Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: nem euklideszi geometria

  [1]    [2]    [3]    [4]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[28] marcius82013-01-21 15:34:31

Tisztelt eddigi hozzászólók!

Köszönöm az eddigi hozzászólást mindenkinek. Úgy látom, hogy a hozzászólások leginkább a hiperbolikus sík modellezéséről szólnak (nyeregfelület). Azonban a nem-euklideszi geometria másik ága a gömbi (elliptikus) geometria, az a sík ahol a gömbi geometria valósul meg, az az elliptikus sík, ennek modellezéséről eddig nem esett szó.

Amit még hiányolok, az hogy egyszerűbb középiskolás tételek, amelyek euklideszi geometriában érvényesek, hogyan szólnak nem euklideszi geometriában. 1. Például a háromszög köré írható körének középpontja egyenlő a háromszög oldalfelezőinek metszéspontjával, ez a tétel érvényes akármilyen geometriában. 2. Például euklideszi geometriában egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a négyszög két szemközti szögének összege 180°, ez csak az euklideszi geometriában érvényes, nem euklideszi geometriában egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a négyszög két szemközti szögének összege egyenlő a négyszög másik két szemközti szögének összegével. Érdemes egyszerűbb térgeometriai tételeket is végiggondolni (például tetraéder magasságpontjára vonatkozó tétel), de aki "haladó" szinten tudja a nemeuklideszi geometriát, az egyszerűbb számolásokat is tud végezni. (Például Pitagorasz-tétel, kör kerülete, kör területe, téglatest átlója,..mind ez mindenféle geometriában, és érdemes megnézni, hogy a kapott eredmények hogyan vannak összhangban egymással...)

Mindenkinek sikeres fejtörést kívánok: Bertalan Zoltán (marcius8)

[27] Solaris2013-01-19 20:18:24

Nincs gond, sőt, köszönöm! Majd legközelebb a traktrix-szal kínálom meg Zilberbachot, hogy készítsen vele forgásfelületet. A traktrix forgatásával keletkező pszeudoszférán biztosan interpretálható a hiperbolikus geometria, kivéve a szinguláris pontjait. :)

A házi feladat szerintem túlzó. Ha elkészítené a modellt, akkor rájönne.

Előzmény: [23] Fálesz Mihály, 2013-01-19 16:55:19
[26] Zilberbach2013-01-19 20:02:52

A kék egyenesekre a hiperbolikus paraboloid síkban merőleges egyenesek mind ilyenek. Ezek a hiperbolikus paraboloid síkon párhuzamosak a piros egyenesekkel. Ez akkor különösen nyilvánvaló ha szemléltető eszközt úgy készítjük el, hogy a piros vonalak egy kocka lapfelező szakaszai lesznek.

Előzmény: [23] Fálesz Mihály, 2013-01-19 16:55:19
[25] Solaris2013-01-19 19:49:50

Az esőcsepp az nem pontszerű. :) Van a felületen egy és csak egy pont, ahol a "pontszerű" esőcsepp nyugalomban lehet. Ez a nyeregpont. Úgy gondolom, a hiperbolikus paraboloid eléggé közismert ahhoz, hogy ne itt vitassuk meg a tulajdonságait. Csak érdekességképpen hoztam ezt a példát/modellt Zilberbach számára, aki az adatlapja szerint laikus érdeklődő a geometria iránt. :)

Előzmény: [24] Lóczi Lajos, 2013-01-19 18:59:00
[24] Lóczi Lajos2013-01-19 18:59:00

"Bárhová esik rá egy esőcsepp, csak lefelé vezet az útja."

Ha a csepp pontszerű, a fenti mondattal nem teljesen értek egyet.

Előzmény: [22] Solaris, 2013-01-19 16:11:36
[23] Fálesz Mihály2013-01-19 16:55:19

Elnézést a pontosításért.

A felületnek nem állandó a Gauss-görbülete (de legalább negatív. :-) ) Emiatt, ha a metrikát a legrövidebb görbe hosszával definiáljuk, a szögek pedig akkorák, mint amekkorának látszanak, akkor ez a struktúra nem azonos "a" hiperbolikus geometriával.

Viszont ha már előjött ez a vicces felület, egy házi feladat Zilberbachnak: hol vannak még egyenesek a felületben?

Előzmény: [20] Solaris, 2013-01-18 23:24:41
[22] Solaris2013-01-19 16:11:36

A jó térlátás nagyszerű adottság. A lelki szemeiddel látott felület neve hiperbolikus paraboloid. :) Időnként alkalmazzák az építészek fedésre. Bárhová esik rá egy esőcsepp, csak lefelé vezet az útja. Nyeregfelületnek is mondják. Rozsdamentes acélból olyan szép, hogy elmegy asztali dísznek.

Előzmény: [21] Zilberbach, 2013-01-19 13:17:32
[21] Zilberbach2013-01-19 13:17:32

Köszönöm. Az ábra jó, ezért a vizualizációm működik. Lelki szemeim előtt anélkül is megjelent a felület, hogy valóban legyártottam volna. (Meg egy kicsit lusta vagyok néha.)

Előzmény: [20] Solaris, 2013-01-18 23:24:41
[20] Solaris2013-01-18 23:24:41

Olvastam a profilodban és látom is, hogy érdekel a geometria. Mellékelek egy ábrát és némi magyarázatot. Vegyél egy kisebb dobozt merev kartonpapírból, vagy készíts egyet. A fedőlapját távolítsd el, hogy lásd majd az eredményt. Az egyik lapján középen húzz egy vízszintes vonalat. A szemközti lapon is rajzolj egy vonalat, de most merőlegesen. Ezeket a vonalakat pirossal rajzoltam. Jelölj ki egyenletes kiosztásban pld. 5 mm távolságra pontokat mindkét vonalon, kb. 15 - 20 pontot, vagy sűrűbben és többet, akkor jobban fogod majd látni, amit kell. A pontoknál lyukaszd ki a kartont, majd keress hosszú cérnát és tűt. Fűzögesd át szorgalmasan a lyukakon a cérnát az ábra kék vonalai szerint. Olyan felület rajzolódik ki a szemed előtt, amelyik csupa egyenes vonalból áll, mégis görbe mindenhol. Ez egy olyan felület, amelyiken a hiperbolikus geometria az érvényes.

Előzmény: [2] Zilberbach, 2013-01-11 21:42:50
[19] Solaris2013-01-18 18:13:51

Másképpen fogalmaznál, ha elolvasnád et a cikket?

http://www.komal.hu/cikkek/prekopa/bolyai/bolyai.h.shtml

Előzmény: [2] Zilberbach, 2013-01-11 21:42:50
[4] Zilberbach2013-01-16 19:40:32

Köszönöm a tanácsot, remélem majd ha szükség lesz rá, sikerül így ábrát beillesztenem a hozzászólásba.

Előzmény: [3] w, 2013-01-14 21:00:14
[3] w2013-01-14 21:00:14

JPG fájlok beilleszthetők, a hozzászólásnál a lap alján látható az "Ábra feltöltés" lehetőség. Ha ezt már megtaláltad, akkor talán az lehet a baj, hogy túl nagy a kép (van rá limit).

Előzmény: [2] Zilberbach, 2013-01-11 21:42:50
[2] Zilberbach2013-01-11 21:42:50

Elnézést kérek hogy naiv módon belekotyogok a témába, de ha már megnyitotta mácius 8 fórumtárs, leírom az ezzel kapcsolatos gondolataimat. Úgy tudjuk, hogy a Bolyai-féle geometria abból a próbálkozásból indult, amelynek során Bolyai bizonyítani próbálta Euklidész 5. axiómáját. A bizonyítandó állítás: egy adott (e) egyenesen kívül fekvő (P) ponton át csak egyetlen, az egyenessel párhuzamos egyenes húzható. Ehez szerimtem tisztázandó két egyenes párhuzamos voltának definíciója: 1. A párhuzamos egyenesek a végtelenben találkoznak. 2. Ezzel egyenértékű, de már jobb meghatározás: a párhuzamos egyenesek soha nem metszik egymást, nincs közös pontjuk. Ebből már következik, hogy a párhuzamos egyenesek nem zárhatnak be szöget egymással, mert ha bármilyen szöget zárnának be egymással, akkor előbb-utóbb metszeniük kellene egymást. 3. Az (e) egyenestől adott távolságban futó párhuzamos egyenes azon pontok összessége a síkban, amelyek az (e) egyenestől az adott távolságban helyezkednek el (az egyenes adott oldalán). (Az euklidészi síkon talán az 1. és 2 számú definíció is megfelelő lenne.)

A párhuzamossági tétel amivel Bolyai annyit viaskodott egyszerűen bizonyítható: (Természetesen ezek a szerkesztések euklideszi síkon történnek). Adott egy e egyenes és tőle adott távolságban egy P pont. Vegyünk föl még egy P' (segéd)pontot az egyenestől azonos távolságban, (és azonos oldalon). A két pontra csak egy egyenes illeszthető. Ebből következik, hogy egy adott egyenessel csak egyetlen egy párhuzamos egyenes húzható egy tőle adott távolságban lévő ponton keresztül. A párhuzamosság (általam?) megadott definíciója szerint két egyenes akkor, és csakis akkor párhuzamos, ha távolságuk bármelyik pontjukon mérve azonos. Az én definícióm szerint a párhuzamos egyenesek a végtelenben sem találkoznak, ott is az adott távolságra vannak egymástól.

Egy adott (e) egyenestől adott távolságra lévő párhuzamos (f) egyenes: azon pontok halmaza a síkon, amelyek az adott (l) távolságra vannak E egyenestől (E egyenes megadott oldalán). Ezzel a definícióval a görbült terekben is csak egy párhuzamos szerkeszthető a "P" ponton keresztül. Bolyai állítása (?), hogy a P ponton át sok e egyenessel párhuzamos egyenes húzható, az euklidészi síkon biztosan nem igaz. Ha a sík nem sík, hanem pl egy nyereg felület, egy gömb felülete, vagy egy henger felülete, akkor már sok esetben a párhuzamosság definíciójától függően akár igaz is lehet, hogy több párhuzamos "egyenes" létezik, de van amikor ezekben az esetekben sem, sőt van amikor egyetlen egy párhuzamos egyenes sem szerkeszthető.

Még egyszer a párhuzamosság különféle definícióiról: A (síkon) párhuzamos egyenesek a végtelenben metszik egymást. Szerintem ez rossz meghatározás. Arra próbálna utalni, hogy a párhuzamos egyenesek nem metszik egymást. Az euklidészi síkon tulajdonképpen ez is elég lenne, de görbült síkokon szerintem már nem jól működik. A helyes definíció: az e egyenestől adott távolságban futó párhuzamos egyenes azon pontok összessége a síkban, amelyek e egyenestől az adott távolságban helyezkednek el (az egyenes adott oldalán). Ezzel a definícióval görbült síkokon is maximum egy párhuzamos "egyenes" húzható.

Ha valaki esetleg egyszerűen le tudná írni hogyan illeszthetők be ábrák egy hozzászólásba paint-ből (jpg), vagy word-ből -kérem írja le, mert a további gondolataimat ábra nélkül nem tudom érthetően föltenni.

Előzmény: [1] marcius8, 2013-01-11 15:53:44
[1] marcius82013-01-11 15:53:44

Tisztelt érdeklődők! Az utóbbi néhány évben tanulmányoztam a nem euklideszi geometriákat. Nagyon sok érdekes dolog van. (Akár össze lehet hasonlítani a középiskolás geometriai tételeket euklideszi és nem euklideszi geometriában is.) Témakörök: a nem-euklideszi és euklideszi geometria megalkotása középiskolás módszerekkel modell nélkül, trigonometrtia a nem-euklideszi és euklideszi geometriában, koordináta-geometria, területszámítás, térfogatszámítás...... Akit érdekel ez a témakör, szívesen levelezek vele. Mindenképpen fontosnak érzem, hogy foglalkozzunk ezzel a témakörrel, hiszen Bólyai János magyar matematikus nevéhez fűződik ennek a témakörnek a felfedezése.

  [1]    [2]    [3]    [4]