Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Az ikerprím-sejtésről

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[58] Fálesz Mihály2011-11-11 11:21:52

Vegyél elő egy tankönyvet, és tanulmányozd, hogy milyen szinten kellene a dolgokat egymásra építeni.

Egy bizonyítás nem tartalmazhat blöfföket, elkent dolgokat. Senkit nem érdekel, hogy egy megfigyelést néhány ezerig, vagy akár néhány trillióig ellenőriztél. Vagy pontról pontra ellenőrizhetően bizonyítasz valamit, vagy nem bizonyítottál semmit. (Lásd a viccet a bárányokról, amiknek a felénk eső oldala fekete.)

* * *

Rossz jel, ha lehet olyan kérdéseket felteni, amire ugyanez a zűrzavar elismételhető, csak éppen a válasz más. Ilyen Péter példája a "trikerprímekkel". De azt is megvizsgálatod a módszereddel, hogy hány pozitív egész létezik, ami nem osztható egy prímmel sem. Az ilyen példák arra mutatnak rá, hogy ugyanaz a gondolatmenet (bár én ezt nem nevezem "menet"-nek) hibás, mert hamis állítást "bizonyít".

Előzmény: [56] márton, 2011-11-11 02:16:24
[57] Hajba Károly2011-11-11 09:52:25

Kedves márton!

Nem vagyok benne nagyon a halmazokban és végtelen tulajdonságaiban, ezért ezeket nem tudom és nem is akarom ellenőrizni. De amennyire megértem a gondolatmenetedet, ez egy indirekt bizonyítási eljárás lenne.

Van egy végtelen elemű halmazod, melyből végtelen számú valamilyen, de nem ikerprím tulajdonsággal rendelkező elemet kiszűrsz. Így a fennmaradó végtelen elemszámban lehet, hogy valóban végtelen ikerprím tulajdonsággal rendelkező elem marad. De mivel tudod igazolni, hogy nincs már benne egyetlenegy nem ikerprím tulajdonságú elem sem?

Remélem, hogy jól értettem a gondolatmenetedet.

[56] márton2011-11-11 02:16:24

„Amit itt előadsz, nem alkalmas arra, hogy pontról pontra ellenőrizni lehessen.” – Attól függ, kinek? Persze, jobb lett volna, ha részletekben „adom elő”, mert akkor könnyebb lett volna „pontról pontra ellenőrizni”. Nem én akartam így.

Úgy gondolom, hogy „a különböző fogalmakat és mennyiségeket tisztességesen” definiáltam. Ha számodra nem kielégítő, még nyugodtan kérdezhetsz mindenkitől (tőlem, amíg elérhető vagyok), a Fórum erre (is) való. „Az egyes részállításokat világosan és egyértelműen” igyekeztem megfogalmazni. A végén már csak a „kellene” szót kifogásolom, helyette azt mondanám, hogy „lehetne”. Két okból nem írtam le minden lépésnél, hogy az adott részállítás miért és hogyan következik a korábbiakból: egyrészt azért, mert tömören és röviden akartam a lényeget előadni (még így sem biztos, hogy sikerült), másrészt nem tudhatom, kinek mi evidens, és nem akartam senkit sem megsérteni, vagy untatni a túlmagyarázással. A kérdezés lehetősége erre is vonatkozik, de a „Brrrrrr” nem segít, arra nem tudok válaszolni.

Hogy mi mire bizonyítás, az pedig majd elválik, de talán nem ilyen egyszerű eldönteni.

Előzmény: [54] Fálesz Mihály, 2011-11-08 17:56:59
[55] márton2011-11-11 02:10:43

„Amire rá tudok mutatni, az olyan jellegű, hogy A-ból következtetsz B-re, pedig nem lenne szabad.” Valóban, ha ilyet találnál a dolgozatban, kérlek, mutass rá. Nagyon lényeges volt pl. a \gammai* > \gammai összefüggés tisztázása, mert ennek érvényessége nélkül a végső következtetés nem vonható le, sőt a többi, nagyobb hibát jelentő, de biztonságosabb korlátozó függvény sem lenne alkalmas rá, mert azok viszonya csak \gammai -hez van meghatározva. Idézett hozzászólásom viszont nem az elméletemben való zűrt mutatja, mert az elméletet leíró dolgozatban tételként ez nem szerepel. Itt végül magas labda lett, ami sorsára jutott: lecsaptad, ez a Fórumnak is érdeme és haszna. Ennek végül is örülök, de most már az a kérdés, hogy mi legyen a lecsapott labdával? Megpróbáljuk tovább adogatni, vagy hagyjuk kigurulni a pályáról?

Arról van szó ugyanis, hogy az idézett állítás mellett csak szükséges feltételek vannak megfogalmazva, de – amint az most bebizonyosodott – azok nem elégségesek. Az olyan esetet, mint amit ellenpéldaként felhoztál, ki lehet küszöbölni, pl. így: ,,Az ikerprímeket reprezentáló számtani középértékek halmazát magába foglaló sorozathalmazból végtelen sok olyan diszjunkt végtelen számtani sorozat szűrhető ki, aminek tagjai nem ikerprím számtani középértékek, nem reprezentálnak ikerprímet. Ha a bennfoglaló sorozathalmaz így ki nem szűrhető, 0-tól különböző valamennyi eleme ikerprímet reprezentáló számtani középérték, akkor ezek száma nem korlátos.” Ez tehát egy olyan tétel, ami – természetesen az első mondatban foglalt állítás igazolásával – vagy bizonyítható a halmazelmélet eredményeivel is, vagy a dolgozatban alkalmazott módszerrel.

