Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[839] n2013-10-13 17:49:17

Azért az A595-höz a kétnégyzetszámos bizonyítás se' annyira ötlet, mert kb. rögtön kipotyog belőle a megoldás...

Előzmény: [838] w, 2013-10-13 15:18:16
[838] w2013-10-13 15:18:16

A.593 megoldása

A.595 megoldási ötlet

[837] w2013-10-11 10:48:27

Igen. (Pontosítás: k+1 pont határoz meg egy k fokszámú polinomot.)

Nyilván az volt a háttérbeli cél, hogy belássuk, hogyha érvényes a megadott feltétel, akkor a két polinom csak egymás eltoltja lehet. A következő kérdésem tehát az volna, hogyha deg(P)=deg(Q)=n, a feltétel marad, és P(x)\equivQ(x+k) (k>0), akkor mekkora lehet k?

Előzmény: [836] Sinobi, 2013-10-11 10:41:18
[836] Sinobi2013-10-11 10:41:18

Nem léteznek. Egy idő után mind a kettő monoton lesz (legyen monoton növő), és nagyobb az addigi felvett értékeknél.

Ebből következik, hogy egy idő után ha p(x)=q(z), akkor p(x+n)=q(z+n), minden természetes n-re. Legyen p és q közül a nagyobb fokszma k. Mivel k pontra egyértelműen illeszthető k (vagy annál kisebb, ha létezik) fokszámú polinom, véve az (x,p(x)), (x+1,p(x+1)),...(x+k,p(x+k)) és (z,q(z)), (z+1,q(z+1)),...(z+k,q(z+k)) pontokat, ezek egyértelműen meghatározzák p-t, és q-t is, és ezek a pontok egymásba eltolhatóak, tehát p és q is egymásba eltolható, tehát ugyanannyi a fokszámuk, ha léteznek.

Előzmény: [835] w, 2013-10-11 10:25:59
[835] w2013-10-11 10:25:59

B.4561-hez egy nehéz, de nagyon érdekes csatlakozó kérdés:

Léteznek-e olyan különböző fokszámú P és Q polinomok, melyeknek természetes számokon vett értékkészleteik megegyeznek?

[834] w2013-07-07 08:32:26

Melyik a könnyebb: B.4149 vagy B.4536? Érdekes, hogy az ilyen ismétlődő feladatokat akkor találjuk meg, mikor legkevésbé keressük őket :-) A megfogalmazást, a hiv. megoldás hosszát és a statisztikát is érdemes megfigyelni.

[833] w2013-07-02 07:33:27

Én is pont úgy oldottam meg, 0\lex,y\le1 és \sqrt{1-x^2} miatt ez a természetes :-)

Előzmény: [832] rizsesz, 2013-06-28 14:51:26
[832] rizsesz2013-06-28 14:51:26

A C.1168-ba olyan szepen bele lehet irni a=sinx-et es b=siny-t. Elnezest, konnyed, valoszinuleg mindenki szamara trivialis gondolat :-)

[831] w2013-06-21 19:32:38

B.4540 általánosabban. Adott n db matematikus rab egy börtönben. Játék: s-féle színű sapkák vannak, minden rab kap egyet a fejére. Mindenki csak a többiek sapkáját látja. Egyszerre tippelnek saját sapkájuk színére. Határozzuk meg azt a maximális k(n,s) számot, melyre alkalmas stratégiával ennyi jó tipp mindig születhet.

[830] w2013-06-20 17:58:23

"Ha jól látom, azt nem láttad be, hogy k1 érinti k-t." - "őizé"

Bocs, nem voltam elég figyelmes, körsor, azaz "1" nálam kiesett. Így viszont már eléggé tetszik az összehozott megoldás.

Előzmény: [829] Sinobi, 2013-06-20 17:17:42
[829] Sinobi2013-06-20 17:17:42

őizé.

igen, azt hiszem ez egy egyszerűbb megoldás, hogy

1: a három kör egyszerre és egy pontban érinti egymást, mert.

2: k1 és k érintik egymást, mert Sawayama-lemma

Előzmény: [828] w, 2013-06-20 10:29:28
[828] w2013-06-20 10:29:28

"Minden illeszkedés feladat kitrigonometriázható. Ahogy kijön koordinátákkal, vektorokkal, komplex számokkal, k darab Pascal/Desargues tétel felírásával, etc."

Bocs, én úgy értettem, hogy a feladat csak trigonometriával két oldalon belül is megoldható, és egészen triviális úton. Az más kérdés, hogy te többet láttál be, a hiv. megoldás még többet, de itt szerintem a trigonometriával való megközelítés egészen természetes volt ("elég szabályos az ábra" stb.). Ismerek olyan megoldót is, aki hamar feladja a geometriai okoskodást, és 10-20 oldalas koordinátás megoldásokat küld be ehelyett! (Az igazat megvallva lusta voltam szépen megoldani :-).)

"...tehát k-t is érinti, tehát k1-et is, kész."

Ha jól látom, azt nem láttad be, hogy k1 érinti k-t. Van rá egy egyszerű bizonyítás az A.579-ből már jól ismert Sawayama-lemmával. ;-)

A megoldásod egyébként eléggé tetszik, mutatja az inverzió erejét.

Előzmény: [826] Sinobi, 2013-06-19 15:09:05
[827] Sinobi2013-06-19 15:41:08

szerk: na jó, hátha hasznos (+ valaki aki ért hozzá majd kijavít)

Tetszőleges P-re k, k1, k2 egy körsoron van, mert

Berajzoltam az egyenlő szögeket, amikből látszik, hogy

\frac{AP}{AR}=\frac{BP}{BS}=\frac{CQ}{CR}

Tudjuk, hogy az érintő hossznégyzete a pont körre vonatozó hatványával egyezik meg, ami meg ha pontot helyettesítünk a kör egyenletébe:

\frac{k2(A)}{k1(A)}=\frac{k2(B)}{k1(B)}=\frac{k2(C)}{k1(C)}=c

Felszorozva azt kapjuk, hogy a k kör A, B, C pontjára: k2(A)-ck1(A)=0=k(A), azaz k előáll a másik két kör egyenletének lineáris kombinációjaként (három pontban), k egy körsoron van velük.

Előzmény: [826] Sinobi, 2013-06-19 15:09:05
[826] Sinobi2013-06-19 15:09:05

,,Könnyű észrevenni, hogy nincs szükségünk semmilyen új körre, hisz elég szabályos az ábra, ott vannak a párhuzamosok és merőlegesek. Átírhatjuk egy trigonometriapéldára a feladatot. "

Minden illeszkedés feladat kitrigonometriázható. Ahogy kijön koordinátákkal, vektorokkal, komplex számokkal, k darab Pascal/Desargues tétel felírásával, etc.

Az enyém valamivel elemibb geometriát használ, csak sokat:

1. Először belátom, hogy k1, k2 és k egy körsoron vannak. Ezt most nem bizonyítom. Utána azt fogom belátni, hogy k2 és k (a trapéz körülírt köre) érintik egymást.

2. A Thalész-tétel értelmében ha a FAB-P és a FDC-Q egyenesek a k körön metszik egymást, akkor a PQ Thalész-köre is átmegy azon a ponton. (FAB az AB ív felezőpontja, FDC hasonlóan). Legyen FAB-P metszése k körrel T, azt akarom belátni, hogy FDC, Q és T egy egyenesen van.

3. Az ABC háromszög I beírt körének középpontja rajta a FAB kp-jú, A-n átmenő körön (ez ismert). IC Thalészkörén rajta van Q, és rajta van T is, mert egy FAB kp-jú inverzió után T képe P rajta van IC' Thalész-körén.

