Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Számelméleti érdekességek

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[67] Gubbubu2006-09-09 18:34:42

Módosítok: Vegyünk n darab különböző prímet (ha nem alkalmazzuk a megkötést, hogy a p-k prímek legyenek, talán az ios érdekes feladat, de engem a prímek jobban érdekelnének).

Előzmény: [66] Gubbubu, 2006-09-09 18:33:18
[66] Gubbubu2006-09-09 18:33:18

Vegyünk n darab különböző számot, és képezzük belőlük az összes lehetséges j-tagú szorzatot, ahol j a 0 és az n közé vesik (nem-szigorúan kisebb mint n, és  nagyobb, mint 0), majd ezeket adjuk össze. Legyenek a prímek p1,p2,...pn, és jelöljük az így kapott összeget S(p1,p2,...,pn)-nel!

Pl. 2, 3 és 11-re S(2,3,11)=1+2+3+11+6+22+33+66 = (144, ha jól számoltam)

Igaz-e, hogy bármely C konstanshoz található olyan n, hogy valamely p1, ... , pn prímekre S(p1,...,pn)>Cp1p2...pn?

Ha jól látom, szemléletesen ezt úgy lehetne megfogalmazni, hogy elegendő sok prímet véve a belőlük képezett összes szorzatok összege sokszorosa lesz a szorzatuknak.

Ha valaki valami irodalmat mellékel, az is megfelelő válasz lenne.

[65] V Laci2006-05-09 13:01:31

Köszönöm! Így már érthető(bb). :)

Előzmény: [64] Lóczi Lajos, 2006-05-09 10:43:35
[64] Lóczi Lajos2006-05-09 10:43:35

Pl. a (33)-as jobb oldalán szereplő függvényhez üssük fel a függvényenciklopédiát:

http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric4F3/02/

Itt mindent megtalálsz róla. A definícióban szereplő (.)k ún. emelkedő faktoriálisokat pedig itt találod:

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Pochhammer/02/

Előzmény: [63] V Laci, 2006-05-08 22:06:20
[63] V Laci2006-05-08 22:06:20

Bocsánat, hogy picit pontatlan voltam, általános megoldóképletre gondoltam, hogy az nincs :) Nagyjából értem ezt a végtelen összegek alakot, de pl. a (33)-(35) mit jelentenek?

Előzmény: [60] Lóczi Lajos, 2006-05-08 18:54:00
[62] Lóczi Lajos2006-05-08 21:26:58

L. pl. az idézett mathworld-oldalon a (37)-(41) formulákat, melyek hipergeometrikus sorokkal adják meg a megoldást. (Ezzel kapcsolatban össze is állítottam egy kis irományt, ami előbb-utóbb megjelenik, ott szelidített formában összefoglaltam ezeket.)

Előzmény: [61] ágica, 2006-05-08 21:03:53
[61] ágica2006-05-08 21:03:53

Hmm, hogy néz ki pl egy ilyen végtelen összeg alakban előállított megoldás?

Előzmény: [60] Lóczi Lajos, 2006-05-08 18:54:00
[60] Lóczi Lajos2006-05-08 18:54:00

Az állításod ebben a formában nem igaz, különféle megoldóképletek igenis vannak az ötödfokú egyenletre, csak azok nem "olyanok", mint a "szokásosak": nem véges, hanem végtelen sok műveletet tartalmaznak (pl. rekurziók határértékeként, vagy végtelen összegek alakban állítják elő az együtthatókból a megoldásokat -- tehát az analízis eszköztárát használják, nem pedig az algebráét).