Ami Luthert illeti: ő is meg volt győződve arról, hogy amit véd, az igaz, kötelessége kinyilvánítani. Csak ennyi, az analógiának itt van a vége. Ő tudta, hogy amit megtámad, az hamis, én pedig „elhiszem”, hogy a számelmélet bizonyított tételei igazak, ezért eszembe sem jut „megtámadni” azokat.

Előzmény: [53] Maga Péter, 2011-11-08 15:16:40
[54] Fálesz Mihály2011-11-08 17:56:59

"Pontosan hol és miért hibás az, amit állítok?"

Brrrrrr. Amit it előadsz, nem alkalmas arra, hogy pontról pontra ellenőrizni lehessen. Úgy is mondhatnám, hogy nem bizonyítás semmire sem.

A különböző fogalmakat és mennyiségeket tisztességesen definiálni kellene, az egyes részállításokat világosan és egyértelműen meg kellene fogalmazni, és minden lépésnél le kellene írni, hogy az adott részállítás miért és hogyan következik a korábbiakból.

Előzmény: [52] márton, 2011-11-08 00:09:39
[53] Maga Péter2011-11-08 15:16:40

,,Pontosan hol és miért hibás az, amit állítok?'' Nem tudok olyan hibára rámutatni, ahol mondjuk azt írod, hogy A=B, de valójában A\neqB. Nem tudom, van-e ilyen hiba a dolgozatodban, bár valószínűnek tartom, figyelembe véve, hogy itt is folyamatos javítás folyik, most konkrétan a [48]-as hsz-edet korrigálod két ponton is.

Amire rá tudok mutatni, az olyan jellegű, hogy A-ból következtetsz B-re, pedig nem lenne szabad. Itt fontos a 'nem lenne szabad' jó értelmezése. Nem tudjuk, hogy az ikerprím-sejtés igaz-e, tehát globálisan nem tudom kijelenteni, hogy a következtetésed hibás. De ez a hozzászólásod is mutatja, hogy valami zűr van az elméletedben: ,,Dolgozatomban kimutattam, hogy az ikerprímeket reprezentáló számtani középértékek halmazát magába foglaló sorozathalmazból végtelen sok olyan diszjunkt végtelen számtani sorozat szűrhető ki, aminek tagjai nem ikerprím számtani középértékek, nem reprezentálnak ikerprímet. Ez a tény önmagában is bizonyítja, hogy a bennfoglaló sorozathalmaznak korlátlan számú ki nem szűrt eleme marad, amelyek az ikerprímek számtani középértékei.''

A trikerprímek olyan p-2,p,p+2 pozitív számok, melyek mindegyike prím (a 3,5,7 ilyen hármas). Az ilyeneket is egyértelműen reprezentálja számtani középértékük (konkrétan a középső prím). A trikerprímeket reprezentáló számtani középértékek halmazát magába foglaló sorozathalmazból végtelen sok olyan diszjunkt végtelen számtani sorozat szűrhető ki, aminek tagjai nem trikerprím számtani középértékek, nem reprezentálnak trikerprímet. Ezt nem mutattad ki a dolgozatodban, de K jelű feladat lehetne a KöMaLban. Ilyen módon az idézett rész első mondatának lényegi része igaz marad. Akkor most ez a tény önmagában is bizonyítja, hogy a bennfoglalt sorozathalmaznak korlátlan számú ki nem szűrt eleme marad, amelyek a trikerprímek számtani középértékei. Szintén K jelű feladat, hogy trikerprímből véges sok van. Tehát akkor ez az 'önmagában is bizonyítja' dolog almás, ez a következtetés nem jó. Mint ahogyan az sem következik, hogy egy hárommal osztható szám kilenccel is osztható.

Még a hitet és Luthert illetően azért azt meg kell jegyezni, hogy Luther ágoston rendi szerzetes volt, ilyen módon volt némi fogalma a megtámadott katolikus teológiáról.

Előzmény: [51] márton, 2011-11-07 22:25:40
[52] márton2011-11-08 00:09:39

Ahogyan leírtad: a főtag nálam \gammai (jobb esetben \gamma_{i\Delta}), a hibatag pedig

\gammaih = \gammai* - \gammai (jobb esetben \gamma_{i\Delta h}~=~\gamma_{i*}~-~\gamma_{i\Delta}).

Bár az ikerprím-tétel bizonyítása szempontjából nincs jelentősége, úgy vélem, hogy a \gammai főtag „pontosságára” nem a \gammaih hibatag abszolút értéke a mérvadó, hanem inkább a relatív hiba, vagy a 100\gammai/\gammai* %. Ez utóbbinak a változását (i=18 -ig) tartalmazza a Függelék IP 3.2./5. táblázata és ábrázolja a 3.2./2d. diagram, a relatív hibák változását később fogom bemutatni.

