Fórum: Matek OKTV

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[713] logarlécész	2012-03-06 07:37:17
Közben én is rájöttem, hogy csak elírtam és a -1/h(n)-re jó lesz a becslés. De azért köszönöm a segítséget!
Előzmény: [711] Zine, 2012-03-05 22:10:36

[712] jonas

2012-03-05 22:44:02

Akkor már hadd másoljam be ide a feladatokat az általad megadott forrásból, hogy meglegyenek itt tartósan.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011-2012. tanévi harmadik (döntő) fordulójának feladatai matematikából, a II. kategória számára

1. Az ABCD szimmetrikus trapéz AB és CD oldalai párhuzamosak AB<CD. AD és BC metszéspontja legyen P. A trapéz köré írt kör A és C pontjához húzott érintők metszéspontja legyen Q. Igazoljuk, hogy a PQ egyenes párhuzamos az AB egyenessel.

2. Legyen A={1;2;3;4;5}, B={1;2;3}. Az f(x) függvény értelmezési tartománya A és minden A-beli x esetén f(x) $\in$ A. Hány olyan f(x) függvény van, amelyre

{{f(f(x))|x $\in$ A}}=B

3. Legyen h(1)=1 és n=2,3,… esetén h(n)= ${\sum}_{i=1}^n \frac{1}{i}$ . Mutassuk meg, hogy

${\rm L}= \frac{1}{h^2(1)} + \frac{1}{2\cdot h^2(2)} + \frac{1}{3\cdot h^2(3)} + \cdots \frac{1}{2012\cdot h^2(2012)} < 2$

Valamennyi feladat 7 pontot ér.

Előzmény: [704] logarlécész, 2012-03-05 17:03:54

[711] Zine

2012-03-05 22:10:36

$\frac{1}{nh(n-1)h(n)}=\frac{1}{n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{n-1})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})}>\frac{1}{n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})}$

A becslésnél az történt, hogy h(n)² egyik tényezőjéből elhagytuk az utolsó tagot, ezzel a nevező csökkent, vagyis a tört értéke nőtt. Ezáltal az eredeti tagot felülről becsültük. Ez igazából egy teleszkópikus összeg, ahogy az a másik hozzászólásban látszik, mivel igaz a következő azonosság:

$\frac{1}{h(n-1)}-\frac{1}{h(n)}= \frac{h(n)-h(n-1)}{h(n)h(n-1)} =\frac{(1+1/2+...+\frac{1}{n})-(1+1/2+...\frac{1}{n-1})}{h(n-1)h(n)}=\frac{1}{nh(n-1)(n)}$

Előzmény: [709] logarlécész, 2012-03-05 21:55:27

[710] Zine	2012-03-05 21:56:58
a különbségnél nyilván $-\frac{1}{h(n)}$ van
Előzmény: [707] Zine, 2012-03-05 21:20:52

[709] logarlécész

2012-03-05 21:55:27

Nem egészen látom át, hogy milyen becslést csináltál. Gondolom, 1/h(n)-re gondoltál. Megnéztem excellel, de nem tűnt igaznak az egyenlőség se így se úgy. (Lehet, hogy elírtam valamit.) Ezt le tudnád írni, hogy miből jön ki?

És az integrálos becslést? Kíváncsi vagyok, mit írtál, mert én is olyasmivel próbálkoztam.

Előzmény: [707] Zine, 2012-03-05 21:20:52

[708] Róbert Gida	2012-03-05 21:23:07
Olvasd el a hozzászólásomat (nem a matek részét), majd értelmezd.
Előzmény: [706] patba, 2012-03-05 21:18:49

[707] Zine

2012-03-05 21:20:52

Sajnos a következő megoldás nem saját, de gyanítom, hogy erre élezték ki a feladatot a kitűzők:

$\frac{1}{n h(n)^2}$ -et fogjuk felülről becsülni, ezt megtehetjük azzal, hogy csökkentjük a nevezőt:

$\frac{1}{n h(n)h(n)}<\frac{1}{nh(n)h(n-1)}=\frac{1}{h(n-1)}-\frac{1}{n}$

Ekkor a következőt kapjuk:

$1+\frac{1}{h(1)}-\frac{1}{h(2)}+\frac{1}{h(2)}-\frac{1}{h(3)}+...-\frac{1}{h(2012)}=2-\frac{1}{h(2012)}$

Én ehelyett kevésbé elegáns módon integrállal becsültem...

Előzmény: [704] logarlécész, 2012-03-05 17:03:54

[706] patba	2012-03-05 21:18:49
A feladatban nem 9-re kellett belátni.
Előzmény: [705] Róbert Gida, 2012-03-05 20:19:17

[705] Róbert Gida

2012-03-05 20:19:17

Na, ezt fejben majdnem megoldottam.