Amire gondoltál, az persze igaz, véges sok alapművelet és véges sok gyökvonás segítségével általában nem állíthatók elő az ötödfokú egyenlet megoldásai az együtthatókból. (Speciális esetekben azonban igen, l. pl. az x5=1 egyenletet, de vannak nemtriviális példák is.) Az okokat a csoportelmélet keretén belül a Galois-elmélet válaszolja meg rendesen, a felhasznált fogalmak viszont olyanok, hogy egy ilyen kis szövegdobozban szerintem nem lehetne őket elmagyarázni (az egyetemi előadásokon több hetet szokott igénybe venni), bár ha valaki megpróbálja, kíváncsian elolvasom :) Inkább az interneten keress rá ezekre a fogalmakra, onnan sok mindent el tudsz lesni. Kiindulásul javaslom a http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html oldalt.

Előzmény: [59] V Laci, 2006-05-08 15:03:21
[59] V Laci2006-05-08 15:03:21

Köszönöm. Úgy tudom, hogy ötödfokú és ennél nagyobb egyenletekre nem találtak megoldóképletet, és nem is találhatnak, mert bebizonyították, hogy nem is lehet. Mi ennek az oka, hogy nincs megoldóképlet?

Előzmény: [57] Lóczi Lajos, 2006-05-07 23:08:31
[58] Gergo732006-05-08 06:45:27

A 2. kérdésedre valóban "nincs" a válasz. A bizonyítás nehéz és ebben a hónapban jelent meg a világ legjobb matematikai újságjában (ugyanott, ahol a Fermat-sejtés bizonyítása is, valójában a két bizonyítás nem független egymástól). Itt a cikk.

Előzmény: [40] Yegreg, 2005-10-31 15:56:49
[57] Lóczi Lajos2006-05-07 23:08:31

Egy jó elemzés található pl. a http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html címen. Maga a formula (53)-(55) alatt van. (Ha jó a szemed, épp ilyen szerkezetű kifejezéseket találsz a negyedfokú egyenlet megoldóképletében, hiszen a negyedfokú egyenlet megoldása alkalmas harmadfokú egyenlet (az ún. harmadfokú rezolvens) megoldására vezethető vissza. Persze mindezen képletetek gyakorlatilag feleslegesek, mert használhatatlanul bonyolultak.)

Előzmény: [56] V Laci, 2006-05-07 22:07:14
[56] V Laci2006-05-07 22:07:14

Hát extrém... De akkor engem meg az érdekelne, hogy a harmadfokú egyenlet megoldóképlete hogy néz ki? (Elvileg fogjuk tanulni, de csak két év múlva, én meg nem találtam sehol...)

[55] Lóczi Lajos2006-05-07 20:33:05

A megadott képletek annyiban hiányosak, hogy bizonyos együttható-kombinációk esetén értelmetlenek: nullával osztás történik. Ilyenkor azonban picit más, egyszerűbb, képletek állnak rendelkezésre.

Előzmény: [54] ágica, 2006-05-05 21:50:26
[54] ágica2006-05-05 21:50:26

Ezt most találtam. Hát nem semmi :)

Előzmény: [53] Carlos, 2006-05-05 21:00:15
[53] Carlos2006-05-05 21:00:15

Tudja valaki a negyedfokú egyenlet megoldóképletét? Módszert tudok rá, hogy hogyan lehetne megoldani, de sehol sem találom azt a képletet, amiből az együtthatók segítségével egyből megkapjuk a gyököket. Azt rengeteg helyen olvasom, hogy van, csak ezt nem hogy mi is az. Ha valaki tudja, légyszi írja meg. Köszike

[52] Tibi2005-11-03 18:51:47

Kedves Nadorp!

A feltételt jól értelmezted, és igen, igazad van, más megoldás?

Előzmény: [51] nadorp, 2005-11-03 09:14:41
[51] nadorp2005-11-03 09:14:41

Ha jól értem a feltételt:

y-x>x(\root{n-1}\of{x}-1),azaz

y>x\root{n-1}\of{x}

yn-1>xn

zn=yn+xn<yn+yn-1<yn+nyn-1<(y+1)n

z<y+1, azaz z\leqy. Ellentmondás

Előzmény: [47] Tibi, 2005-11-02 20:49:12
[50] Tibi2005-11-02 21:51:54

Igen, ez esetben a bizonyítás egy A/4-es oldal. Hogy mennyire nehéz az persze más kérdés...