Az ikerprím-tétel bizonyítása szempontjából a hiba vizsgálatának azért nincs jelentősége, mert amint azt a 3.2./6. táblázat és a 3.2./2a. diagram bemutatja, a \gammai függvényen kívül még igen sok (korlátlan számú) olyan függvény képezhető, ami az I. rendű ikerprímek számát alulról korlátozza - \gammai-nél nagyobb biztonsággal -, és határértéke \infty. Ezeknek a függvényeknek és \gammai -nek a hibája, még ha relatív értelemben csökken, vagy kb. állandó is, abszolút értékben minden korlátot meghaladhat. Ha ráadásul a relatív hiba nőne, a lényeg akkor is az marad, hogy a főtag \gammai* -ot alulról korlátozza, és \infty-hez tartó legyen (ezek monoton növekvők, de képezhetők és vizsgálhatók olyan függvények is, amelyek nem monoton növekvők). Mindegyikük felhasználható az ikerprím-tétel bizonyításához.

Bár szívesen foglalkoznék a prímek számának becslésével, ezt most nem teszem, talán majd egyszer, a Goldbach-sejtéssel kapcsolatban. „Elhiszem” tehát, hogy a \gammaih/\gammai hányados nem tart 0-hoz. Mielőtt azonban a számomra kirótt feladatoddal foglalkoznék, ismét tisztáznunk kell néhány fontos elvi kérdést.

1.) A legfontosabb az, hogy az állandó értékű G_{i\Sigma}=\prod_{5\le P_i<P_{i+1}}(P_i-2)/P_i=\nu_i\delta_i gyakoriság csak i meghatározott értéke mellett állandó, de i értékével változik (csökken), ezért szerepel indexében az i prím sorszám. Már emiatt sem reális azonos szerepben összehasonlítani Hardy-Littlewood C2 állandójával, amit hivatkozásodban láthatóan P felső korlát nélküli értékeinek felhasználásával határoztak meg.

2.) A Gi\Sigma gyakoriság a C2 állandóval ellentétben nem az x/(lnx)2 függvény szorzótényezőjeként ad \pi2(x) -re alkalmas közelítést, még akkor sem, ha i -t (illetve Pi -t) x függvényében próbáljuk meghatározni. Az alkalmazható (és a dolgozatban alkalmazott) közelítés:

\pi2(x=Pi+12-1) = \gammai* \sim \gammai = int[Gi\Sigma(Pi+12-1)/6] + 2

3.) Újra ismételnem kell, hogy a fenti összefüggés Gi\Sigma tényezője az ikerprímek változó gyakorisága szempontjából fiktív. Az összefüggés jobb oldala lineáris függvény, ami egy meghatározott pontjától eltekintve, valóban csak indokolatlanul nagy hibataggal követi \pi2 -t. Ezt az ideális pontot az egyenesen azonban i, illetve Pi+1 megszabja, miután nem csak a Gi\Sigma iránytangenst határozza meg, hanem a „független” változó nagyságát is előírja. \gammai tehát nem csak az egész rész függvény miatt áll diszkrét értékekből. Ebből következik, hogy ha x tetszőleges értékénél kívánjuk \pi2(x) = \gamma*(x) -et ezzel a módszerrel közelíteni, akkor nem egy kiválasztott egyenes mentén kell ezt megtennünk, hanem interpolálnunk kell \gammai-1 és \gammai között, ahol Pi2-1 < x < Pi+12-1 (l. a Függelék IP 3.2./2b. diagramját).

A hibatagok bemutatását és a Hardy-Littlewood-sejtés példájával való összehasonlítást most még halasztom.

Előzmény: [50] Maga Péter, 2011-11-04 09:20:40
[51] márton2011-11-07 22:25:40

Egyetértek Veled abban, hogy a két hit között óriási különbség van. Abban is igazad van, hogy hétköznapjainkat számtalan dolog „elhitele”, elfogadása szabja meg, teszi élhetővé, ezt én is így látom, így tudom. Kétségtelen azonban bizonyos hasonlóság a történelmi és a jelen szituáció között, ami az azonos szóról jutott eszembe. Valóban: nem elégedhetek meg „egy matematikailag képzett ember állításával”, még ha azt „bizonyított tételekkel támasztja is alá” mindaddig, amíg ezekkel állításom ellenkezőjét nem bizonyítja. Pontosan hol és miért hibás az, amit állítok?

[45] sz. hozzászólásodban kitűzted az ikerprím-setés megoldásának feladatát. Dolgozatomban kimutattam, hogy az ikerprímeket reprezentáló számtani középértékek halmazát magába foglaló sorozathalmazból végtelen sok olyan diszjunkt végtelen számtani sorozat szűrhető ki, aminek tagjai nem ikerprím számtani középértékek, nem reprezentálnak ikerprímet. Ez a tény önmagában is bizonyítja, hogy a bennfoglaló sorozathalmaznak korlátlan számú ki nem szűrt eleme marad, amelyek az ikerprímek számtani középértékei.

Ettől függetlenül: azt a feladatot, hogy „garantáljuk az ikerprímek számának végtelen voltát”, a bemutatott dolgozat (64) összefüggése teljesíti.

Javítások:

1.) Elnézést kérek a Moderátortól, mert [47] sz. hozzászólásomban Mediátornak neveztem.

2.) A [48] sz. hozzászólásom 6. bekezdésének 4. sorában kezdődő mondat eleje helyesen: „Mivel pedig a fokozatban az nAi=(Pi+12-1)/6 sorszámnál kisebb sorszámok ...”

3.) A [48] sz. hozzászólásom 7. bekezdésének 5. sorában kezdődő mondat eleje helyesen: „Mivel pedig ezen a szűk tartományon belül is az nA(i-1)=(Pi2-1)/6 határig ...”

