Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[708] Róbert Gida2012-04-11 17:11:59

(lejárt) A557.

Solution. Define a1=3,an+1=(an2+1)/2. Paint the numbers in the interval Ai=[ai,ai+1) in the color i mod 3. The number 1 painted in color 2, number 2 - as you like. Now consider any x,y,z(x<y) such that x+y=z2 and z lies in Ai. Then it is easy to see that y is either Ai+1, or Ai+2, ie, y and z have different colors. Equality 1+3=22 is also not suitable.

A megoldás az internetről jön. Oroszból lefordítva a google translate segítségével (tex-be áttéve és a mat.jeleket újra beírva). 5 perc alatt találtam meg, google és google translate kellett hozzá. Kezdő internetezőnek talán érdekes lehet, hogy nulla orosz tudással egy orosz lapon levő zip-elt file-ban levő orosz nyelvű feladatot és megoldást miért is lehet egyáltalán megtalálni. Kömal kiírásból: "Többször előfordult már, hogy egy-egy feladat szerepelt valamely példatárban, vagy megtalálták az interneten...Célunk továbbra is versenyzőink problémamegoldó képességének feljesztése, nem pedig a keresőprogramok tesztelése", de itt nem pusztán kereső kellett hozzá. És ez nem az első Kolmogorov kupás feladat volt az A jelűek között, talán érdemes lenne kitűzés előtt az interneten rákeresni, hogy a megoldás fent van-e. Megjegyzem nem minden megoldást tettek fel a Kolmogorov kupáról, de például az A545 és az A539 Kolmogorov kupás feladatok megoldásai ugyanitt megtalálhatóak. 15 ingyen pont kicsit sok az A pontversenyben 1 tanév alatt, nem?

[707] m2mm2012-04-11 13:47:52

A. 558. feladatot valaki megoldotta a fórumosok közül? Érdekelne a megoldása.

[706] nadorp2012-03-14 00:45:26

2. megoldás az A556 feladatra:

Legyen f(t)=\sum_{i=1}^n|\sin(t-a_i)|. Ha n=1, akkor t=a1 választással a feladat állítása nyilván teljesül, ezért a továbbiakban feltesszük, hogy n\geq2.

Mivel az f(t) függvény \pi-szerint periodikus, ezért az állítást elegendő abban az esetben bizonyítani, amikor

0\leqt<\pi és 0\leqai<\pi ( 1\leqi\leqn), sőt az általánosság megsértése nélkül az is feltehető, hogy

(1)0\leqt<\pi , 0\leqa1\leqa2\leq...\leqan<\pi

. Ekkor

(2)|\sin(t-a_i)|=\left\{\matrix{\sin(t-a_i)&ha&t>a_i\cr \sin(t-a_i+\pi)&ha&t\leq a_i}\right.

Szükségünk lesz még a következő azonosságra

(3)\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n=\ctg\frac\pi{2n}

Valóban

\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2\sin\frac{k\pi}n\sin\frac\pi{2n}}{2\sin\frac\pi{2n}}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\cos(k-\frac12)\frac\pi{n}-\cos(k+\frac12)\frac\pi{n}}{2\sin\frac\pi{2n}}=\frac{\cos\frac\pi{2n}-\cos(n-\frac12)\frac\pi{n}}{2\sin\frac\pi{2n}}=\ctg\frac\pi{2n}

Rátérve a feladat bizonyítására, azt fogjuk belátni, hogy az (1) feltételek mellett \frac1n\sum_{i=1}^nf(a_i)\leq\ctg\frac\pi{2n}. Ebből már következik a feladat állítása, hiszen ha f(a_k)=\min_{1\leq 
 i\leq n}f(a_i), akkor f(a_k)\leq\ctg\frac\pi{2n} is teljesül.