Előzmény: [49] Lóczi Lajos, 2005-11-02 21:00:34
[49] Lóczi Lajos2005-11-02 21:00:34

Tehát azt mondod, hogy a Fermat-tételt mi is be tudjuk bizonyítani, ha tesszük pl. azt a két pluszfeltevést, amit írtál?

Előzmény: [48] Tibi, 2005-11-02 20:55:55
[48] Tibi2005-11-02 20:55:55

Talán még így sem tökéletes... Tehát y és x különbsége nagyobb, mint: x-nek vesszük az n-1-edik gyökét. ebből kivonunk egyet ezt az egészet szorozzuk x-szel. Na, így már tuti érthető... Még egyszer ezer bocs.

[47] Tibi2005-11-02 20:49:12

Kedves Lajos!

Elnézést, de nem tudom még rendesen használni ezt a TeX izét... A feltételek: 1. y > x, 2. A kettő közti különbség legyen ß, ill. ß legyen nagyobb, mint x* ( n-1-edik gyök(x) -1). A -1 a gyökön kívűl van. A feladat így is fogalmazható: Vegyünk két tetszőleges természetes számot. Az egyik legyen x a másik n.Aztán egy harmadikat, ő y.Y-ra igaz, hogy nagyobb, mint x és a kettőjük különbsége, ß nagyobb, mint az a szám,amelyiket x n-1-edik gyökéből egyet kivonva és x-szel szorozva kapunk. Ha az ilyen y-unkat és x-ünket n-edik hatványra emeljük, majd összeadjuk, az összeg nem lehet egy negyedik, tetszőleges természetes szám, z ugyanennyiedik, n-edik hatványa, ha n nagyobb, mint 2. Így már érthetőbb? Remélem, igen. Egyébként bebizonyítottam, csak kíváncsi vagyok, másokat is érdekel-e ez a probléma.

[46] Lóczi Lajos2005-11-02 20:19:15

Azt, hogy a feladat kitűzője tudja-e vajon a feladat bizonyítását? :) (Bár a két feltételt nem tudtam értelmezni.)

Előzmény: [45] Tibi, 2005-11-02 07:23:25
[45] Tibi2005-11-02 07:23:25

Sziasztok!

Erre a feladatra mit mondtok?

Legyen x, y, z, n természetes szám, ill. van két kikötésünk: 1. y > x, 2. y - x = ß és ß > x(n-1gyökx - 1).

Ekkor az

x az n-ediken + y az n-ediken = z az n-ediken

egyenletnek nincs megoldása, ha n > 2.

(bocsika, de nem nagyon világos még nekem ez a TeX...

[44] Yegreg2005-11-01 21:56:11

Köszönöm szépen! Találtam is valamit, de ez angolul van, szóval erősen koncentrálnom kell:), valamint ez egy kivonatszerűségnek tűnik csak, szóval így pláne érthetetlen első nekifutásra, de holnap majd újrapróbálkozom, először ezzel, ha nem megy, akkor egy kevésbé tömörített változatával. Mindenesetre google-ben keresve a legtöbb helyen, ahol megtalálta, az a hivatkozások, források között volt, szóval feltehetőleg nem hemzsegnek a bizonyításai, úgyhogy jó, hogy ezt leírtad.

Yegreg

[43] Csimby2005-11-01 20:18:43

Annak bizonyítása, hogy a Fibonacci-számok közül csak 1 és 144 négyzetszám,

Cohn, J.H.E.: Square Fibonacci Numbers.

Fibonacci Quart.,2 (1964), p. 109...113

cikkében található meg.

De biztos még sok más helyen is, egyről legalábbis biztosan tudok.

Előzmény: [42] Yegreg, 2005-11-01 19:53:39

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]