Előzmény: [49] bily71, 2011-11-04 07:54:31
[50] Maga Péter2011-11-04 09:20:40

Főtag: az általad bevezetett szűrés ad egy becslést az ikerprímek számára. A becslés lényegében abban áll, hogy a \frac{p-2}{p}-ket szorzod össze, ezzel kapsz egy gyakoriságot, majd ezt megszorzod az intervallum hosszával. Ez a főtagod. A hibatag az, amennyivel ez eltér az ikerprímek tényleges számától.

Ugyanez a módszer \frac{p-1}{p}-kel a prímek számára adna becslést. De az a becslés nagyon rossz, a hibatag és a főtag hányadosa nem tart a 0-hoz, vö. Mertenst és a prímszámtételt. Semmi nem garantálja, hogy nem történik meg ugyanez. Itt megtalálod a Hardy-Littlewood-sejtést. Én ehhez most lusta vagyok, de legalább annyit számolj ki (akár csak numerikusan), hogy a te \prod_{p\leq\sqrt{x}}\frac{p-2}{p}-d milyen konstanst ad az \frac{x}{(\log x)^2}-hez.

Előzmény: [48] márton, 2011-11-04 00:41:41
[49] bily712011-11-04 07:54:31

A két hit között óriási különbség van.

Amikor a hétköznapi emberek használják a mai technológiát, olyankor tulajdonképp hisznek a tudósokban. Egy extrém példa: ha valami szerencsétlenség folytán meghalna az összes villamosmérnök, fizikus, stb., tehát az összes olyan ember a világon, aki ismeri az erőművek működését, előbb-utóbb leállna mind, akkor a hétköznapi emberek hiába lincselnék meg a mezei villanyszerelőket, mert azok képtelenek lennének beindítani mondjuk a paksi atomerőművet. Ott ténferegnének tanácstalanul a lakásban a sok, kisebb-nagyobb műanyag-fém doboz között és hiába dugnák a mobil töltőt a konnektorba...

Az legtöbb ember csak elhiszi a mai technológiát (köztük én is), használja, de fogalma sincs hogy működik.

Így van ez a matekkal is, a hétköznapi ember elhiszi, hogy ennyi, vagy annyi az eredmény, de kiszámolni nem tudja, sőt a legtöbb esetben semmit nem mond neki az eredmény. Egy végtelenül egyszerű példa: biztos, hogy egy különleges alakú üvegben, vagy flakonban annyi folyadék van, amennyit ráírtak a cimkére? Vagy elhiszem és megveszem, vagy ki számolom. Mindenki ki tudja számolni? Kíváncsi lennék, hogy a lakosság hány százaléka tudja, hogy egy 10 cm élhosszúságú kocka térfogata 1 liter.

Előzmény: [47] márton, 2011-11-04 00:20:50
[48] márton2011-11-04 00:41:41

Köszönöm a kísérletet. Eredményes volt, jelentem: átment. Amit leírtál, helytálló, a hivatkozásokkal együtt, bár nem mindenben világos. (Mit értesz "főtag" alatt? Ellenőrzéseim során nem találtam "iszonyú hibát"). Ezért én is megkísérlem tovább magyarázni, hogy mi a helyzet ezzel a szűréssel, bízom benne, hogy Te is megérted, és tisztázni szeretném azt, ami valamelyikünknek nem világos. Elnézést, ha mégis olyasmit magyarázok, amit már megértettél, de lehet, hogy még mások is figyelik a témát.

A bemutatott szűrés valóban mond valamit az nA sorszámok \Deltai+1 nagyságrendű tartományairól. Ezt a tartományt ciklusnak nevezem, mivel – bizonyos kivételektől eltekintve, amelyekről most nem írok, de a dolgozatban kitértem rá – a ciklus a szűrési fokozatban kiszűrt végtelen számtani sorozatoknak csak egy-egy tagját tartalmazza. Az i. szűrési fokozat ciklusai egymáshoz kapcsolódva végtelen sort alkotnak. A szűrési fokozat minden ciklusa egész számú többszöröse a korábbi fokozatok ciklusainak.

A szűrés alapján meghatározható, hogy az i. szűrési fokozat ciklusában hány sorozattag kerül kiszűrésre, tehát az is, hogy mennyi nem. Eszerint a fokozatban ki nem szűrt tagok átlagos gyakorisága is definiálható (Gi) és ez a megelőző fokozatokra megállapított gyakoriságokkal összegezhető (G_{i\Sigma}). Ez a gyakoriság függvénye ugyan i-nek, de nA-nak nem, tehát a [0; \infty] tartományban állandó.

G_{i\Sigma}-ról azonban a dolgozatban és [34] hozzászólásomban tisztáztam, hogy az ikerprímek tényleges gyakoriságára nézve „fiktív”, nyilvánvaló tehát, hogy aki ezt \Deltai+1 nagyságrendű tartományban akarja felhasználni az ikerprímek számának meghatározásához, az „iszonyú hibát csinál”. Biztosíthatlak, Bilyt, Fálesz Mihályt és mindenki mást is, hogy az nem én vagyok. Gyanítom, hogy köztünk itt van a félreértés: ez a dolgozatban sem így áll.

Hivatkozásaidról (Bily tanácsát is megfogadva) „elhiszem”, hogy a prímekre vonatkozóan ezek a jelzett (nálam \Deltai+1) tartománynál kisebb tartományokra nézve semmit sem mondanak. Ilyen esetben szoktam a figyelmemet a prímek helyett az összetett (esetünkbe a kiszűrésre kerülő) számokra fordítani, mert az eredményes lehet.

