Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: nem euklideszi geometria

  [1]    [2]    [3]    [4]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[60] marcius82013-02-01 17:28:32

Elnézést kérek mindenkitől, az [57] hozzászólásomat pontosítom: Juliska három gyurmagolyóból összegyúrva egyetlen gyurmagolyót készít, a gyurmagolyók sugarai 16cm, 68cm, 88cm. Jancsi három gyurmagolyóból összegyúrva egyetlen gyurmagolyót készít, a gyurmagolyók sugarai 35cm, 70cm, 85cm. Kinek lesz nagyobb sugarú gyurmagolyója? A megoldáshoz fel kell használni, hogy az "r" sugarú gömb térfogata "lambda" paraméterű elliptikus térben: V=2*lambda*lambda*pi*r-lambda*lambda*lambda*pi*sin(2r/lambda), "lambda" paraméterű hiperbolikus térben: V=lambda*lambda*lambda*pi*sh(2r/lambda)-2*lambda*lambda*pi*r, euklideszi térben V=4*pi*r*r*r/3. (ez utóbbi képlet előáll a nem euklideszi esetekben felírt képletek határértékeként, ha lambda-->végtelen.)

[59] Lóczi Lajos2013-02-01 16:48:13

Jancsinak lesz nem kisebb gyurmagolyója.

Előzmény: [57] marcius8, 2013-02-01 15:56:31
[58] marcius82013-02-01 16:14:46

Sok fizikai problémát is érdemes megvizsgálni euklideszi geometriában és nem euklideszi geometriában.

1. A fénytörés (Snellius-Descartes) törvény alakja tetszőleges geometriában ugyanúgy néz ki, ha elfogadjuk, hogy a Fermat-elv mindig érvényes. (Fermat-elv: a fény egy pontból egy másik pontba úgy igyekszik eljutni, hogy az út megtételéhez szükséges idő a lehető legrövidebb legyen. Fénytörés: Egy fény két közeg határfelületére érve úgy törik meg, hogy a fény beesési szögének szinuszának és a fény törési szögének szinuszának hányadosa mindig a két közegre jellemző mennyiség, az úgynevezett törésmutató.) Speciális esetként a vékony lencse (tükör) nevezetes sugármeneteit illetve a vékony lencse (tükör) leképezési törvényét is meg lehet vizsgálni.

2. Az "m" tömegű bolygó gravitációs terének vizsgálata. Ehhez szükséges tudni, hogy az "r" sugarú gömb felszíne "lambda" paraméterű hiperbolikus geometriában A=4*pi*lambda*lambda*sh(r/lambda)*sh(r/lambda), "lambda" paraméterű elliptikus geometriában A=4*pi*lambda*lambda*sin(r/lambda)*sin(r/lambda), euklideszi geometriában A=4*pi*r*r. Talán ennek a problémakör megoldásának ismeretében meg tudjuk-e állapítani a gravitációs térerősség mérésével, hogy milyen paraméterű és milyen geometriában vagyunk?

3. A speciális relativitás elve. A Lorentz transzformáció hogyan néz ki euklideszi geometriában illetve nem euklideszi geometriában?

4. Ez ugyan nem fizika, hanem szerkeszthetőség. Euklideszi geometriában a kör nem négyszögesíthető, a négyzet oldala és átlója nem összemérhető, a szabályos ötszög oldala és átlója nem összemérhető. Nem-euklideszi geometriában van négyszögesíthető kör, van olyan négyzet, amelynek oldala és átlója összemérhető, van olyan szabályos ötszög, amelynek oldala és átlója összemérhető.

[57] marcius82013-02-01 15:56:31

"FM" hozzászólónak: A feladatodra (egyenlőre) nem találtam olyan megoldást, amilyet szeretnél. Bár nem mindenki szereti a trigonometriát, különösképpen a nem-euklideszi síkbeli trigonometriát, de néhány érdekességet a teljesség igénye nélkül leírok, amelyet érdemes végiggondolni.