\sum_{i=1}^nf(a_i)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|\sin(a_i-a_j)|=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i-j\equiv k~mod(n)}|\sin(a_i-a_j)|

Itt felhasználva (2)-t és hogy a sinus függvény a [0,\pi] intervallumon konkáv

\sum_{i-j\equiv k~mod(n)}|\sin(a_i-a_j)|=\sin(a_1-a_{n-k+1}+\pi)+...+\sin(a_k-a_n+\pi)+\sin(a_{k+1}-a_1)+...+\sin(a_n-a_{n-k})\leq

\leq n\sin\frac{(a_1-a_{n-k+1}+\pi)+...+(a_k-a_n+\pi)+(a_{k+1}-a_1)+...+(a_n-a_{n-k})}n=n\sin\frac{k\pi}n

tehát (3) alapján

\sum_{i=1}^nf(a_i)\leq\sum_{k=1}^{n-1}n\sin\frac{k\pi}n=n\ctg\frac\pi{2n}

Megjegyzés: Az f(t) függvény minimumára adott felső becslés általában már nem javítható, ugyanis a_k=\frac{(k-1)\pi}n (1\leqk\leqn) esetén f(t)\geq\ctg\frac\pi{2n} teljesül és egyenlőség t=ak+m\pi ( m egész) esetén van

[705] jenei.attila2012-03-13 09:14:30

Szép feladat volt ez, és nagyon szép megoldásokat adtatok rá. Különösen az első tetszett, de Fálasz Mihályé is igen elegáns. A harmadik a vektorok használatának erejét mutatja, az is nagyon ügyes. Grat mindkettőtöknek.

Előzmény: [702] HoA, 2012-03-09 10:49:57
[704] HoA2012-03-09 14:43:39

A szemléletes megoldások után jöjjön egy mechanikus, vektoralgebrai. Jelöljük a \vec V vektor 90 fokos pozitív elforgatottját \vec {V_n} -nel, \vec V és \vec {V_n} összegét \vec {V_d} -vel . \vec {V_d} a \vec V -vel 45 fokos szöget bezáró, \sqrt 2 |\vec V | hosszúságú vektor. Könnyen belátható, hogy tetszőleges \vec U és \vec V vektorokra ( \vec U + \vec V)_n =  \vec {U_n}  + \vec {V_n}

Legyen  \vec{CA} =  \vec a ,  \vec{CB} =  \vec b . Ekkor  \vec {NL} = 1/2  \vec a ,  \vec {NM} = 1/2  \vec {( a - b )} ,  \vec {LO} = 1/2  \vec {( a - b )_n}  ,  \vec {NO} = 1/2  ( \vec a +   \vec {( a - b )_n } ) . Hasonlóan  \vec {MO} = 1/2  ( \vec b +   \vec {( a - b )_n } )

 \vec {NO} = 1/2  (\vec a + \vec a_n - \vec b_n ) = 1/2  (\vec {a_d} - \vec {b_n} ) . Mivel  \vec {a_d} és  \vec {b_n} adott hosszúságú vektorok, különbségük abszolút értéke akkor lesz a legnagyobb, ha egy egyenesbe esnek és ellentétes irányúak.  \vec {a_d}  \vec a - hoz képest 45 fokra áll, tehát  \vec {b_n} 225 fokra és így  \vec b 135 fokra. Hasonlóan adódik, hogy  \vec {MO} is akkor a leghosszabb, ha  \vec a és  \vec b 135 fokos szöget zár be.

Előzmény: [703] Fálesz Mihály, 2012-03-09 13:37:29
[703] Fálesz Mihály2012-03-09 13:37:29

B. 4408. Az ABC háromszögben AC és BC oldalak hossza rögzített, a C-nél levő szög pedig változik. Az AC oldal felezőpontja M, a BC oldal felezőpontja N, az AB oldalra kifelé állított négyzet középpontja pedig O. Hogyan kell az ACB szöget megválasztani ahhoz, hogy az OM és ON távolságok összege a lehető legnagyobb legyen?

Megoldás. Legyen az AB oldal felezőpontja K, ekkor persze CMKN paralelogramma, és megjelölt szögek egyállású szögek. Az AOK és BOK háromszögek egyenlő szárú derékszögű háromszögek.

Írjuk fel a Ptolemaiosz-tétel egyenlőtlenség alakját az OAMK négyszögre: OM.AK\leOA.MK+OK.AM; ebből


OM \le \frac{OA}{AK} \cdot MK + \frac{OK}{AK} \cdot AM
= \sqrt2 \cdot \frac{BC}2 + 1 \cdot \frac{AC}2
= \frac{\sqrt2}2 BC + \frac12 AC. (1)

Egyenlőség akkor van, ha OAMK húrnégyszög. Mivel AOK\angle=45o, ez ekvivalens azzal, ha KMA\angle=135o, azaz BCA\angle=135o.

Ha a Ptolemaiosz-tételt az OBNK négyszögre írjuk fel, akkor azt kaphatjuk, hogy


ON \le \frac{\sqrt2}2 AC + \frac12 BC, (2)

és egyenlőség most is akkor van, ha BCA\angle=135o.

Az (1) és (2) becslések összeadásával


OM+ON \le \frac{1+\sqrt2}2(AC+BC).

Az OM és ON összege tehát legfeljebb \frac{1+\sqrt2}2(AC+BC), és ez az érték akkor áll elő, ha BCA\angle=135o.

Előzmény: [702] HoA, 2012-03-09 10:49:57
[702] HoA2012-03-09 10:49:57

B. 4408. Az ABC háromszögben AC és BC oldalak hossza rögzített, a C-nél levő szög pedig változik. Az AC oldal felezőpontja M, a BC oldal felezőpontja N, az AB oldalra kifelé állított négyzet középpontja pedig O. Hogyan kell az ACB szöget megválasztani ahhoz, hogy az OM és ON távolságok összege a lehető legnagyobb legyen?

Az 1. ábrán MNPQ és ABRS négyzetek, L az AB oldal felezőpontja. \vec{OM} = \vec{OL} + \vec{LM} =  \vec{PN} + \vec{NC} = 1/2 ( \vec{RB} + \vec{BC}) = 1/2 \vec{RC} és hasonlóan \vec{ON} = 1/2 \vec{SC} Így feladatunkkal egyenértékú, ha az RC és SC távolságok összegének maximumát keressük, ahol ABRS az AB oldalra kifelé állított négyzet.

Rögzítsük a háromszög AC oldalát. ( 2. ábra ) Ekkor B a C körüli r1=a sugarú k1köríven mozoghat, 90 fokos C-nél levő szöghöz tartozó helyzete legyen B0 , egy másik helyzete B1 . Legyen ACGH az AC egyenes B0 -t tartalmazó olalán állított négyzet. S-et úgy kapjuk, hogy B-t A körül óramutató járás irányában ( negatív irány ) 90 fokkal elfordítjuk, S rajta van a H középpontú a sugarú k2 körön, B0-nak ill. B1 -nek megfelelő helyzete S0 ill. S1 . R-et B-nek A körüli 45 fokos \sqrt 2 nagyítású nyújtva forgatásával kapjuk, R rajta van a G középpontú \sqrt{2}a sugarú k3 körön, B0-nak ill. B1 -nek megfelelő helyzete R0 ill. R1 . RC akkor a leghosszabb, ha R k3 és a CG egyenes R* metszéspontjába kerül. Ekkor R0GR* szög 45 fokos, ez B-nek arra a B* helyzetére fordul elő, ha a B0CB* szög 45 fokos, vagyis az ACB szög 135 fokos. Hasonlóan SC akkor a leghosszabb, ha S k2 és a CH egyenes S* metszéspontjába kerül. Ekkor S0HS* szög 45 fokos, tehát SC is akkor a leghosszabb, ha B B* -ban van. Ezért az RC és SC távolságok összegének maximuma az ACB szög 135 fokos értékénél adódik. Ez a maximális távolságösszeg az ábrából leolvashatóan l_{max} = a + \sqrt 2 b  + \sqrt 2 a + b= ( a + b ) ( 1 + \sqrt 2 ) . Eredeti feladatunk maximális távolságösszege ennek a fele.

Előzmény: [701] elrond16, 2012-02-27 16:33:37
[701] elrond162012-02-27 16:33:37

Sziasztok!

Engem nagyon erdekelne a B.4408-as feladat megoldasa. Ha esetleg valaki beirna, vagy elkuldene nekem a megoldasat nagyon orulnek! Koszi

[700] Róbert Gida2012-02-15 01:12:29

Ok, így már értelek. Amúgy lényegében ugyanez az én bizonyításom is, csak kissé hosszabban elmondva.

Előzmény: [699] Fálesz Mihály, 2012-02-14 23:31:01
[699] Fálesz Mihály2012-02-14 23:31:01

Az A.545. megoldása két becslésből áll:

 \frac{a^2-b^2}2 \le [a+b,a-b] \le b^2-1.

Mindkét egyenlőtlenség onnan jött, hogy a kisebbik szám osztója a nagyobbiknak. Ha valamelyik esetben nincs egyenlőség, akkor az arány legalább 2, és az is igaz, hogy a2-b2\leb2-1.

Előzmény: [697] Róbert Gida, 2012-02-14 17:46:12
[698] Róbert Gida2012-02-14 18:51:01

Javítás: (a+b,a-b)=e.

Előzmény: [697] Róbert Gida, 2012-02-14 17:46:12
[697] Róbert Gida2012-02-14 17:46:12

Hát nem látható. Két feladatot összetéve: b\sqrt 3 -1<a<b\sqrt 3, illetve még azt is bizonyította, hogy a2\le3b2-2, de még ezekből sem következik, hogy a2=3b2-2 lehet csak.

De valóban kijön egy kis munkával: A545. megoldásából: b2-1 többese [a+b,a-b]-nek, így alkalmas pozitív g egésszel: b2-1=g*[a+b,a-b], továbbá (a+b,a-b)=2 miatt az is igaz, hogy [a+b,a-b]=\frac {a^2-b^2}{e}. Azaz a kettő egyenletből: \frac{b^2-1}{g}=\frac{a^2-b^2}{e}. Itt e=1,2 lehet csupán A545 szerint.

e=1 esetén kapjuk: b2-1=g(a2-b2), ebből: a^2=\frac {g+1}{g}b^2-\frac {1}{g}<2b^2, amiből: a<b\sqrt 2, ami ellentmondás lesz a>b\sqrt 3-1-gyel, ha b>3.

e=2-nél hasonlóan, 2(b2-1)=g(a2-b2), amiből: a^2=\frac {g+2}{g}-\frac {2}{g}<2b^2, ha g>1, ami megint ellentmondás. Ha g=1, akkor meg 2(b2-1)=a2-b2, azaz a2-3b2=-2, és pont ezt kellett bizonyítani. (A551 miatt ez mindig megoldás).

A végtelen leszállást meg úgy értettem, hogy a feladatot végtelen leszállással bizonyítsuk be, hogy még az is kijöjjön, hogy nincs más megoldás.

Előzmény: [696] Fálesz Mihály, 2012-02-14 09:21:43
[696] Fálesz Mihály2012-02-14 09:21:43

Azok az (a,b) párok jók, amikre b=1, vagy a2-3b2=-2. Ez az egyik irányban leolvasható az A. 545. megoldásából, a másik irányban az A. 551. megoldásából.

A végtelen leszállás a szokásos módon működik, az a'+b'\sqrt3 = (a+b\sqrt3)(2-\sqrt3), azaz a'=2a-3b, b'=2b-a képletekkel.

Előzmény: [695] Róbert Gida, 2012-02-14 01:48:18
[695] Róbert Gida2012-02-14 01:48:18

Azt senki nem gondolta végig, hogy a megadottakon kívül miért nincs más megoldás? Egy lehetséges út lenne végtelen leszállást alkalmazni, voltak hasonló olimpiai példák is. Itt nem látom, hogy lehetne ilyet csinálni, ráadásul itt két oszthatósági feltétel is van.

Előzmény: [694] Róbert Gida, 2012-02-11 12:48:17
[694] Róbert Gida2012-02-11 12:48:17

Lejárt A551. megoldása:

Az ezer alatti megoldások géppel könnyen megkaphatóak, ezek: (5,3),(19,11),(71,41),(265,153),(989,571). Tehát az "a", illetve "b" sorozat: 5,19,71,265,989 és 3,11,41,153,571 Ezek a sorozatok Neil Sloane adatbázisában benne vannak (előkelő helyen): A001834 és A001835. Én legalábbis nem lepődök meg, hogy a Pell egyenletekhez van közük a sorozatoknak, de az ismert tételeket a Pellből nem fogom használni.

(a*b+1)/(a+b) és (a*b-1)/(a-b) (egész elemű) sorozatra is érdemes rákeresni, ez valójában egy sorozat: A001075. Az explicit képleteket is megadja Neil, ezeket használom:

f(n) = ((1+\sqrt{3})^{2n-1}+(1-\sqrt{3})^{2n-1})/2^n

g(n) = ((3+\sqrt{3})^{2n-1}+(3-\sqrt{3})^{2n-1})/6^n

h(n) = ((2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n)/2

Pell helyett: megfelelő lineáris rekurziót teljesítik a sorozatok (kezdőtagok is jók), így a sorozat tagjai egész számok (ez karakterisztikus polinomokkal is kijön). Legyen a=f(n) és b=g(n). Ekkor bizonyítható a képlettel, hogy a2-3*b2=-2, ebből pedig a>b\sqrt{3}-1.

a*b+1=(a+b)*h(n-1)

a*b-1=(a-b)*h(n)

is teljesül, ezeket is az explicit képlettel láthatjuk be, ehhez célszerű minden tagot s*tn alakban felírni. Ami kellett (az (f(n),g(n)) számpárok különbözőek, így ez végtelen sok megoldást ad).

[693] m2mm2012-01-18 22:18:11

A.549. (Többször elég vázlatos lesz)

Lemma: UVW háromszög VW oldal belső P pontjára tekintsük UVP és UPW háromszögek O1, O2 középpontú beírt köreit, e két kör közös belső érintője nyilván UP. Ekkor a másik közös belső érintő VW oldalt a beírt kör E érintési pontjában metszi(ha a két kör érinti egymást, akkor a két belső érintő egybeesik, ezesetben ez megy át a kérdéses ponton).

Ez könnyen bizonyítható csupán az érintőszakaszok felírásával, ezt most nem részletezem.

Innen az érintő egyenesek miatt adódik egyszerűen, hogy O1PO2\angle=90°=O1EO2\angle, azaz O1O2PE húrnégyszög.

Mivel ABCD érintőnégyszög, ezért ABC és CDA beírt körei AC-t egy pontban érintik (\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{AD+AC-DC}{2}, mivel AB+DC=AD+CB), mondjuk F-ben.

Legyen ABE, BCE, CDE, DAE háromszögek beírt köreinek középpontja rendre O1,O2,O3,O4. Előbbiekből jön, hogy O1O2EF és O3O4EF húrnégyszögek.

Van az az eset, amikor E,F egybeesik, de ekkor kisakkozható, hogy ABC és CDA beírt körei érintik egymást, azaz ami a lényeg és megjegyezzük, hogy O1O2E és O3O4E körök hatványvonala AC.

Monge szerint(három hasonlósági pont tétele...) ABD és BCD háromszögek beírt köreinek külső hasonlósági K pontja AC-re illeszkedik, ha a harmadik körnek ABCD beírt körét vesszük.(két külső hasonlósági pont a háromból A és C...) ABD beírt körének középpontja nyilván BO1-en rajta van(belső szögfelezője ABD-nek...) és hasonlóan BDC beírt körének középpontja BO2-n. Mivel a belső hasonlósági pont közös belső érintőn van, továbbá két kör kp-ja és hasonlósági pontjai harmonikus pontnégyes + van egy Papposz-Steinerünk, ezért BO1,BE,BO2 egyeneseket tekintve BE harmonikus társa BK.

De ABE és BEC beírt köreinek középpontja és hasonlósági pontjai is harmonikust hat. meg, így e két kör R külső hasonlósági pontjára BR BE-nek harmonikus társa BO1,BO2,BE tekintetében. Mivel R és K nyilván AC-n van, így ebből az adódik, hogy R=K.

Ezt eljátszva O3,O4-re az adódik, hogy O1O2 és O3O4 R-ben metszik egymást, ergo AC-n. Mivel AC hatványvonala volt két körünknek anno, így innen triviális a húrnégyszögség.

[692] Róbert Gida2012-01-12 16:33:32

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=A550&l=hu azt hiszem az én megoldásom az egyszerűbb. A hivatalos megoldást végigszámolva a kínai 5093338546785390*k+1400926917841815 sorozatot nézi, míg én a 38*k+21 számtani sorozatot.

Előzmény: [691] Róbert Gida, 2012-01-11 14:15:23
[691] Róbert Gida2012-01-11 14:15:23

Lejárt A550. megoldása: Teljesen trivi becsléssel nem jön ki: nézzük meg hány szám áll elő n-ig! n-ig van legfeljebb (1+\epsilon)\frac {n}{\log n} prím és \frac {\log n}{\log {(phi)}}+c Fibonacci szám, ahol phi=\frac {1+\sqrt 5}{2}. Így n-ig van kb. \frac {n}{\log (phi)}=2.078n darab nem feltétlenül különböző előállítás (ez azért igaz, mert ugyan a prímek viszonylag sűrűn vannak, de a Fibonacci számok már ritkán.) Itt \epsilon>0 tetszőlegesen kicsinek választható, ha n nagy, illetve c (korlátos) konstans. Ez a becslés viszont már mutatja, hogy az állítás valószínűleg hamis lesz.

Amiben reménykedhetünk, hogy egy adott maradékosztálynál már kevés előállítás van. Itt a sűrűséget ki tudjuk számolni: Fibonacci számok m-mel vett osztási maradéka periodikus, a prímeké ugyan nem, de ott van a számtani sorozatok prímszámtétele (nagyágyú): ha gcd(r,m)=1, akkor a prímek \frac {1}{\varphi (m)}-ed részére p\equivr mod m. Ha r és m nem relatív prím, akkor legfeljebb egy ilyen prím van.

Géppel: m=34;r=17 a legkisebb jó választás! Nézzünk egy másikat amit bizonyítok: m=38;r=21, ekkor a Fibonacci számok periodikusak mod 38, és a periódus 18. Tekintsük a fibonacci(i)+p=38k+21\len megoldásszámát, ahol p prím. i mod 18 szerint nézzük az egyenletet. Ekkor az i választható \frac {\log n}{18\log (phi)}+c-nek, ha i mod 18 rögzített, akkor p\equiv21-fibonacci(i) mod 38. Számtani sorozatokra vonatkozó prímszámtételből tudjuk, hogy hány ilyen prím van n-ig.

Kapjuk a megoldásszámra (felső) becslést: \sum _{i=0}^{17} (\frac {\log n}{18\log (phi)}+c)*#(p: p\le n; p\equiv 21-fibonacci(i) mod 38)< (\frac {\log n}{18\log (phi)}+c)*\{i:i=0..17;gcd(38,21-fibonacci(i))=1\}*(1+\epsilon)*\frac {n}{\varphi(38)\log n}= (\frac {\log n}{18\log (phi)}+c)*4*(1+\epsilon)*\frac {n}{\varphi(38)\log n}<
0.0257n<\frac {n}{38}, ami kellett. (Többit az olvasóra bízom. Ezt még ki kéne rendesen epszilonozni , illetve még belevenni azon maradékosztályokat, ahol legfeljebb egy prím van, de ez már nem változtat sokat az előállítások számán.)

[690] m2mm2011-12-03 13:41:44

B. 4380. m=0 esetén n függvényében legfeljebb mennyi lehet az egyenlő hosszú szakaszok száma?

[689] Róbert Gida2011-11-15 20:16:18

Igen, de az nem derül ki belőle, hogy ez a hamis érme megnevezésére is vonatkozik-e. Egy nem ortdox érempakolással akár egy méréssel is az összes hamis érmét megtalálhatjuk.

Előzmény: [688] Fálesz Mihály, 2011-11-15 18:56:54
[688] Fálesz Mihály2011-11-15 18:56:54

A megoldás(vázlat) szövegében ez áll:

"... a véletlen választásokat tartalmazó eljárások esetén minden véletlen döntésnél előre előírhatjuk az adott választást."

Előzmény: [687] Róbert Gida, 2011-11-15 16:49:29
[687] Róbert Gida2011-11-15 16:49:29

Lejárt októberi A542. hivatalos megoldásához: a hamis érem megnevezésének is determinisztikusnak kell lennie, mert előfordulhat, hogy egyszerre több hamis érmét is találunk. Továbbá a kiegészítések igenekkel elhagyhatóak, elég annyi, hogy a játékfának max. 512 levele lesz a legfeljebb 9 kérdés után.

[686] Róbert Gida2011-10-11 18:04:48

A539. Tegyük fel, hogy p páratlan prím megoldás. Ekkor minden q prímre, amire q\le \frac {p-1}{2} teljesül, hogy q|(p-1). Különben 1+k(p-1) (k=1,...,q)-re teljes maradékrendszert alkot modulo q, így van közte q-val osztható, ami csak úgy lehet prím, ha q-val egyenlő, de már a sorozat első tagja nagyobb, mint q, ellentmondás.

Ebből azt kapjuk, hogy \frac {p-1}{2}-ig terjedő prímek szorzatával is osztható p-1. Ez üvöltő ellentmondás lesz, mert nagy p-re ez nagyságrendileg exp(\frac p2).

Tudjuk, hogy \frac {p-1}{4} és \frac {p-1}{2} közt van prím, ha p\ge5 (Csebisev). Legyen egy ilyen r. De 5|(p-1) is igaz, ha 5\le \frac {p-1}{2}, azaz p\ge11. Itt 5<r teljesül, ha 5<\frac {p-1}{4}\le r, azaz, ha p>21. A feltételeket összerakva kapjuk, hogy 5r|(p-1), ha p>21, hiszen 5 és r relatív prímek. Ez ellentmondás, mert különben (p-1)\ge 5r\ge 5\frac {p-1}{4} .Azaz csak a 22-nél kisebb prímeket kell ellenőrizni. Kapjuk, hogy p=3 és p=7 a megoldás.

[685] sakkmath2011-09-17 16:00:56

Igen, ez rövidebb, szebb megoldás.

Van itt még valami: egy lehetséges harmadik, az eddigieknél bonyolultabbnak tűnő megoldás.

Egy speciális szereposztással ugyanis a feladat geometriai útra terelhető. Elindultam ezen az úton is, de – már a vége felé, egyszerűsítési problémák miatt – elakadtam.

Megoldotta-e valaki A.536-ot ilyen geometriai módszerrel? Az a gyanúm, hogy a feladat szerzője ebből a geometriai elrendezésből indulhatott ki eredetileg.

Előzmény: [657] Tibixe, 2011-07-01 14:05:57
[684] HoA2011-09-06 22:46:51

Ami miatt kíváncsi voltam a lapban megjelent megoldásra, az egy másik megoldási irány, amerre a feladattal foglalkozva elindultam. Egy előrevetett észrevétel: A [ 683 ] –beli ábrát kiegészítve a BC ill. AD oldalakat G-ben ill. H-ban érintő k2 körrel , erről ugyanúgy belátható, hogy érinti k-t. Legyen az érintési pont U. BC és DA egyenesek metszéspontját V-vel jelölve, k1ésk2 külső hasonlósági pontja V, k és k1 köröké T, k és k2 köröké U. Így T, U és V , mint három kör páronként vett külső hasonlósági pontjai, egy egyenesen vannak. ADUT húrnégyszög, FHUT négyszög F-nél lévő külső szöge = DFL \angle = EPI \angle = TPQ \angle = TUQ \angle = TUH \angle , FHUT is húrnégyszög.

VA.VD=VF.VH(1)

A feladat ábráját nézve úgy tűnik, hogy k1 ( és k2 ) merőlegesen metszi a kP és kQ köröket. Hogy lehetne ezt a feladat állításának bizonyítására felhasználni? Ha még azt is észrevesszük, hogy A-ban a kQ kör ugyanakkora szöget zár be az AD egyenessel, mint k-val ( ujjgyakorlat ) , akkor k és k1 érintkezése az alábbi segédtételből következne: Legyen i1 , i2 és i3 három, az X és Y pontokon átmenő körív ( melyek közül az egyik lehet egyenes is ) , k pedig egy i2 –t metsző kör. Az alábbi négy feltétel közül bármelyik 3 teljesülése maga után vonja a negyediket:

-i2 egyenlő szögben metszi i1 –et és i3-at

-k érinti i1 –et

-k érinti i3 –at

-k merőlegesen metszi i2-t

A bizonyítás egy Y középpontú inverzió után egyszerű: Két X-en áthaladó egyenesről ( szögszárak ) , a szögfelezőjükről és a szögfelezőt merőlegesen metsző, a szárakat érintő körröl kell az állítást belátni.

Ezzel feladatunkat visszavezettük arra, hogy k1 és kQ merőlegességét kell bizonyítani. Tekintsük a kP és kQ által meghatározott S körsort. Ennek centrálisa a PQ egyenes, hatványvonala az erre merőleges, V-n áthaladó f egyenes, vagyis AVB szög felezője, hiszen V-nek kP -re és kQ –ra vonatkozó hatványa egyenlő. Ha k1 –ről belátjuk, hogy a körsor két elemét merőlegesen metszi, akkor mindet, így kQ –t is merőlegesen metszi. A hatványvonalat k1 merőlegesen metszi, hiszen az AVB szög szárait érinti. Ugyancsak merőlegesen metszi az FH átmérőjű, L középpontú kL kört, melynek L középpontja rajta van PQ-n. Most már csak azt kéne igazolni, hogy kL az S körsor eleme. Ehhez használjuk fel (1) -et.

Ha tehát (1) –et igazolni tudjuk a feladat fenti megoldásai nélkül, akkor (1) felhasználásával a megoldás lépései:

-S a kP és kQ által meghatározott körsor

-S hatványvonala f átmegy V-n

-(1) miatt kL az S körsor eleme

-k1 merőlegesen metszi f-et és kL –t , ezért S többi elemét , így kQ –t is

-a segédtétel miatt k1 érinti k-t.

Tudná-e valaki bizonyítani (1) –et anélkül, hogy k és k1 érintkezését felhasználná?

Előzmény: [683] HoA, 2011-09-06 22:30:04

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]