Eltekintve a fentebb is említett kivételektől, egy ciklusban a kiszűrt sorozattagok száma páros. Egymással párosíthatók azok a sorozattagok, amelyek közül az egyik a B, a másik pedig az F számtani sorozatbeli összetett szám miatt kerül kiszűrésre és összegük \Deltai+1. Eszerint a fokozat kiszűréseinek gyakorisága szempontjából a tartomány (ciklus) máris két egyenlő, az átlagosnak megfelelő gyakoriságú félre osztható: l. a (24) összefüggést. Mivel pedig a fokozatban az nAi=(Pi+12-1)/2 sorszámnál kisebb sorszámok nem kerülnek kiszűrésre, nyilvánvaló, hogy az i. fokozatban a [\Deltai+1-nAi;\Deltai+1] tartományban sem lesz kiszűrésre kerülő sorozattag. Ezért pl. a 0-val kezdődő ciklus két-két, párosával egyenlő fiktív gyakoriságú részre bontható fel. Az 1. és 4. részben a kiszűrés gyakorisága 0, a Gi átlagos fiktív gyakoriság pedig a 4 rész gyakoriságának átlaga. A ciklus két középső részében tehát a kiszűrés gyakorisága az átlagosnál nagyobb, a ki nem szűrt tagoké számíthatóan kevéssel kisebb Gi-nél.

Végezetül: a G_{i\Sigma} átlagos, fiktív gyakoriság érvényes 1 ciklusra és annak bármely egész számú többszörösére, függetlenül attól, hogy az 1. ciklus milyen nA sorszámnál kezdődik, illetve érvényes 1/2 ciklusra és annak bármely egész számú többszörösére, ha az 0-val, vagy \Deltai+1/2 bármely egész számú többszörösével kezdődik. G_{i\Sigma} felhasználhatósága \gammai kiszámításához azonban valóban viszonylag szűk tartományban reális: 0 és nAi között, abban a tartományban, amelyben a k > i sorszámú szűrési fokozatokban kiszűrésre kerülő sorszámok nincsenek. Mivel pedig ezen a szűk tartományon belül is az nA(i-1)=(Pi2-1)/2 határig az i. szűrési fokozatban kiszűrt sorozattag nincsen, eddig a határig jó közelítéssel a korábbi szűrési fokozatok felhasználásával számított összegzett gyakoriságot (G_{(i-1)\Sigma}) alkalmazhatjuk, ettől nAi-ig pedig a G_{i\Sigma} gyakoriságot. Így kapható a [42] hozzászólásomban meghatározott \gamma_{i\Delta} szám. Természetes, hogy ha az egész [0; nAi] tartományra csak a G_{i\Sigma} gyakoriságot alkalmazzuk, akkor az eredmény a kisebb \gammai szám lesz. Ezek a számok a fokozaton belül növelhetők az nA határ növelésével, de az indokolatlan, mert a tényleges \gammai* szám is csak az nAi határra vonatkozik. Az értelmetlen eredmények nem tekinthetők \gamma_{i\Delta} vagy \gammai értékeinek. A számítás „hibája” tehát mindig csak \gamma_{i*}-\gamma_{i\Delta} , illetve \gammai*-\gammai.

Előzmény: [44] Maga Péter, 2011-11-03 08:30:10
[47] márton2011-11-04 00:20:50

Kedves Bily, köszönöm jó szándékú útbaigazításodat, de ha már hitről van szó, én is csak azt mondhatom, amit Luther mondott, amikor teológiailag képzett emberek azt mondták neki, hogy nincs igaza: „... másként nem tehetek.” De ezt hagyjuk, mert a Mediátor kiátkoz....

Előzmény: [45] bily71, 2011-11-03 10:33:01
[46] Fálesz Mihály2011-11-03 10:41:40

Hát igen, a nagyságrendek összehasonlítása többeknek nehézséget okoz. Talán egy konkrét példa segíthet megérteni...

Az 1000,000-nál kisebb prímek száma 78,498, a szorzatuk kb. 10430,000. Ha a szitát ügyesen (pl. csak a 168 darab 1000-nél kisebb prímmel) írjuk fel, és csak 2100 tagban követünk el egy-egy kicsi, \pm\frac12 nagyságú véletlen hibát, akkor a teljes hiba szórása még mindig kb. 250\approx1015 lesz.

Így tehát, legalábbis ha ügyesek vagyunk, kijöhet egy olyan hangulatú heurisztikus becslés, hogy az ikerprím párok száma egymillióig kb. ezer, plusz-mínusz egybillárd.

Előzmény: [44] Maga Péter, 2011-11-03 08:30:10
[45] bily712011-11-03 10:33:01

"(hidd el, majd' minden kezdő beleesik legalább egyszer, Bily tudna mesélni)"

Márton, ha egy matematikailag képzett ember azt mondja neked, hogy érti amit mondasz és nincs igazad, akkor azt hidd el, mindaddig, míg el nem sajátítod ugyanazt a tudáshalmazt a nyelvezetével együtt. Ha ez sikerült, akkor vagy látni fogod, hogy tényleg neki van igaza, vagy meg tudod majd mutatni, hogy neked van igazad. Mivel Péter bizonyított tételekkel támasztja alá igazát, ezért az általad használt módszer esetében az utóbbi kizárt.

Ha jól látom, egyfajta szitával dolgozol, ezekkel szűrőkkel, szitákkal az a baj, hogy a leszűkített tartományokban csak "egészrészekkel működnek" és (a matematika jelen állása szerint) semmit nem tudunk a hibatagokról.

A fő probléma az ikerprímekkel, hogy nem tudjuk mire jók, "mire képesek". A prímekről tudjuk, hogy bármely egynél nagyobb egész egyértelműen előáll ezek szorzataként, innen csak egy lépés Eukleidész indirekt bizonyítása. De mi a helyzet az ikerprímekkel? Mi "történik", ha a számuk véges, vagy akkor, ha nem véges? Léteznek ekvivalens sejtések, mint például, hogy végtelen sok olyan pozitív egész van, mely nem áll elő 6nm\pmn\pmm alakban, ahol n,m pozitív egészek, vagy végtelen sok k-ra ak+1 és ak-1 prímek, vagyis a két számtani sorozat "ugyanannyiadik" tagja végtelen sokszor prím, ahol a pozitív egész, (nem egyszerű annak bizonyítása sem, hogy külön-külön is végtelen sok prímet tartalmaznak), és még sorolhatnám, de jelenleg ezekkel sem tudunk mit kezdeni. A feladat találni egy összefüggést, mely "garantálja" az ikerprímek végtelen voltát.

Előzmény: [44] Maga Péter, 2011-11-03 08:30:10
[44] Maga Péter2011-11-03 08:30:10

Már elmondtam, mi a helyzet ezzel a szűréssel, de csak nem sikerült megértened. Teszek még egy kísérletet, hátha ezúttal átmegy.

Ahogyan (az x-nél kisebb prímeket használva) szűrsz, az a legalább \prod_{p<x} p nagyságrendű tartományokról mond valamit. Kisebbekre nem. Ahhoz, hogy prímet tudj garantálni, x2-ig szűrhetsz így. A világ olyan, hogy \prod_{p<x} p körülbelül ex. Ez utóbbi sokkal nagyobb, mint az x2. Tehát a te tartományod sokkal kisebb.

Nem az a probléma, hogy most a \gammai-d picit elvéti a hibatagot, már a főtagban is iszonyú hibát csinálsz ezzel az első látásra tetszetős (hidd el, majd' minden kezdő beleesik legalább egyszer, Bily tudna mesélni), de különben elég igénytelen módszerrel (ld. Mertens 3. tételét itt).

Előzmény: [43] márton, 2011-11-01 23:54:08
[43] márton2011-11-01 23:54:08

A 4. bekezdés 1. képletsora helyesen:

G_{i*}~\approx~G_{(i-1)\Sigma\Delta}~=~int[G_{(i-1)\Sigma}n_{A(i-1)}+G_{i\Sigma}(n_{Ai}-n_{A(i-1)})]/n_{Ai}~>~G_{i\Sigma}~~~(i~\ge~4),~{\rm mivel}~ G_{(i-1)\Sigma}~>~ G_{i\Sigma}

Előzmény: [42] márton, 2011-11-01 23:38:39
[42] márton2011-11-01 23:38:39

Úgy látszik, sajnos, nem sokan vagytok/vagyunk „mindannyian”.

Természetesen, amit [40]-ben leírtam, nem bizonyítás. Az egymásból következő (30) és (38) összefüggés triviális, amit indokolni lehet. Ezek az összefüggések nem azért triviálisak, mert elvégzett számításaim „igazolnák” azokat, hanem, mert \gammai számítása során figyelmen kívül hagytuk azt a realitást, hogy az I. rendű ikerprím számtani középértékek eloszlása a [0; nAi] tartományban nem homogén, tényleges átlagos gyakoriságuk ebben a tartományban nem egyenlő a számított G_{i\Sigma} átlagos gyakorisággal:

G_{i*}~\ne~ G_{i\Sigma}

A tényleges gyakoriság kezdetben 1-ről rohamosan csökken, átlaga 0-tól az nA(i-1)=(Pi2-1)/6 határig nagyobb, mint nAi határig, ez pedig nagyobb az i. szűrési fokozatra számított G_{i\Sigma} átlagos gyakoriságnál, hiszen minden i. szűrési fokozatban a [0; nA(i-1)] tartományban nincsen kiszűrt sorozatkezdő tag. Az [nA(i-1)nAi] tartományban - éppen emiatt - az átlagos gyakoriság jó közelítéssel legfeljebb G_{i\Sigma}:

G_{(i-1)*}~~>G_{i*}~>~G_{i\Sigma}

Az összefüggés fennállása miatt az I. rendű ikerprímek \gammai* tényleges számának a \gammai függvénynél is jobb megközelítését (\gamma_{i\Delta}) kapjuk akkor, ha a [0; nAi] tartományt két részre bontjuk, és az nA(i-1) határig a korábbi szűrési fokozatokra összegzett G_{(i-1)\Sigma} átlagos gyakoriságot vesszük figyelembe, a G_{i\Sigma} gyakoriságot pedig csak az [nA(i-1)nAi] tartományban. (Csak a szűrési fokozatra vonatkozó Gi értéke a 0-tól kezdődő ciklusban ugyanannyi, mint az nA(i-1) határtól kezdődő ciklusban):

G_{i*}~\approx~G_{(i-1)\Sigma\Delta}~=~[G_{(i-1)\Sigma}n_{A(i-1)}+G_{i\Sigma}(n_{Ai}-n_{A(i-1)})]/n_{Ai}~>~G_{i\Sigma}~~~(i~\ge~4),~{\rm mivel}~ G_{(i-1)\Sigma}~>~ G_{i\Sigma}

\gamma_{i*}~=~int[G_{i*}n_{Ai}]~+~2~\approx~\gamma_{i\Delta}~=~int[G_{i\Sigma\Delta}n_{Ai}]~+~2~>~\gamma_i~=~int[G_{i\Sigma}n_{Ai}]~+~2

sőt  i\ge6 esetben \gamma_{i*}\ge\gamma_{i\Delta} , hiszen G(i-1)*>G(i-1)\Sigma is fennáll.