Nagyon olcsón nem jön ki: legyen 2^k $\le$ n<2^k+1, ekkor $H(n)=\sum _{i=1}^{n}\frac 1i \ge \sum _{t=0}^{k-1} \sum _{i=2^t+1}^{2^{t+1}} \frac 1i \ge \sum _{t=0}^{k-1} \sum _{i=2^t+1}^{2^{t+1}} \frac {1}{2^{t+1}}= \sum _{t=0}^{k-1} \frac 12=\frac {k}{2}$ ,

így $\sum _{i=1}^{2012} \frac {1}{iH(i)^2}<1+\sum _{i=2}^{\infty}\frac {1}{iH(i)^2}\le 1+ \sum _{k=1}^{\infty}\sum _{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac {1}{nH(n)^2}\le 1+\sum _{k=1}^{\infty}\sum _{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac {4}{k^2*2^k}= 1+4\sum _{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}<1+4*2=9$

Előzmény: [704] logarlécész, 2012-03-05 17:03:54

[704] logarlécész

2012-03-05 17:03:54

Látom az előző kérdésem sikeres volt. Nem baj, próbálkozom tovább. Ehhez nem kellett ott lenni:

Meg tudná valaki mondani, hogy hogyan kell megoldani a 3. feladatot?

// A feladatok megtalálhatók, a logarlecesz.5mp.eu oldalon.

[703] logarlécész

2012-02-28 20:01:13

Nem tudja valaki, hogy az idei III. forduló 1. feladatában (II.kat.) AB>CD vagy AB<CD volt?

Egyébként, kinek hogy ment?

[702] krasi214	2012-02-07 16:33:38
Amit én tudok, hogy idén 25 pont a bejutási határ. Hétfőn derült ez ki, és már elvileg megvan, hogy ki jutott tovább. Most már csak az kell, hogy kiküldjék a listát az iskolákba. Ez holnap(után) meg fog történni.

[700] Bärnkopf Pál	2012-01-08 21:31:47
A kiírás alapján legkésőbb a forduló utáni 25. munkanapon jön értesítés az eredményről. (Ez kb. febr. 9.) a megoldó kulcsot nem tudom, hogy mikor lesz fönn. Szerintem márc.-ápr. előtt nem nagyon...
Előzmény: [699] Nobélium, 2012-01-08 19:49:15

[699] Nobélium

2012-01-08 19:49:15

Sziasztok, nekem is ugyanezek a megoldásaim lettek, szerintem is könnyebb volt mint az első forduló...Ha jól tudom nagyjából 250 ember vett részt a II. kategória 2. fordulóján. Mivel 11.-es vagyok, még nem tudom pontosan, hogy a döntőbe bekerülni van-e esélyem, de azért érdekelne, ha valaki meg tudná mondani, hogy mikorra várható egy konkrét megoldókulcs és az eredmények...

[698] Antal János Benjamin	2012-01-07 15:54:30
Egy kicsit rosszat írtam, I. kategória, nem II.

[697] Antal János Benjamin

2012-01-07 15:51:10

Én elnéztem egy napot, és pénteken akartam menni OKTV-re, elég idegesítő volt a dolog. Pedig úgy keltem fel pénteken, hogy bennem volt az, hogy bejutok a harmadik fordulóba. Szívesen megpróbálnám megoldani a feladatokat, ha valaki leírná őket( II. kategória). Most a programozás és info OKTV-re hajtok, azokon is bejutottam a második fordulóba, hátha az egyiken elcsípek egy harmadik fordulót :)

[696] D. Tamás

2012-01-06 21:41:43

Tavaly 24 pontnál húzták meg, ha jól rémlik, bár picit soknak tartom azt a 300-at. Csak a Komárom-Esztergom megyéből 8-an voltunk, abból 1 valaki I. kategóriás továbbjutó volt.

Hát ezek után szerintem jobb, ha nem is reménykedem.

Előzmény: [695] Bärnkopf Pál, 2012-01-06 21:34:48

[695] Bärnkopf Pál

2012-01-06 21:34:48

Azt hiszem, 300-an jutottak a második fordulóba (a verseny kiírás alapján), de azt nem lehet tudni, hogy megyénként ez mennyit jelent. Erről nem mondanak semmit, és szerintem statisztikák sem készülnek róla.

A behívás pedig szerintem elég necces. Én idén sem hiszem, hogy behívnak, pedig szerintem részletesen leírtam a megoldásokat, amik (egyenlőre úgy tűnik) jók is. Összesen max. 50 ember jut a döntőbe.

Tavaly is csaknem hibátlan volt, amit írtam de lehúzták annyira hogy pont nem jutottam tovább. Lehet, hogy a többi dolgozat (azoké, akik tovább jutottak) tényleg jobb volt - ezt elismerem, de hogy a végső pontszámom nem volt reális, az biztos.

Úgyhogy reménykedni mindig lehet, én is bízom a továbbjutásban, de nem nagyon hiszek benne.

Előzmény: [694] D. Tamás, 2012-01-06 20:00:54

[694] D. Tamás

2012-01-06 20:00:54

Ezek a jó megoldások -szerintem is -, elsőben utólag nekem is ez jött ki, a többi meg teljesen megegyezik.

Remélem valahogy a végére még beférek a behívottak közé, bár egyre inkább úgy érzem hogy erre nincs sok esély.

Tényleg, lehet tudni hogy mennyien jutottunk egyáltalán a II. fordulóba? Szívesen megnézném, mondjuk megyékre leosztva.

Előzmény: [693] Bärnkopf Pál, 2012-01-06 18:48:43

[693] Bärnkopf Pál

2012-01-06 18:48:43

Szerintem is könnyű volt (ha nem írtam rosszakat, azaz nem értettem valamit nagyon félre). Egyesek szerint könnyebb volt, mint az első forduló.

1.: 1925

2.: (2pí;pí), (pí;2pí), (-pí;-2pí), (-2pí;pí)

3.: "Csak" be kellett látni (több (szerintem) jó elvileg különböző megoldást is hallottam.)

4.: (2;2)

Én ezeket írtam, persze vagy jók, vagy nem. (Remélem inkább az első.) :-)

Az a baj, hogy a leíráson még nagyon sok múlik, ha a megoldás jó is, mert valószínűleg sok ember lesz hibátlan közelében.

Ha nem lett jó, az azért bosszantó, mert 12:08-ra kész voltam, és rengetegszer átnéztem. Persze saját hibát nehezen vesz észre az ember, főleg, ha benne van a gondolatmenetben.

Előzmény: [692] D. Tamás, 2012-01-05 15:57:06

[692] D. Tamás

2012-01-05 15:57:06

Kinek hogy ment a mai matek OKTV? (II. kategória)

Szerintem nem volt nehéz, bár én hoztam a "formámat" és a legegyszerűbb feladatot (1-es) naná hogy elrontottam. Kb. addig jó hogy beláttam hogy kettővel és hárommal sem osztható. Remélem van/lesz itt olyan is, aki szintén ugyanezt írta.

[691] Róbert Gida

2011-10-17 20:21:45

Lehet, hogy emiatt vannak könnyű feladatok:

http://nol.hu/belfold/20110930-nem_honoraljak_a_tetelsorirast

Ilyen esetben szerintem az lenne a megoldás, hogy hagyják a francba a tételírást a tanárok és adják fel mindig az előző év feladatait.

Előzmény: [689] R.R King, 2011-10-17 18:01:50

[690] D. Tamás	2011-10-17 18:14:57
A II. kategóriában mennyi lett a ponthatár? (Legalábbis amit egyenlőre kitűztek.)
Előzmény: [688] logarlécész, 2011-10-17 17:18:53

[689] R.R King	2011-10-17 18:01:50
Igen, valóban könnyű volt, 3 feladat akár simán benne lehetne az emelt érettségiben is. Mindezek ellenére szerintem messze nem ez lesz az országos átlag amit leírtál. A szakközepes kategóriában voltak ezeknél nehezebb feladatok is, ami meglepő, hiszen ott elvileg gyengébb a mezőny..
Előzmény: [688] logarlécész, 2011-10-17 17:18:53

[688] logarlécész

2011-10-17 17:18:53

Szerintem azért nincs szó az OKTV-ről, mert annyira könnyű volt, hogy nincs mit beszélni róla (a második kategóriáról beszélek).

Legfeljebb az ötös feladatról érdemes szót ejteni, bár ott is elég hamar valószínűnek tűnt, hogy a bizonyítás nem fog menni, tehát érdemes ellenpéldát keresni.

Nekem 35 pont lett. Az egyik feladatra (3.) adtam második (elvileg különböző) megoldást, de arra sajnos nem adnak pluszpontot. Egyébként ezzel nem vagyok egyedül az iskolában, hárman írtunk max-pontosat. És a csoportomból (15 fő) 10 ember továbbküldhetőt írt.

Úgyhogy nézzük az I. vagy a III. kategóriát, mert a II.-at nem érdemes.

Előzmény: [687] R.R King, 2011-10-17 15:38:07

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?