A megoldásod érdekes, de szerintem annyira nem triviális. Mondjuk én nyilván miután sikertelenül megpróbáltam megjeleníteni az ábrát, koordinátáztam. Nagyon jó gyakorlópélda koordinátákra, olcsón, kb. egy órán belül kijött (+későbbi pontosítgatások).
Egyébként ha már itt tartunk, szerintem az A.617 feladat ennél még olcsóbb volt, bár a statisztika ezzel nem ért egyet. :) A megoldás(oka)t inkább még nem lőném le.
Leírok akkor egy erős vázlatot az A619-re:
Először felveszünk egy térbeli koordinátarendszert, az &tex;\displaystyle O&xet; origó természetesen a félegyenesek közös kiindulópontja, a &tex;\displaystyle z=0&xet; sík pedig &tex;\displaystyle \Pi&xet;. lesz. Az &tex;\displaystyle a&xet; egyenesének egyenlete &tex;\displaystyle y=Ax&xet;, &tex;\displaystyle z=0&xet;, a többié hasonló. A koordinátarendszer megválasztható úgy, hogy &tex;\displaystyle |A|\neq |B|&xet; és &tex;\displaystyle |C|\neq |D|&xet; legyen (illetve pl. &tex;\displaystyle A=B&xet; esetben &tex;\displaystyle \Sigma&xet; triviálisan illeszkedik &tex;\displaystyle a&xet;-ra és &tex;\displaystyle b&xet;-re, kész).
&tex;\displaystyle A_\varphi&xet; egyeletének meghatározása: tudjuk, hogy ez a sík rajta van az &tex;\displaystyle y=Ax&xet;, &tex;\displaystyle z=0&xet; egyenesen; most keresünk egy harmadik pontot, ami rá illeszkedik.
Vegyük az &tex;\displaystyle y=-\frac1A x&xet;, &tex;\displaystyle z=0&xet; egyenest (ez merőleges &tex;\displaystyle a&xet;-ra), ez az egyenes &tex;\displaystyle \varphi&xet; szöget zár be &tex;\displaystyle A_\varphi&xet;-vel. Keressük akkor meg az &tex;\displaystyle A_\varphi&xet; síkon azt a &tex;\displaystyle Q&xet; pontot, aminek merőleges vetükete &tex;\displaystyle \Pi&xet;-re a &tex;\displaystyle P\left(1,-\frac1A,0\right)&xet; pont lesz. Mivel &tex;\displaystyle OPQ&xet; háromszög derékszögű és &tex;\displaystyle O&xet;-nál &tex;\displaystyle \varphi&xet; szög van, így könnyen látható, hogy &tex;\displaystyle Q&xet; koordinátái:
&tex;\displaystyle \left(1,-\frac1A,\epsilon_a\tg\varphi\sqrt{1+\frac1{A^2}}\right),&xet;
ahol &tex;\displaystyle \epsilon_a&xet; egy olyan előjel, ami kizárólag az &tex;\displaystyle a&xet; félegyenes irányától (a forgatás irányától) függ.
Ha most az &tex;\displaystyle A_\varphi&xet; síkot a &tex;\displaystyle (0,0,0)&xet;, &tex;\displaystyle (1,A,0)&xet;, &tex;\displaystyle Q&xet; pontokra illesztjük, a kapott egyenletrendszer megoldásával &tex;\displaystyle A_\varphi&xet; egyenlete
&tex;\displaystyle -Ax+y+\frac{\alpha}{\tg \varphi} z=0&xet;
lesz, ahol &tex;\displaystyle \alpha=\epsilon_a\sqrt{A^2+1}&xet; egy &tex;\displaystyle \varphi&xet;-től független konstans.
Ha most &tex;\displaystyle A_\varphi&xet; és &tex;\displaystyle B_\varphi&xet; metszésvonalát kiszámoljuk (&tex;\displaystyle B_\varphi&xet; egyenlete &tex;\displaystyle -Bx+y+\frac{\beta}{\tg\varphi}&xet;), a következő pontok mértani helye adódik:
&tex;\displaystyle \left((\alpha-\beta)x,(\alpha B-\beta A)x,(A-B)\tg\varphi\cdot x\right)\quad\forall x\in R&xet;
Egyébként &tex;\displaystyle \alpha\neq \beta&xet; mert feltettük, hogy &tex;\displaystyle |A|\neq |B|&xet;, szóval ez itt rendben van.