A számsor elején a (\gamma_i~<~\gamma_{i\Delta}~\approx~\gamma_{i*}) szám-hármasok és a \gamma_{i\Delta}-\gamma_i különbség - i sorrendjében - a következő:

i~=~~4~~~~~~~~~10~<~~11~>~~10~~~~~~~\gamma_{4\Delta}-\gamma_4~=~1

i~=~~5~~~~~~~~~11~<~~13~>~~12~~~~~~~\gamma_{5\Delta}-\gamma_5~=~2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

i~=~~6~~~~~~~~~16~<~~17~<~~19~~~~~~~\gamma_{6\Delta}-\gamma_6~=~1

i~=~~7~~~~~~~~~17~<~~19~<~~21~~~~~~~\gamma_{7\Delta}-\gamma_7~=~2

i~=~~8~~~~~~~~~22~<~~24~<~~25~~~~~~~\gamma_{8\Delta}-\gamma_8~=~2

i~=~~9~~~~~~~~~31~<~~33~=~~33~~~~~~~\gamma_{9\Delta}-\gamma_9~=~2

i~=~10~~~~~~~~~33~<~~35~=~~35~~~~~\gamma_{10\Delta}-\gamma_{10}~=~2

i~=~11~~~~~~~~~44~<~~46~=~~46~~~~~\gamma_{11\Delta}-\gamma_{11}~=~2

i~=~12~~~~~~~~~51~<~~53~=~~53~~~~~\gamma_{12\Delta}-\gamma_{12}~=~2

i~=~13~~~~~~~~~53~<~~56~=~~56~~~~~\gamma_{13\Delta}-\gamma_{13}~=~3

i~=~14~~~~~~~~~60~<~~63~<~~67~~~~~\gamma_{14\Delta}-\gamma_{14}~=~3

i~=~15~~~~~~~~~73~<~~76~<~~80~~~~~\gamma_{15\Delta}-\gamma_{15}~=~3

i~=~16~~~~~~~~~87~<~~90~<~~93~~~~~\gamma_{16\Delta}-\gamma_{16}~=~3

i~=~17~~~~~~~~~90~<~~93~<~~98~~~~~\gamma_{17\Delta}-\gamma_{17}~=~3

i~=~18~~~~~~~~104~<~107~<117~~~~~\gamma_{18\Delta}-\gamma_{18}~=~3

i~=~19~~~~~~~~114~<~117~<128~~~~~\gamma_{19\Delta}-\gamma_{19}~=~3

i~=~20~~~~~~~~117~<~120~<131~~~~~\gamma_{20\Delta}-\gamma_{20}~=~3

A \gammai és a \gamma_{i\Delta} függvényen kívül még sokféle módon képezhetők olyan függvények, melyek a \gammai* függvényt biztonsággal és indokolhatóan korlátozzák, illetve közelítik alulról vagy felülről, melyek határértéke bizonyíthatóan nem korlátos. Ezek közül néhányat a Függelék IP 3.2./6. táblázata tartalmaz. Jelentősebbek azok a függvények, amelyek \gammai* értékét „jól” közelítik, ezeknél érdemes a közelítést (hibát) elemezni, értékelni, egymással összehasonlítani. Esetünkben pl. várható, hogy a megfelelő tartományra vonatkoztatott G_{i\Sigma} értékek integrálásával a \gamma_{i\Delta} függvénynél is jobb közelítést lehet elérni.

Előzmény: [41] Maga Péter, 2011-10-04 07:34:18
[41] Maga Péter2011-10-04 07:34:18

Természetesen mindannyian tudjuk, hogy ez nem bizonyítás. Egyszerűen csak kavarsz a szavakkal.

Előzmény: [40] márton, 2011-10-04 02:18:41
[40] márton2011-10-04 02:18:41

A (30) egyenlőtlenség fennállását az előtte leírt mondatokkal próbáltam indokolni.

A helyzet az, hogy az ikerprímek száma 0-tól adott számhatárig az intervallumra vonatkozó gyakoriság és az intervallum felső határának szorzataként határozható meg. Mivel esetünkben a felső határ (Pi+12-1)/6, ehhez egy olyan gyakoriság tartozik (Gi*), amivel az ikerprímek tényleges száma (\gammai*) lenne kiszámítható. A fokozatonként kiszűrt sorozatok kezdeteinek átfedése (keveredése) miatt azonban ez a kívánt gyakoriság nem számítható, a számítható G_{i\Sigma} gyakoriság viszont ugyanezzel az intervallumhatárral szorozva kisebb számot eredményez [l.: (38)], mert ez utóbbi csak az utolsó 1/2 ciklus egész számú többszöröseire érvényes. A ciklusban ugyanis a legkisebb kiszűrt sorozat kezdet nem lehet (Pi2-1)/6-nál kisebb, így a ciklus kezdete és (a már hivatkozott szimmetriák miatt) a vége "üres", az előfordulás tényleges gyakorisága tehát a számsor kezdetén mindig nagyobb a számíthatónál. A számítást mindig a számsor kezdetétől végezzük, ezért a (30) egyenlőtlenség fennmarad.