1. A húrnégyszögekre vonatkozó Ptolemaiosz-tételt (lásd korábbi hozzászólásomat) csak olyan húrnégyszögre igazoltam, amelynek csúcsai egy körön vannak. Érdemes kiszámolni az "a", "b", "c", "d" oldalú "s" félkerületű húrnégyszög köré írt kör sugarát és területét. Érdemes azt is végigszámolni, hogy az "a", "b", "c", "d" oldalú csuklós négyszögek közül melyiknek maximális a területe, eredményként az adódik, hogy ekkor annak a csuklós négyszögnek maximális a területe, amelyre teljesül a Ptolemaiosz-összefüggés.

Sok számolást lehetne még elvégezni, de ami a szemléletnek ellentmondani látszik, az a következő feladat: Jancsi három gyurmagolyóból összegyúrva egyetlen gyurmagolyót készít, a gyurmagolyók sugarai 16cm, 68cm, 88cm. Jancsi három gyurmagolyóból összegyúrva egyetlen gyurmagolyót készít, a gyurmagolyók sugarai 35cm, 70cm, 85cm. Kinek lesz nagyobb gyurmagolyója? A megoldáshoz fel kell használni, hogy az "r" sugarú gömb térfogata "lambda" paraméterű elliptikus térben: V=2*lambda*lambda*pi*r-lambda*lambda*lambda*pi*sin(2r/lambda), "lambda" paraméterű hiperbolikus térben: V=lambda*lambda*lambda*pi*sh(2r/lambda)-2*lambda*lambda*pi*r, euklideszi térben V=4*pi*r*r*r/3. (ez utóbbi képlet előáll a nem euklideszi esetekben felírt képletek határértékeként, ha lambda-->végtelen.)

[56] Fálesz Mihály2013-01-30 13:55:04

Én nem a Ptolemaiosz-tétellel folyatnám (a képleteidet nem ellenőriztem), és a nemeuklideszi trigonometria sem okoz túl nagy esztétikai élményt.

Nézzük inkább két kör hatványvonalát. A feladat a következő:

Adott (egyelőre az euklideszi) síkban két körvonal, k1 és k2, mondjuk egymáson kívül. Egy P pontot nevezzzünk érdekesnek, ha P-ből ugyanolyan hosszú érintő szakaszt lehet húzni k1-hez és k2-höz. Az iskolában tanultuk, hogy az érdekes pontok egy egyenesen vannak. A kérdés az, hogy miért vannak egy egyenesen.

Az kevés, hogy számolással ellenőrizhetjük. Olyan bizonyítást keressünk, amiből közvetlenül, számolás nélkül derül ki, hogy a hatványvonal tényleg egy egyenes.

Előzmény: [52] marcius8, 2013-01-30 12:48:36
[55] Fálesz Mihály2013-01-30 13:27:13

OK.

(Én továbbra is úgy szeretem jobban kimondani, hogy a csúcsok egy cikluson vannak, ahol a "ciklus"-ba beleértem a kört, a para/horociklust és a hiperciklust is.)

Előzmény: [54] marcius8, 2013-01-30 13:15:25
[54] marcius82013-01-30 13:15:25

Csakugyan van olyan négyszög a hiperbolikus geometriában melynek két szemközti szögének az összege egyenlő a másik két szemközti szögének összegével, ugyanakkor a négyszög csúcsai nincsennek egy körön, ennek oka, hogy ebben az esetben a négszög oldalfelező merőlegesei nem metszik egymást. Köszönöm az észrevételt, erre a következőkben is oda fogok figyelni. Akkor nagy hirtelen pontosítok a tételen: Egy konvex négyszög oldalfelező merőlegesei pontosan akkor tartoznak ahhoz a sugársorhoz, ha a konvex négyszög két szemközti szögének összege egyenlő a konvex négyszög másik két szemközti szögének az összegével. Ha a konvex négyszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, akkor a négyszög csúcsai egy körön találhatóak, tehát a négyszög klasszikus értelemben is húrnégyszög.