Hasonlóan adódik a &tex;\displaystyle \Gamma_\varphi&xet; és &tex;\displaystyle \Delta_\varphi&xet; síkok metszésvonala, ami a következő pontokból áll:
&tex;\displaystyle \left((\alpha-\beta)x,(\alpha B-\beta A)x,(A-B)\tg\varphi\cdot x\right).&xet;
Na most pedig legyen &tex;\displaystyle \Sigma&xet; egyenlete &tex;\displaystyle S(x,y,z)=\sigma_1 x+\sigma_2 y+\sigma_3 z&xet;. Ebből csak az érdekel minket, hogy &tex;\displaystyle S(x,y,z)&xet; additív függvény, vagyis ha teljesül rá, hogy
&tex;\displaystyle \left\{\matrix{S((\alpha-\beta)x,(\alpha B-\beta A)x,(A-B)\tg\varphi\cdot x)=0\cr
S((\gamma-\delta)x,(\gamma D-\delta C)x,(C-D)\tg\varphi\cdot x)=0}\right.&xet;
abból következik, hogy
&tex;\displaystyle 0=(C-D)\cdot S((\alpha-\beta)x,(\alpha B-\beta A)x,(A-B)\tg\varphi\cdot x)-&xet;
&tex;\displaystyle -(A-B)\cdot S((\gamma-\delta)x,(\gamma D-\delta C)x,(C-D)\tg\varphi\cdot x)=&xet;
&tex;\displaystyle =S\left(K x,L y,0\right),&xet;
ahol &tex;\displaystyle K=(C-D)(\alpha-\beta)-(A-B)(\gamma-\delta)&xet; és &tex;\displaystyle L=(\alpha B-\beta A)(C-D)-(\gamma D-\delta C)(A-B)&xet; &tex;\displaystyle \varphi&xet;-től független konstansok.
A &tex;\displaystyle (Kx,Ly,0)&xet; pontok egy egyenest határoznak meg, ezen az egyenesen tehát minden &tex;\displaystyle \Sigma_\varphi&xet; sík áthalad.
Kivételt képez persze, amikor &tex;\displaystyle K=L=0&xet;; ebból következik, hogy &tex;\displaystyle A_\varphi\cap B_\varphi&xet; és &tex;\displaystyle \Gamma_\varphi\cap \Delta_\varphi&xet; pontjaiba mutató helyvektorok lineárisan függőek, avagy a két egyenes minden &tex;\displaystyle \varphi&xet;-re egybeesik. Most lehetünk lusták, és egyfelől mondhatjuk erre azt, hogy ilyenkor &tex;\displaystyle \Sigma_\varphi&xet; nem létezik, így a feladat kitűzése által nem megengedett helyzetben vagyunk ("az a[z egyértelmű] sík, ami..."), vagy mondhatjuk azt, hogy &tex;\displaystyle \Sigma_\varphi&xet;-t akkor tetszőleges, a közös metszésvonalra illeszkedő síknak/határhelyzetként értelmezzük; akkor meg igaz rá a feladat állítása.
-------------
Tegyük fel, hogy a &tex;\displaystyle \varphi&xet;-hez tartozó &tex;\displaystyle A&xet;, &tex;\displaystyle B&xet;, &tex;\displaystyle \Gamma&xet;, &tex;\displaystyle \Delta&xet; síkok átmennek egy közös &tex;\displaystyle e&xet; egyenesen. Vegyük &tex;\displaystyle e&xet;-nek valamely &tex;\displaystyle O&xet;-tól különböző &tex;\displaystyle X&xet; pontját. Ha &tex;\displaystyle X&xet;-ből merőlegest állítunk mondjuk &tex;\displaystyle a&xet;-ra, akkor a kapott merőleges egyenes &tex;\displaystyle \varphi&xet; szöget zár be &tex;\displaystyle \Pi&xet;-vel. Az olyan pontok mértani helye &tex;\displaystyle \Pi&xet;-n, melyeket &tex;\displaystyle X&xet;-szel összekötve, &tex;\displaystyle \Pi&xet;-vel &tex;\displaystyle \varphi&xet; szöget bezáró egyenest kapunk, az nyilvánvalóan egy &tex;\displaystyle k&xet; kör, és az &tex;\displaystyle X&xet;-szel összekötő egyenesek egy kúpot határoznak meg. Most ha &tex;\displaystyle a&xet; egyenesét vissza akarjuk keresni, akkor a Pitagorasz-tétel és megfordítása szerint &tex;\displaystyle a\cap k&xet; fix távolságra van &tex;\displaystyle O&xet;-tól, így legfeljebb kétféle egyenes merülhet fel, mint &tex;\displaystyle a,b,c,d&xet; egyenese.
Ha &tex;\displaystyle a,b,c,d&xet; közül valamely kettő ugyanazon az egyenesen van, de ellentétes irányú, akkor &tex;\displaystyle e&xet; egyenes egyben &tex;\displaystyle a&xet; és &tex;\displaystyle b&xet; egyenese kell legyen, vagyis a &tex;\displaystyle \Pi&xet; síkon van. Ilyenkor tehát &tex;\displaystyle a,b,c,d&xet; is az &tex;\displaystyle e&xet;-re illeszkedik. A másik lehetőség, hogy &tex;\displaystyle a,b,c,d&xet; max. kétféle félegyenest tartalmaznak. Mindkét eset teljesen degenerált, ezekre viszont &tex;\displaystyle \Sigma&xet; nem értelmezhető.
|