A Gi* gyakoriság nevezhető "ténylegesnek", mert ha ismernénk, vele az I. rendű ikerprímek tényleges száma lenne számítható. Ez esetben előfordulásuknak homogénnek kellene lennie, ami nem igaz, hiszen i nem állandó. Közelebb áll a valósághoz, ha "feltételezett tényleges" gyakoriságként határozzuk meg.

Előzmény: [39] Maga Péter, 2011-10-03 20:08:48
[39] Maga Péter2011-10-03 20:08:48

Értem: akkor most (30) és (38) egymásból következnek.

Előzmény: [35] márton, 2011-10-03 14:21:27
[38] Tóbi2011-10-03 19:27:27

Erről a témáról jutott eszembe az alábbi képsor. A forrás az xkcd képregényes oldal. Ajánlom minden fórumozó figyelmébe.

[37] márton2011-10-03 15:09:02

Megint egy helyesbítés: [34] hozzászólásom 2. bekezdésének utolsó mondata:

...Végül is az egyes szűrési fokozatokra meghatározható a kiszűrt és ki nem szűrt tagok gyakorisága, ez utóbbit az i. szűrési fokozatban Gi-vel jelöltem.

Előzmény: [34] márton, 2011-10-03 13:59:14
[36] márton2011-10-03 14:35:55

Még egy megjegyzés RG [33] hozzászólásához: a G_{i\Sigma} gyakoriság azért is fiktív, mert értékét min. 1/2 ciklusra kell értelmezni, így azt ennél kisebb tartományra alkalmazva, emiatt is fiktívnek kell tekinteni.

Előzmény: [33] Róbert Gida, 2011-10-03 01:26:00
[35] márton2011-10-03 14:21:27

1. Ismét bocs! [30] hozzászólásomban G_{5\Sigma} és \gamma5 indexében i értéke (i=3) helyett figyelmetlenül a 3. prímszám (P3=5) értékét írtam be. Helyesen tehát: G_3=G_{3\Sigma}=0,6 és \gamma3 = 6.

2. Gi* a már definiált G_{i\Sigma} fiktív gyakoriság analógiájára alkalmazott és megnevezett „valódi” mennyiség. Értelmezése (36) és (37) összevetéséből szűrhető le: G_{i*}=kG_{i\Sigma} , ahol (38) miatt k>1. Megengedem, hogy előző hozzászólásomban foglaltak miatt a „gyakoriság” megnevezés (az analógia követése) helyett inkább a „sűrűség” kifejezés lenne helyén való. Gi* értelmezése csak arra a sorszám-tartományra vonatkozik, amelyben G_{i\Sigma} felhasználásával \gammai számítását végezzük: [0, (Pi+12-1)/6].

3. Ilyen a prímek világa is. Tudom, hogy Te tudod, de annak, aki még ismerkedik vele: nincsen módszerem az ikerprímek generálására.

Előzmény: [32] Maga Péter, 2011-10-02 22:53:31
[34] márton2011-10-03 13:59:14

A (29) egyenlőség után írtam arról, hogy mit értek fiktív gyakoriságon, de valóban nem érdektelen, hogy ezt bővebben kifejtsem.

Minden egyes szűrési fokozatban a nem I. rendű ikerprím számtani középérték sorszámok végtelen számtani sorozatait szűrjük ki. Ezek tagjainak eloszlása a kiszűréskor még meglévő sorszámok között nem egyenletes, de ciklikus. Ezt jól szemléltetik a Függelék IP szűrési fokozatokat bemutató táblázatai, ahol az egyes szegmensek végtelen során keresztül történik a kiszűrés. A kiszűrés első ciklusának a táblázatokban feltüntetett szegmensek összességét tekinthetjük. A ciklusok szintén végtelen sort képeznek. Végül is az egyes szűrési fokozatokra meghatározható a kiszűrt tagok gyakorisága, ezt az i. szűrési fokozatban Gi-vel jelöltem.

Mivel az egyes ciklusokban a sorszám tagok száma a megelőző ciklusokban lévőknek egész számú többszörösei, a kiszűrések összegezhetők, ezt jelöltem G_{i\Sigma}-val. A Gi és a G_{i\Sigma} gyakoriság a [0, \infty] tartományra értelmezhető, az értelmezési tartományban állandó, megegyezik az 1 ciklusra számított, de (a fennálló szimmetriák miatt) az 1/2 ciklusra is vonatkozó sűrűséggel. Amint azonban az egész vizsgálatból (dolgozatból) is kiderül, az ikerprímek eloszlása a számsorban nem egyenletes, hanem fokozatosan ritkuló, esetükben tehát valódi, az egész számsorra érvényes gyakoriságról nem lehet szó. A számított gyakoriságok tehát csak az egyes szűrési fokozatokra nézve valódiak, az ikerprímek eloszlására nézve ilyen értelemben csak fiktívek lehetnek.

Előzmény: [33] Róbert Gida, 2011-10-03 01:26:00

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]