegesség arra is igaz. Az XY vektor ismeretében P szerkesztése pedig triviális.

2. Legyen a harmadolópont az ABC háromszög AB oldalának A-hoz közelebbi harmadolópontja. A területfelezésből következik, hogy az egyenes BC-t 3:1 arányban osztja (2/3 * 3/4 = 1/2). Tehát a kerületfelezésből AB/3+BC/2=CA. Könnyű meggondolni, hogy ez csak úgy lehet, ha 3|AB, 2|BC, és így 2<=CA. AB=3, BC=CA=2 ezért a legkisebb megfelelő.

3. Az 1, 2, 4, 8(, 16) elemek be-, vagy nem beválasztásának megválasztásával a 16, ill. 32 különböző maradék mindegyike előáll, ezzel a részhalmazokat maradék szerint egyenlő csoportokba oszthatjuk. Tehát mindkét oldalon az összes részhalmaz számának 1/16-a áll.

Előzmény: [77] tassyg, 2004-03-04 18:35:45

[77] tassyg

2004-03-04 18:35:45

Sziasztok!

A matematika OKTV II. kategóriás döntőjének feladatai:

1. A P pont a hegyesszögű ABC háromszög AB oldalán mozog. A P-n át AC-vel húzott párhuzamos a BC oldalt az X pontban, a P-n át BC-vel húzott párhuzamos pedig AC-t az Y pontban metszi. Adjunk eljárást olyan P pont szerkesztésére, amelyhez tartozó XY szakasz a lehető legrövidebb. Bizonyítsuk be, hogy a legrövidebb XY szakasz merőleges a C csúcsból induló súlyvonalra.

2. Egy háromszög oldalhosszai különböző egész számok; a háromszöghöz található olyan egyenes, amely átmegy a legnagyobb oldal valamelyik harmadoló pontján, és felezi a háromszög területét és kerületét is. Határozzuk meg az oldalhosszakat úgy, hogy azok szorzata a lehető legkisebb legyen.

3. Legyen H a 2004-nél nem nagyobb pozitív egészek halmaza: H={1;2;3;...;2004}. Jelölje D a H halmaz olyan részhalmazainak számát, amelyekben az elemek összegét 32-vel osztva 7-et kapunk maradékul, és jelölje S a H halmaz olyan részhalmazainak számát, amelyekben az elemek összegét 16-tal osztva 14-et kapunk maradékul. Igazoljuk, hogy S=2D.

Amúgy kinek milyen lett?

Előzmény: [76] Csizmadia Gábor, 2004-03-04 17:47:24

[76] Csizmadia Gábor

2004-03-04 17:47:24

Sziasztok! A II. kat.-os feladatokat be tudnátok írni?

Köszi: Cs. G.

[75] Csillag

2004-03-04 17:39:09

Sziasztok!

Az OKTV III. kategória döntő feladatai azoknak, akik még nem ismerik:

1. Egy háromszög mindhárom oldala legfeljebb $\root\of 2$ hosszúságú. Bizonyítsuk be, hogy belefoglalható egy egységnyi élű kockába.

2. Jelölje p(k) a k természetes szám legnagyobb páratlan osztóját. Bizonyítsuk be, hogy minden n $\ge$ 1-re

$\frac23n<\sum_{k=1}^n\frac{p(k)}k<\frac23 (n+1).$

3. Bizonyítsuk be, hogy a c és d egész számokhoz akkor és csak akkor létezik végtelen sok különböző x_n,y_n(n=1,2,...) egész számpár, amelyre x_n osztója cy_n+d-nek és y_n osztója cx_n+d-nek, ha c osztója d-nek. (c,d,x_n és y_n nem feltétlenül pozitív számok.)

Akik részt vettek: hogy sikerült?

[74] macilacibubu	2004-03-02 22:10:47
Sok sikert mindenkinek a csütörtöki OKTV-hez.

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?