Előzmény: [53] Fálesz Mihály, 2013-01-30 13:04:21
[53] Fálesz Mihály2013-01-30 13:04:21

"A húrnégyszöget úgy értelmezem (...), hogy olyan négyszög, amelynek minden csúcsa ugyanazon a körön(!!!) van."

Ebben az esetben az állításod nem igaz. Hiperbolikus geometriában van olyan ABCD négyszög, amiben A\angle+C\angle=B\angle+D\angle, a csúcsok még sincsenek egy körön. (Sőt, semelyik három csúcs nincs egy körön...)

Előzmény: [52] marcius8, 2013-01-30 12:48:36
[52] marcius82013-01-30 12:48:36

"FM" hozzászólónak: A húrnégyszöget úgy értelmezem (euklideszi geometriában és nem euklideszi geometriában egyformán), hogy olyan négyszög, amelynek minden csúcsa ugyanazon a körön(!!!) van. Esetleg még érdemes átgondolni, hogy tetszőleges geometriában a húrnégyszögekre vonatkozó Ptolemaiosz-tétel hogyan fogalmazható meg, vagy tetszőleges geometriában a húrnégyszög területe hogyan határozható meg a húrnégyszög négy oldalának ismeretében.

Pl. Ptolemaiosz-tétel: Legyen "a", "b", "c", "d" a húrnégyszög négy oldala ebben a sorrendben, és legyen "e", "f" a húrnégyszög két átlója.

Euklideszi geometria: e*f=a*c+b*d

"lambda" paraméterű elliptikus geometria:

sin(e/(2*lambda))*sin(f/(2*lambda))=sin(a/(2*lambda))*sin(c/(2*lambda))+sin(b/(2*lambda))*sin(d/(2*lambda))

"lambda" paraméterű hiperbolikus geometria:

sh(e/(2*lambda))*sh(f/(2*lambda))=sh(a/(2*lambda))*sh(c/(2*lambda))+sh(b/(2*lambda))*sh(d/(2*lambda))

Érdemes észrevenni, hogy ha "lambda"-->végtelen, akkor az elliptikus geometria és a hiperbolikus geometria tart az euklideszi geometriához, és ekkor a nem-euklideszi geometriában kimondott Ptolemaiosz-tételek tartanak az euklideszi geometriában kimondott Ptolemaiosz-tételhez.

[51] Fálesz Mihály2013-01-28 13:56:59

Ha a hiperbolikus síkot a projektív síkba (elliptikus geometriába) ágyazzuk be a Klein-modellel, akkor egy görbének látszanak.

Ha viszont a hiperbolikus síkot az inverzív síkba (gömbi geometriába) ágyazzuk be valamelyik Poincaré-modellel, akkor különböző görbének látszanak.

Előzmény: [47] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-28 12:23:00
[50] Fálesz Mihály2013-01-28 13:42:45

A kérdés nem a bizonyításra irányult, hanem elsősorban a "húrnégyszög" fogalmának tisztázására.

Előzmény: [48] marcius8, 2013-01-28 13:29:25
[49] Vonka Vilmos Úr2013-01-28 13:40:19

A húrnégyszögek tételének ez a hiperbolikus általánosa igen szép (és úgy látom, elég friss) eredmény (én legalábbis 2009-es és 2011-es hivatkozásokat találtam rá).

Tisztázni kell azonban előtte, hogy mit is értünk a hiperbolikus síkon húrnégyszögön. Ahhoz, hogy ilyen tételt fogalmazhassunk meg, a húrnégyszögeket a következő módon érdemes definiálni: olyan négyszög, amelynek csúcsai egy körre, horociklusra, vagy egy ekvidisztáns görbe egy ágára illeszkednek.

Előzmény: [48] marcius8, 2013-01-28 13:29:25
[48] marcius82013-01-28 13:29:25

Sokan hivatkoznak a CK-modellre, ami nem baj. De szerintem az igazi nem-euklideszi geometria az, ha a tételeket közvetlenül, nem pedig modell alapján bizonyítjuk, azaz mintha nem-euklideszi síkra születtünk volna.

Más: Korábbi hozzászóló kérdezte a húrnégyszögek tételét: tetszőleges geometriában egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a négyszög két szemközti szögének az össszege egyenleő a négyszög másik két szemközti szögének összegével. Euklideszi geometriában ennél több is igaz: Egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a négyszög két szemközti szögének az összege 180° és a négyszög másik két szemközti szögének az összege 180°. Ennek bizonyítását nem írom ide, de ha az említett hozzászóló kéri, elküldöm e-mail-ben a tétel bizonyítását.

Bertalan Zoltán (marcius8)

[47] Vonka Vilmos Úr2013-01-28 12:23:00

Persze, az a Klein-modellben is látszik, hogy a szóban forgó ekvidisztáns görbéknek két ága van, hiszen van két "végtelen távoli pontjuk".

Előzmény: [45] Fálesz Mihály, 2013-01-28 12:10:16
[46] jonas2013-01-28 12:10:39

Ja értem! Három olyan ekvidisztáns görbe van, aminek a két ágán együtt van rajta a három csúcs.

Előzmény: [44] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-28 11:35:06
[45] Fálesz Mihály2013-01-28 12:10:16

Nekem azért fenntartásaim vannak ezzel.

Arról van ugye szó, hogy az egyenes két oldalán két, állandó görbületű görbét (távolsággörbe, hiperciklus stb.) alkotnak azok a pontok, amik az egyenestől adott távolságra vannak. Ha akarjuk, és a Klein/modellben nézzük, akkor ez a két görbe valójában egy, hasonlóan az euklieszi hiperbola két ágához. Ha viszont valamelyik Poincaré/modellben nézzük, akkor kiderül, hogy két látványosan különböző görbéről van szó. A félgöbbmodell mutatja legjobban, hogy mi az oka ennek a kettősségnek. Ezt majd lerajzolom.

* * *

De mindez csak a lényegről elterelő mellékszál, és kb. annak a kérdésnek felel meg, hogy a euklideszi háromszög köré írt kört általánosítja-e az a három párhuzamos egyenespár, ami szintén tartalmazza-e a csúcsokat.

Inkább térjünk vissza a kérdéshez: láttuk, hogy minden háromszög köré írható egy állandó görbületű, összefüggő görbe, ami lehet kör, vagy paraciklus (angolban ikább horociklusnak nevezik), vagy hiperciklus. Kérdés a topiknyitóhoz: Hogy is volt az a dolog a húrnégyszögekkel?

Előzmény: [44] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-28 11:35:06
[44] Vonka Vilmos Úr2013-01-28 11:35:06

A hiperbolikus háromszög mindhárom középvonala egy-egy ilyen ekvidisztáns görbe tengelye. (Ennek a ténynek a megfelelője az euklideszi síkon is igaz: mindegyik oldalegyenes és a szemköztes csúcson át azzal húzott párhuzamos, mint párhuzamos egyenespár, egy ilyen ekvidisztáns görbe.)