4. Mivel az FDC-C szakasz érinti az ITCQ kört, FDC-re vonnatkozó inverzió után a kör helyben marad, Q és T kicserélődik, tehát FDC, Q és T egy egyenesen van.

5. FAB-ra vonatkozó inverzió esetén PQT átmegy egy ponton és a képén, P-n és T-n, tehát fixkör. Az AB oldalt érintette, tehát k-t is érinti, tehát k1-et is, kész.

Előzmény: [825] w, 2013-06-19 12:36:28
[825] w2013-06-19 12:36:28

B.4551. A hiv. megoldás nem valami egyszerű, maga a feladat sokkal könnyebb. Könnyű észrevenni, hogy nincs szükségünk semmilyen új körre, hisz elég szabályos az ábra, ott vannak a párhuzamosok és merőlegesek. Átírhatjuk egy trigonometriapéldára a feladatot.

A ki kör középpontja Oi, sugara ri (i=1,2); AC\capBD=M; ABC_\Delta-ben a szokásos jelölések érvényesek. Elég megmutatni, hogy a két kör belülről érinti egymást, azaz O1O2=|r1-r2|.

Először is AP=AC-BC+BP=AC-BC+(AB-AP) \implies AP=(b+c-a)/2.

Világos, hogy r_2=\frac {m_c} 2.

Legyen M vetülete AB-re Mx, PQ-ra My. Ekkor AMx=c/2, majd MxP=AP-AMx=(b-a)/2. Nyilván My\inMO1, ahonnan

\frac {MM_y}{MR}=\cos\alpha és \frac{r_1}{MR}=\tg\alpha,

MR=\frac{MM_y}{\cos\alpha}=\frac{b-a}{2\cos\alpha},

r_1=MR\cdot\tg\alpha=\frac{(b-a)\cdot\tg\alpha}{2\cdot\cos\alpha}.

Továbbá

MMx=AMx.tg \alpha=c.tg \alpha/2, ezért

M_yO_2=MM_x-r_2=\frac{c\cdot\tg\alpha-m_c}2;

MyO1=r1.sin \alpha,

és így

O1O22=MyO12+MyO22.

Ekvivalens átalakításokkal

O1O2=|r1-r2|

O1O22=(r1-r2)2

MyO12+MyO22=r12+r22-2r1r2

r_1^2\cdot\sin^2\alpha+\left(\frac{c\cdot\tg\alpha-m_c}2\right)^2=r_1^2+\left(\frac {m_c} 2\right)^2-r_1m_c

\left(\frac{c\cdot\tg\alpha-m_c}2\right)^2=r_1^2\cdot\cos^2\alpha+\left(\frac {m_c} 2\right)^2-r_1m_c

c2tg2\alpha-2cmctg \alpha+mc2=4r12cos2\alpha+mc2-4r1mc

c^2\tg^2\alpha-2cm_c\tg\alpha=\frac{(b-a)^2\cdot\tg^2\alpha}{4\cos^2\alpha}\cdot4\cos^2\alpha-\frac{2m_c(b-a)\cdot\tg\alpha}{\cos\alpha}

c^2\tg^2\alpha-2bc\sin\alpha\tg\alpha=(b-a)^2\cdot\tg^2\alpha-\frac{2b\cdot\sin\alpha\cdot(b-a)\cdot\tg\alpha}{\cos\alpha}

c2-2bccos \alpha=(b-a)2-2b(b-a)

c2-2bccos \alpha=b2-2ab+a2-2b2+2ab

b2+c2-2bccos \alpha=a2

Azonosság.

[824] w2013-06-11 22:42:37

A hiba amúgy az utolsó egyenletben volt.

\alpha(\root3\of a^2+\root3\of a)^2+\beta(\root3\of a^2+\root3\of a)+\gamma=\root3\of a^2-\root3\of a

\alpha a\cdot \root3\of a+2\alpha a+\alpha \root3\of a^2+\beta \root3\of a^2+\beta \root3\of a+\gamma-\root3\of a^2+\root3\of a=0

(2\alpha a+\gamma)+(\alpha a+\beta+1)\root3\of a+(\alpha+\beta-1)\root3\of a^2=0

Érdemes feltennünk, mert feltehető (p\inZ[x]), hogy \alpha,\beta,\gamma egészek:

\alpha+\beta-1=0  \implies  \beta=1-\alpha

0=\alphaa+\beta+1=\alphaa+1-\alpha+1=2+\alpha(a-1)

Végül az általam leírt megoldásvázlat végére jutunk: a-1|2 és már rendben vagyunk.

Előzmény: [822] aaaa, 2013-06-11 17:59:29
[823] w2013-06-11 21:18:22

A vége kicsit hibádzott, mert a=2-re és 3-ra is található megfelelő polinom:

p2(x)=-2x2+3x+8, ahol

p2(22/3+21/3)=-2(2.21/3+22/3+4)+3(22/3+21/3)+8=-4.21/3-2.22/3-8+3.22/3+3.21/3+8=22/3-21/3, és

p3(x)=-x2+2x+6, ahol

p3(32/3+31/3)=-3.31/3-6-32/3+2.32/3+2.31/3+6=32/3-31/3.

Az én megoldásom (elvben kicsit egyszerűbb) a következő lépésekből áll (biz. be!).

1. Kizárjuk a köbszámokat, rögzítjük a-t.

2. Az A=k\root3\of{a^2}+\ell\root3\of a+m kifejezés irracionális szám, ahol k és \ell nem egyszerre nulla (illetve k,\ell,m\inZ).

(Ez lényegében a te első lemmád.)

3. Következmény: A p\big(\root3\of a^2+\root3\of a\big) kifejezés egyértelműen előáll k\root3\of a^2+\ell \root3\of a+m alakban (a 3. lemmád)

4. (Ez a legfontosabb meglátás:) Legyen rögzített a és p mellett

p\big(\root3\of a^2+\root3\of a\big)=k\root3\of a^2+\ell \root3\of a+m

alakú. Ekkor k\equiv\ell (mod (a-1)).

(Biz.: a konstans és elsőfokú polinomokra kész vagyunk, és két ilyen polinom összege vagy szorzata is ilyen.)

5. Következmény: Világos, hogyha p(a2/3+a1/3)=a2/3-a1/3, akkor 1\equiv-1 (mod (a-1)), tehát a-1|1-(-1)=2, és így csakis a=3,2,0,-1 lehet (kizártuk a köbszámok esetét) --> a=2,3.

Pontosan azokhoz az a számokhoz létezik megfelelő p polinom, melyek egész számok köbei, vagy a=2,3.

Előzmény: [822] aaaa, 2013-06-11 17:59:29
[822] aaaa2013-06-11 17:59:29

A.590.

Lemma 1.

\left( 1, t^{1 / 3}, t^{2 / 3} \right) lineárisan függetlenek Q felett, ha t racionális és nem egy racionális szám köbe. Ekkor ugyanis ez a 3 érték páronként lineárisan független, ez triviális. Tegyük fel, hogy függő rendszert alkotnak, ekkor megfelelő racionális számokra: \alpha+\betat1/3=t2/3. Ezt köbre emelve, majd az előbbi összefüggést behelyettesítve a következő adódik:

 \alpha^3 + 3 \alpha^2 \beta^2 + \beta^3 t - t^2 + 3 \alpha \beta \left(
   \alpha + \beta^2 \right) t^{1 / 3} = 0

Ez \left( 1, t^{1 / 3} \right) Q feletti lineáris függetlensége miatt csak akkor lehetséges, ha

\alpha3+3\alpha2\beta2+\beta3t-t2=0

3
   \alpha \beta \left( \alpha + \beta^2 \right) = 0

Ebből a \alpha=0, \beta=0 és \alpha=-\beta2 esetek adódnak, aminek a megoldása t-re rendre: \left( 0, \beta^3 \right), \left( - \alpha^{3 / 2}, \alpha^{3 / 2}
\right) és \left( - \beta^3, 2 \beta^3 \right). Ezek közül t=2\beta3 nem ad megoldást, mert visszavezet a -\beta2+\beta221/3=\beta222/3 egyenlőségre, ami nyilvánvalóan hamis, a többi esetben t köbszám lesz, ha racionális, de feltettük, hogy ez nem igaz. Ezzel beláttuk, hogy függetlenek.

