KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Technikai információk
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - Felfedezés(matematika)

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[16] gyula602013-04-22 12:07:15

Egy kis felfedezni való képletsor.

Legyen a(x):=x^2+x\root3\of{x^3-1}+\root3\of{(x^3-1)^2},

b(x):=x-\root3\of{x^3-1},

g(x):=\root3\of{x^3-1},

an(x):=Tn(x)+Un-1(x)g(x)+Wn-2(x)g2(x), ahol k, n egész számok esetén Tn(x),Un(x),Wn(x) valamilyen k-ad fokú

polinomok.

(T0(x)=1,T1(x)=x2,T2(x)=x(3x3-2),U-1(x)=0,U0(x)=x,U1(x)=3x3-1,U2(x)=9x5-6x2,W-2(x)=0,W-1(x)=1,W0(x)=3x2,W1(x)=9x4-3x),

Bizonyítsuk be, hogy érvényesek a követekező azonosságok:

a3(x)=3x2a2(x)-3xa(x)+1,

a(x)-b2(x)=3xg(x),

a2(x)-b(x)=3xg(x)a(x),

a3(x)-1=3xg(x)a2(x),

1-b3(x)=3xg(x)b(x),

és legfőképpen

Tn3(x)+(x3-1)Un-13(x)+(x3-1)2Wn-23(x)-3(x3-1)Tn(x)Un-1(x)Wn-2(x)=1

Minden n egész számra teljesülnek a következő rekurziók is:

Tn(x)=3x2Tn-1(x)-3xTn-2(x)+Tn-3(x),

Un(x)=3x2Un-1(x)-3xUn-2(x)+Un-3(x),

Wn(x)=3x2Wn-1(x)-3xWn-2(x)+Wn-3(x).

És még egy összefüggés:

3ˇT-n(x)-3ˇTn(x)ˇan(x)=bn(x)-a2n(x).

Van-e remény arra, hogy explicite meghatározható legyen a(x), b(x) és g(x) segítségével Tn,Un-1 és Wn-2, valahogy hasonló módon mint a Csebisev polinomoknál?

[15] Kőrösi Ákos2012-12-23 23:55:38

Ja,tényleg,, mivel 2n+n=3n. :)

[14] HoA2012-12-23 21:35:54

Sőt, még kettőhatványnak sem kell lennie. Elárulom, hogy bármely természetes számhoz a kétszeresét hozzáadva hárommal osztható számot kapunk :-)

Előzmény: [13] Kőrösi Ákos, 2012-12-23 20:58:08
[13] Kőrösi Ákos2012-12-23 20:58:08

U.i:Vagyis a sejtés igaz,már ha Károly értelmezése helyes volt.

[12] Kőrösi Ákos2012-12-23 20:56:25

Gondolkoztam egy kicsit a témán.Rájöttem,hogy akkor osztható a két kettőhatvány összege hárommal,ha az egyik 1, a másik 2 maradékot ad 3-mal osztva. És lám,az 2n számok maradékai 3-mal rendre: 1,2,1,...! Ezt könnyű bizonyítani.Mivel ha 2n mod 3=1, akkor 2n=3x+1, vagyis 2n+1=6x+2, tehát 2n+1 mod 3=2. De ha 2n mod 3=2, akkor 2n=3x+2, vagyis: 2n+1=6x+4=6x+3+1=3(2x+1)+1,vagyis 2n+1 mod 3=1.

[11] Hajba Károly2012-12-23 17:33:10

Ha már újra feljött ez a topik, egy kicsit elgondolkoztam, hogy mit is 'fedezhetett fel' Brygike. Találtam egy egyszerű dolgot, de ezt majd ő tudja visszaigazolni, ha majd egyszer újra erre jár.

Ha a 20-tól indulva két szomszédos kettőhatványt összeadunk, akkor az 3-mal, majd 6-tal is mindig osztható lesz. Talán erre gondolt.

---

Kellemes ünnepeket és mindig békés hangulatot kívánok mindenkinek.

[10] Kőrösi Ákos2012-12-23 11:28:54

Ha ezt a kérdést a természetes számok halmazán nézzük,akkor nincs ilyen hatvány. Mert van ugyebár minden 1<n számnak kanonikus alakja/prímfelbontása, ahogy tetszik. Egy a szám akkor osztható egy b számmal,ha b minden prímtényezője megvan a felbontásában, mégpedig kisebb vagy egyenlő kitevőn. De a 2n alakú számok felbontásában csak a 2 szerepel, a 3 nem.Ezért egyik természetes kitevőjű kettőhatvány sem osztható 3-mal.

[9] SmallPotato2012-04-20 01:52:19

Hacsak nem pl. a 2(log23).

Előzmény: [8] HoA, 2012-04-19 21:32:23
[8] HoA2012-04-19 21:32:23

Nem értehető, de még mielőtt itt szerte szaladnánk száz irányba, hogy mire gondolhattál, mondj egy példát erre:

"vannak a kettő hatványai, kíváncsi voltam, hogy lesz-e 3-mal osztható szám közötte, és igen lett."

Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49
[7] Gézoo2012-04-19 20:16:19

Ezt úgy értetted, hogy a kettő hatványainak az összegei között?

Nyilván van sok 3-al osztható, miután a kettő hatványainak összegeivel képezzük a kettes számrendszerbeli számokat.

Így elvben az összes olyan szám előállítható a kettes hatványainak összegeiből ami a tízes számrendszerben szerepel.

Ha pedig mégis csak úgy értetted volna mint ahogyan a többiek, akkor meg nem értelek. az egyet leszámítva az összes hatvány csak kettővel és a hatványaival osztható maradék nélkül, így hárommal maradék nélkül osztható nem lehetne köztük.

Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49
[6] logarlécész2012-04-19 20:06:50

A lónak is négy lába van..., nekünk csak kettő.

[5] lorantfy2012-04-19 17:01:23

Hát Brygike, ez a felfedezés, mint ahogy királyunk is mondja, nem igaz. Hárommal csak azok a számok oszthatók, melyek prímtényezős felbontásában szerepel a 3.

Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49
[4] R.R King2012-04-18 16:33:39

Üdv. A 2 hatványai között nem fogsz találni 3-mal oszthatót. A többit meg nem igazán értem...

Előzmény: [3] Brygike, 2012-04-18 16:28:49
[3] Brygike2012-04-18 16:28:49

Az a történet, hogy vannak a kettő hatványai, kíváncsi voltam, hogy lesz-e 3-mal osztható szám közötte, és igen lett. És egy pár szám után a számok számjegyeinek az összege ugye "mind" szotható 3-mal és a véglege összegük 6 és 3 felváltva. Remélem érthető!

Előzmény: [2] lorantfy, 2012-04-15 09:44:43
[2] lorantfy2012-04-15 09:44:43

Szinte biztos, hogy rájött már valaki. De ha beírod, akkor az ide látogatók segíteni fognak a kérdés eldöntésében. Ha véletlenül tényleg valami új dologra jöttél rá, akkor nem vesszük el tőled az elsőséget, te leszel a felfedező.

Előzmény: [1] Brygike, 2012-04-14 23:29:12
[1] Brygike2012-04-14 23:29:12

Egy érdekes dologra jöttem rá, egy egyszerű számítás után, és nem tudom, hogy erre már rá jött-e valaki? Honnan tudom ezt meg? Valaki tud segíteni? Nem bonyolult, egy egyszerű számsor szerűség(nem tudom, hogy nevezzem)

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap