 Elnézést kérek hogy naiv módon belekotyogok a témába, de ha már megnyitotta mácius 8 fórumtárs, leírom az ezzel kapcsolatos gondolataimat. Úgy tudjuk, hogy a Bolyai-féle geometria abból a próbálkozásból indult, amelynek során Bolyai bizonyítani próbálta Euklidész 5. axiómáját. A bizonyítandó állítás: egy adott (e) egyenesen kívül fekvő (P) ponton át csak egyetlen, az egyenessel párhuzamos egyenes húzható. Ehez szerimtem tisztázandó két egyenes párhuzamos voltának definíciója: 1. A párhuzamos egyenesek a végtelenben találkoznak. 2. Ezzel egyenértékű, de már jobb meghatározás: a párhuzamos egyenesek soha nem metszik egymást, nincs közös pontjuk. Ebből már következik, hogy a párhuzamos egyenesek nem zárhatnak be szöget egymással, mert ha bármilyen szöget zárnának be egymással, akkor előbb-utóbb metszeniük kellene egymást. 3. Az (e) egyenestől adott távolságban futó párhuzamos egyenes azon pontok összessége a síkban, amelyek az (e) egyenestől az adott távolságban helyezkednek el (az egyenes adott oldalán). (Az euklidészi síkon talán az 1. és 2 számú definíció is megfelelő lenne.)
A párhuzamossági tétel amivel Bolyai annyit viaskodott egyszerűen bizonyítható: (Természetesen ezek a szerkesztések euklideszi síkon történnek). Adott egy e egyenes és tőle adott távolságban egy P pont. Vegyünk föl még egy P' (segéd)pontot az egyenestől azonos távolságban, (és azonos oldalon). A két pontra csak egy egyenes illeszthető. Ebből következik, hogy egy adott egyenessel csak egyetlen egy párhuzamos egyenes húzható egy tőle adott távolságban lévő ponton keresztül. A párhuzamosság (általam?) megadott definíciója szerint két egyenes akkor, és csakis akkor párhuzamos, ha távolságuk bármelyik pontjukon mérve azonos. Az én definícióm szerint a párhuzamos egyenesek a végtelenben sem találkoznak, ott is az adott távolságra vannak egymástól.
Egy adott (e) egyenestől adott távolságra lévő párhuzamos (f) egyenes: azon pontok halmaza a síkon, amelyek az adott (l) távolságra vannak E egyenestől (E egyenes megadott oldalán). Ezzel a definícióval a görbült terekben is csak egy párhuzamos szerkeszthető a "P" ponton keresztül. Bolyai állítása (?), hogy a P ponton át sok e egyenessel párhuzamos egyenes húzható, az euklidészi síkon biztosan nem igaz. Ha a sík nem sík, hanem pl egy nyereg felület, egy gömb felülete, vagy egy henger felülete, akkor már sok esetben a párhuzamosság definíciójától függően akár igaz is lehet, hogy több párhuzamos "egyenes" létezik, de van amikor ezekben az esetekben sem, sőt van amikor egyetlen egy párhuzamos egyenes sem szerkeszthető.
Még egyszer a párhuzamosság különféle definícióiról: A (síkon) párhuzamos egyenesek a végtelenben metszik egymást. Szerintem ez rossz meghatározás. Arra próbálna utalni, hogy a párhuzamos egyenesek nem metszik egymást. Az euklidészi síkon tulajdonképpen ez is elég lenne, de görbült síkokon szerintem már nem jól működik. A helyes definíció: az e egyenestől adott távolságban futó párhuzamos egyenes azon pontok összessége a síkban, amelyek e egyenestől az adott távolságban helyezkednek el (az egyenes adott oldalán). Ezzel a definícióval görbült síkokon is maximum egy párhuzamos "egyenes" húzható.
Ha valaki esetleg egyszerűen le tudná írni hogyan illeszthetők be ábrák egy hozzászólásba paint-ből (jpg), vagy word-ből -kérem írja le, mert a további gondolataimat ábra nélkül nem tudom érthetően föltenni.
|