Lemma 2.

\tau:=\alpha+\betat1/3+\gammat2/3 gyöke a következő p \left( x \right) \in {Q} \left[ x \right] polinomnak, ahol \alpha,\beta,\gamma,t racionális számok:

 p \left( x \right) = x^3 - 3 \alpha x^2 + \left( 3 \alpha^2 - 3 t \beta
   \gamma \right) x - \left( t^2 \gamma^3 + t \left( \beta^3 - 3 \alpha \beta
   \gamma \right) + \alpha^3 \right)

Ezt egy egyszerű behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.

Lemma 3.

Ha valamely f \left( x \right) \in {Q} \left[ x \right] polinomra f \left( \tau \right) = \delta, akkor \exists r \left( x \right)
\in {Q} \left[ x \right], ahol r \left( x \right) foka legfeljebb 2 és r \left( \tau \right) = \delta. Legyen ugyanis f \left( x \right) = q
\left( x \right) p \left( x \right) + r \left( x \right) alakú, ahol p
\left( x \right) az előbbi polinom, és itt egy maradékos osztást végeztünk, így r \left( x \right) foka maximum 2. Ekkor, kihasználva p \left( \tau \right) = 0-t: \delta = f \left( \tau \right) =
q \left( \tau \right) p \left( \tau \right) + r \left( \tau \right) = r \left(
\tau \right)

A feladat állításának bizonyítása:

Ha a=t3 köbszám, akkor mivel egész, a p \left( t \right) = t^2 -
t konstans függvény jó. Egyébként pedig: a2/3+a1/3 gyöke Lemma 2. miatt x^3 - 3 a x - \left(
a^2 + a \right) = 0-nak. Lemma 3. miatt elég tehát ellenőrizni, hogy állhat-e \alpha,\beta,\gamma racionálisakkal:

 \alpha \left( a^{2 / 3} + a^{1 / 3} \right)^2 + \beta \left( a^{2 / 3} +
   a^{1 / 3} \right) + \gamma = \left( a^{2 / 3} - a^{1 / 3} \right)

Vagyis:

 2 a + \gamma + \left( 1 + \beta + \alpha \right) a^{1 / 3} + \left(
   \alpha + \beta - 1 \right) a^{2 / 3} = 0

Mivel \left( 1, a^{1 / 3}, a^{2 / 3} \right) lineárisan függetlenek, ezért mindhárom együttható 0 kellene, hogy legyen, de ez nem lehetséges, mert -1=\alpha+\beta=1 kellene, ezért nincs ilyen polinom.

[821] w2013-06-11 06:57:16

Két kérdés. Hogyan lehet-e egyáltalán nekikezdeni az A.592 feladatnak? Még a triviális esetek is iszonyatosak. Ezenkívül mi okból lett az A.591 "A-jelű" feladat, egyszerű érintőszakaszos megoldása van, itt még általánosítás is található.

[820] w2013-06-11 06:51:29

Nagyon köszönöm én is az érdekes megoldásodat. Sikerült kb. megérteni. Igazad volt, felraktak hiv. megoldást is.

Előzmény: [816] nadorp, 2013-05-15 21:21:29
[819] nadorp2013-05-16 10:37:38

Kedves Mihály,

Köszönöm a kiegészítést, erre nem gondoltam. A poén az, hogy amikor először "nekiestem" a feladatnak, akkor én is próbálkoztam ezzel a körosztási polinommal, de nem jutottam dűlőre, egészen másfelé kalandoztam el.

Előzmény: [1087] Fálesz Mihály, 2013-05-16 10:05:01
[1087] Fálesz Mihály2013-05-16 10:05:01

Szia Péter,

Köszi, hogy leírtad.

Szerintem azért legbelül a két megoldás lényege ugyanaz: találunk egy hetedrendő elemet (ha tetszik, hetedik egységgyököt) \(\displaystyle GF_{p^2}\)-ben.

Ha a Kearnes-Kiss-Szendrei cikket követjük, akkor az \(\displaystyle \Phi_7(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\) körosztási polinom egyik gyökét keressük. Ha \(\displaystyle p\ne7\), akkor \(\displaystyle \Phi_7(1)\ne0\), így a \(\displaystyle \Phi_7\) gyökei tényleg hetedrendűek.

Mivel \(\displaystyle \Phi_7\) páros fokú palindrom polinom, a szokásos módon eloszthatjuk \(\displaystyle x^3\)-bel, és átírhatjuk \(\displaystyle x+\frac1x\) polinomjává:

\(\displaystyle \frac{\Phi_7(x)}{x^3} = x^3+x^2+x+1+\frac1x+\frac1{x^2}+\frac1{x^3} = \left(x+\frac1x\right)^3+\left(x+\frac1x\right)^2-2\left(x+\frac1x\right)-1 = \Psi_7\left(x+\frac1x\right). \)

Ha \(\displaystyle \Psi_7\)-nek van egy \(\displaystyle u\) gyöke \(\displaystyle GF_p\)-ben, akkor \(\displaystyle \Phi_7\)-nek is van (0-tól különböző) gyöke \(\displaystyle GF_{p^2}\)-ben: az \(\displaystyle x^2-ux+1\) polinom gyökei ilyenek.

Ha pedig van hetedrendű elem, akkor a multiplikatív csoport rendje, \(\displaystyle p^2-1\) osztható az elem rendjével, \(\displaystyle 7\)-tel.

* * *

A feladatban szereplő polinom a \(\displaystyle \Psi_7\) egy transzformáltja:

\(\displaystyle 7x(x+1)^2-1 = (x+1)^3 \Psi_7\left(2-\frac1{x+1}\right). \)

Ha \(\displaystyle 7a(a+1)^2-1\equiv 0~(\mod~p)\), akkor \(\displaystyle p\ne7\), \(\displaystyle GF_p\)-ben \(\displaystyle a\ne-1\), és \(\displaystyle 2-\frac1{a+1}\) gyöke \(\displaystyle \Psi_7\)-nek.

* * *

Mindkét megoldásban úgy kerestük a hetedik egységgyököket, hogy először felírtunk egy harmadfokú polinomot, aminek valamilyen szorosabb köze van a \(\displaystyle \cos\frac{2k\pi}7\) számokhoz (a Te esetedben \(\displaystyle c=\tg^2\frac{k\pi}7=\frac{1-\cos\frac{2k\pi}7}{1+\cos\frac{2k\pi}7}\)), ennek volt egy modulo \(\displaystyle p\) gyöke, és ebből egy másodfokú egyenlet adott egy hetedik egységgyököt \(\displaystyle GF_{p^2}\)-ben.

Előzmény: [816] nadorp, 2013-05-15 21:21:29
[818] Róbert Gida2013-05-15 23:17:03

Érdekes megoldás, és még kis p<225 prímekre sem kell az ellenőrzés.

"Szorozzuk meg (1) mindkét oldalát 64-gyel ( ez megtehető, mert p páratlan)", ha p=2, akkor is megteheted.

A végén be is lehetett volna szorozni (1-\sqrt c)^7-tel, és akkor (1-c)7=1, a befejezés ugyanaz.