A bizonyítás elemi úton pl. Coxeter Non-Euclidean Geometry c. könyvében megtalálható (9.67.). Érdekes az előző hozzászólásomban említett projektív megközelítés is: például ebben a jegyzetben a 144. oldalon található meg három pontra illeszkedő, adott kúpszeletet kettősen érintő kúpszelet szerkesztése. Ha a k kúpszelet a Klein-modell határköre, akkor éppen a hiperbolikus sík adott háromszöge köré írt ekvidisztáns görbe meghatározását jelenti a feladat. A jegyzet ábráján adódó X és Y pontok ekkor pontosan a megfelelő háromszögoldalak felezőpontjai (a hiperbolikus felezőpont a modellben ugyanis éppen egy olyan pontpár belső eleme, ami konjugált a határkörre nézve és harmonikusan választja el a szakasz végpontjait). Tehát a jegyzetben olvasható szerkesztés éppen azt mutatja, hogy a középvonalak mindig egy-egy megfelelő ekvidisztáns görbe tengelyei. A negyedik ekvidisztáns görbe pedig pontosan akkor jön létre, ha az ábrán szereplő X'Y' szakasz metszi a modellkört. Mivel X'Y' éppen a felezőmerőlegesek által alkotott sugársor tartópontjának polárisa, ez pontosan akkor igaz, ha a felezőmerőlegesek közös pontja "kívül esik a hiperbolikus síkon" - tehát ha a háromszög köré nem írható kör.

Előzmény: [43] jonas, 2013-01-28 10:16:28
[43] jonas2013-01-28 10:16:28

Ebből a három ekvidisztáns görbét nem értem. Én azt hittem, hogy mindig csak nulla vagy egy ekvidisztáns görbe lehet, ami a háromszög három csúcsán átmegy.

Előzmény: [42] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-26 16:39:52
[42] Vonka Vilmos Úr2013-01-26 16:39:52

Valóban, a hiperbolikus geometria tételeit legegyszerűbben a modellekben bizonyíthatjuk be. Például az említett Klein-modellben csak le kell fordítani a szóban forgó tételt a projektív geometria "nyelvére", és azzal a gazdag eszköztárral már jóval könnyebb a tételeket bizonyítani. (Persze ehhez azt is tudnunk kell, hogy a hiperbolikus síknak izomorfia erejéig egyetlen modellje van - ennek belátásához kell az említett kiegészítés az ideális elemekkel.) Érdekes feladat például a háromszögek oldalfelező-merőlegeseire vonatkozó említett tételt megfogalmazni a Klein-modellben és a kapott állítást projektív geometriai úton bebizonyítani.

Ha egy háromszög köré nem írható kör, abban az esetben is írható köré másféle ciklus (ez egy rögzített pontnak egy sugársor elemeire vett tükörképeinek halmaza). Tulajdonképpen ez az állítás szoros összefüggésben van azzal, hogy a felezőmerőlegesek sugársort alkotnak. Ha ugyanis ennek a sugársornak a tartópontja éppen a modellkörön van, akkor a háromszög köré ún. paraciklus ("végtelen sugarú kör") írható. Ha pedig a sugársor tartópontja a modellkörön kívül esik, a háromszög köré nem 3, hanem 4 ekvidisztáns görbe írható. (Ezek egy adott egyenestől adott távolságra levő pontok halmazai, amik a hiperbolikus síkon nem egyenesek, hanem a Klein-modellben a modellkört kettősen érintő ellipszisek.) Szintén érdekes feladat lehet (haladóknak...) a háromszög köré írható ekvidisztáns görbék szerkesztését a modellben a projektív geometria módszereivel elvégezni. A szerkesztésből ugyanis leolvasható, hogy éppen akkor van 4 megoldás, ha a felezőmerőlegesek által alkotott sugársor tartópontja a modellkörön kívül esik, egyébként a megoldások száma 3.

Előzmény: [40] Fálesz Mihály, 2013-01-24 16:06:41
[41] Alma2013-01-24 22:09:10

Helyes, de szerintem ne beszéljünk többet erről itt, mert szerintem túltárgyaltuk, és ennek nem sok köze volt a nem euklideszi geometriához.

Előzmény: [39] Zilberbach, 2013-01-24 14:39:06
[40] Fálesz Mihály2013-01-24 16:06:41

Pont az ilyen megállapítások mutatják, hogy milyen nagy szükség van a modellekre. Sugársorról sokkal könnyebb beszélni akkor, ha a hiperbolikus síkot kiegészítjük ideális (végtelen távoli, sőt végtelenen túli) elemekkel.