Előzmény: [816] nadorp, 2013-05-15 21:21:29
[817] nadorp2013-05-15 21:40:41

Bocs, a (3) egyenlet helyesen

(c+7)3-112(c+7)+448=0

Előzmény: [816] nadorp, 2013-05-15 21:21:29
[816] nadorp2013-05-15 21:21:29

A588

A lenti megoldás nem teljesen elemi, de úgy látom, nincs összefüggésben a hivatalos megoldásban hivatkozott cikkel.

Azt fogjuk felhasználni, hogy a q=pn elemű ( p prím, n pozitív egész) T véges testben minden 0-tól különböző elem rendje osztója (q-1)-nek. Speciálisan, ha T p vagy p2 elemű véges test és létezik T-ben 7-edrendű elem, akkor 7|p-1 vagy 7|p2-1, azaz p=7k\pm1 alakú.

Legyen "a" pozitív egész és tegyük fel, hogy a p prímszámra p|7a2(a+1)-1. Ekkor nyilván p páratlan és p\neq7. Ha K jelöli a mod p maradékosztályok testét, akkor a feltétel szerint létezik a\inK, hogy

7a3+7a2-1=0

Jelölje b az a multiplikatív inverzét K-ban, azaz ab=1. Ekkor

b3-7b-7=0(1)

Legyen c\inK egyelőre tetszőleges és tekintsük a p(x)=x2-c polinom K feletti Kc felbontási testét. Ha c egy K-beli elem négyzete, akkor K=Kc, azaz Kc p elemű. Ha c nem áll elő semmilyen K-beli elem négyzeteként, akkor p(x) irreducibilis K felett, tehát Kc másodfokú bővítése K-nak, azaz ekkor Kc p2 elemű. Azt fogjuk belátni, hogy c alkalmas megválasztásával Kc-ben létezik 7-edrendű elem. Ebből már, mint láttuk, következik a feladat állítása.

Jelölje \sqrt c~ p(x) egyik gyökét Kc-ben, és tekintsük az 1+\sqrt c,1-\sqrt c \in K_c elemeket.Ezekre

(1+\sqrt c)^7=1+21c+35c^2+7c^3+(7+35c+21c^2+c^3)\sqrt c=u+v\sqrt c

(1-\sqrt c)^7=1+21+35c^2+7c^3-(7+35c+21c^2+c^3)\sqrt c=u-v\sqrt c

Próbáljuk meg megválasztani c értékét úgy, hogy v=0 teljesüljön, azaz

c3+21c2+35c+7=0(2)
(c+7)3-112c+448=0(3)

Szorozzuk meg (1) mindkét oldalát 64-gyel ( ez megtehető, mert p páratlan)

64b3-448b-448=0

(4b)3-112.(4b)-448=0(4)

Összeadva (3)-at és (4)-et

(c+7)3+(4b)3-112(c+7+4b)=0

A fenti egyenletből c+7+4b kiemelhető, tehát c=-4b-7\inK megoldása (2)-nek, azaz ebben az esetben v=0.Azt kaptuk tehát, hogy a c=-4b-7 választás mellet

(1+\sqrt c)^7=(1-\sqrt c)^7

Ha 1-\sqrt c=0 lenne, akkor 1+\sqrt c=0 is teljesülne. De ekkor 2=0, azaz p=2 lenne, amit kizártunk. Tehát 1-\sqrt c\neq0. Így

\left(\frac{1+\sqrt c}{1-\sqrt c}\right)^7=1

Most már csak azt kell belátnunk, hogy \frac{1+\sqrt c}{1-\sqrt c}\neq1 és kész vagyunk, mert találtunk 7-edrendű elemet Kc-ben. Tegyük fel, hogy \frac{1+\sqrt c}{1-\sqrt c}=1. Ekkor c=0 kell hogy legyen, de mivel c gyöke (2)-nek, azt kapnánk, hogy 7=0, azaz p=7, amit kizártunk.

Előzmény: [811] w, 2013-05-14 16:07:25

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]