Például a Klein-modellben a hiperbolikus síkot (teret) beágyazzuk a valós projektív síkba (térbe). A látszólag három különböző sugársor típus csak abban különbözik, hogy a közös pontjuk a modell belsejében, a modell határán vagy a modellen kívül van.

De még mindig van mit rágni a kérdésen: mi mondhatunk akkor, ha egy háromszög köré nem lehet kört írni?

Előzmény: [38] Vonka Vilmos Úr, 2013-01-24 10:57:46
[39] Zilberbach2013-01-24 14:39:06

Ha a definíciód szerinti alfa szög csúcsa A pont, a béta szög csúcsa B pont, akkor az egyenesen az A és B pont közötti C, harmadik "csúcspont" az elfajult háromszögbe írható kör középpontja. Indoklás: a beírható körnek érintenie kell mindhárom oldalt.

Előzmény: [37] Alma, 2013-01-24 03:04:00
[38] Vonka Vilmos Úr2013-01-24 10:57:46

A hiperbolikus sík háromszögeinek oldalfelező merőlegeseivel kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy bár valóban nem mindig van közös pontjuk, az mindig teljesül, hogy sugársort alkotnak. Ez azt jelenti, hogy a következő esetek valamelyike áll fenn:

- van közös pontjuk;

- határpárhuzamosak;

- van közös merőlegesük.

Előzmény: [31] marcius8, 2013-01-23 12:29:11
[37] Alma2013-01-24 03:04:00

Még egy apró kiegészítés: Ha a sorozatbeli háromszögek körülírható körének és beírható körének középpontjának koordinátáiból képezünk sorozatokat, akkor a beírható kör középpontjának koordinátáiból álló sorozatok konvergensek lesznek, míg a körülírható kör középpontjának (legalább) egy koordinátájának sorozata nem lesz konvergens, "a körülírható kör középpontja a végtelenben van".

Gondolkodj el azon, hogy hol van az elfajult háromszög beírható körének középpontja az én definícióm szerint!

Előzmény: [36] Alma, 2013-01-23 23:52:04
[36] Alma2013-01-23 23:52:04

Ezeket a "maszatolásokat" meg lehet fogalmazni (legalább félig) korrektül is. Vegyünk egy olyan háromszögekből álló sorozatot, amelyeknek egyik oldala fix hosszúságú, és az azon lévő két szög (\alpha és \beta) egyre kisebb lesz. Ha vesszük az \alpha-kból álló, illetve a \beta-kból álló sorozatokat, akkor legyenek ezek konvergensek, és határértékük legyen nulla. Így a háromszögekből álló sorozat olyan lesz, amely (bizonyos értelemben "konvergens") és "határértéke" egy olyan "háromszög", amelynek három csúcsa egy egyenesre esik.

Na most fogadjuk el a következő definíciót:

Legyen a limeszként kapott "háromszög" (melynek csúcsai egy egyenesre esnek)

a) körülírható körének sugara az a szám, amely a sorozatbeli háromszögek körülírható köreinek sugaraiból képzett sorozat határértéke,

b) beírható körének sugara az a szám, amely a sorozatbeli háromszöget beírható köreinek sugaraiból képzett sorozat határértéke.

Belátható, hogy az a)-beli határérték nem létezik, "a körülírható kör sugara végtelen". A b)-beli sorozatnak létezik határértéke, és ez 0, a beírható kör sugara 0.

Tömören: ha valahogy értelmezni akarod az elfajult háromszöged beírható és körülírható körének a sugarát, akkor a beírható kör sugara 0, a körülírható köré végtelen. Ettől még persze nem lesz jól definiált a körülírható kör, a beírható körrel szerintem nincs gond, bár én nem vagyok járatos a matematikában, ez ilyen fizikus definíció volt. :)

Előzmény: [34] Zilberbach, 2013-01-23 22:03:20

  [1]    [2]    [3]    [4]