KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Játékszabályok
Technikai info
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - nem euklideszi geometria

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[92] marcius82017-01-04 09:03:08

Nem-euklideszi geometria: Paralelogramma olyan négyszög, amelyre a következő tulajdonságok teljesülnek: 1. Középpontosan szimmetrikus. 2. Szemközti oldalak egyforma hosszúak. 3. Szemközti szögek egyforma nagyságúak. 4. Átlók felezik egymást.

Az euklideszi geometriában a paralelogrammának két további tulajdonsága is van: 5. Szemközti oldalak párhuzamosak. 6. Szomszédos szögek összege 180°. Ez a két tulajdonság a nem- euklideszi geometriában nem teljesülhet.

Én legalábbis ezt értem paralelogramma alatt.

Előzmény: [91] jonas, 2017-01-04 02:26:12
[91] jonas2017-01-04 02:26:12

Paralelogramma alatt itt középpontosan szimmetrikus négyszöget értsz, ugye?

Előzmény: [90] marcius8, 2017-01-03 10:23:39
[90] marcius82017-01-03 10:23:39

Akkor én is mondok egy feladatot: Ismert az elliptikus vagy hiperbolikus síkon egy paralelogrammának a szögei és ismert ugyanennek a paralelogrammának az átlóinak a hajlásszöge. Mekkorák a paralelogramma oldalai?

[89] marcius82017-01-03 10:18:52

Érdekes feladat, biztosan fogok rajta gondolkozni. Gyanítom, hogy a hiperbolikus síkon az egyenlőtlenség megfordul....

Előzmény: [88] Fálesz Mihály, 2016-12-19 12:29:05
[88] Fálesz Mihály2016-12-19 12:29:05

Egy gömbháromszög szögei \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\), a velük szemközti oldalívek hossza \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle a\cdot \cos\beta + b \cdot\cos\alpha < c. \)

(IMC2002/2/4; KöMaL A. 298.)

Az euklideszi síkban egyenlőség lenne.

Előzmény: [87] Sinobi, 2016-12-17 02:22:55
[87] Sinobi2016-12-17 02:22:55

Első "feladat":

Legyenek az \(\displaystyle S^2\) gömbön most a "pontok" az ellentétes pontpárok, a szakaszok az ellentétes szakaszpárok, egy szakasz "belső felezőpontja" a felezőpontja, a "külső felezőpontja" pedig ugyanannak a szakasz végpontjainak másik felezőpontja, amelyik nem esik rá a szakaszra (merőleges a belső felezőponttal).

BBH.: Egy tetszőleges gömbháromszög három oldalának külső felezőpontjai egy egyenesre esnek. (Ez könnyű.)

Hol van ennek az egyenesnek a "középpontja"?

BBH.: Két belső felezőpont egyenese átmegy egy külső felezőponton. (Tehát ugyanaz a konfiguráció, mint mondjuk a három kör hasonlósági pontjainál áll fenn.)

Milyen állítást kapunk a síkon, ha ezeket az állításokat levetítjük?

Milyen összefüggést kapunk, ha az ábrának vesszük a duálisát a gömbön, azaz, pontpárból merőleges főkört, főkörből merőleges pontpárt képzünk?

((Van-e ennek az állításnak analogonja \(\displaystyle S^3\)-ban tetraéderre?))

- - - - - - -

.. én nem igazán ismerek/találok jó gömbi feladatokat. Szóval szívesen veszem őket.

[86] Sinobi2016-12-17 02:03:01

Talán méltatlanul van/volt hanyagolva a gömb. Az inverziók elmélete itt teljes, a három dimenziós euklideszi térben hasznos ismerni, a projektív geometria állításai is sokkal szebbek a gömb saját geometriájában, stb.

Még ha épp ezért is úgy érezzük, hogy szinte teljesen ismerjük a gömböt (a reciprocitás, proj.geo. stb eredményei révén), akármikor szembejöhet olyan feladat, amelyik véletlenül a gömbök egy "saját" tételének vetülete a síkon, ...

[85] Sinobi2016-08-24 18:22:15

Az ábrán látható a szög "duplázása", vagyis a "dupla" szögnek megfelelő ív megszerkesztése.

Nyilván ez valamilyen módon additív kell legyen hogy legyen értelme a kérdésnek, ellipszisre momentán a sima szög, csak elaffinítva.

A paraboláknak is saját esetük van.

Előzmény: [84] jonas, 2016-08-24 14:07:42
[84] jonas2016-08-24 14:07:42

Ha a kúpszelet kör, akkor ez a szokásos szöggel egyezik meg. Ha a kúpszelet ellipszis, akkor alkalmazzunk az egész síkra egy olyan affinitást, amitől kör lesz, ez az általad definiált szöget nem változtatja meg. Ha hiperbola, akkor más a helyzet, ilyenkor ezt a szöget nem lehet visszavezetni a kör esetére, tehát két lényegesen különböző eset van. Azt nem tudom, hogy olyankor szögfelezőt hogy lehet szerkeszteni.

Előzmény: [82] Sinobi, 2015-07-26 20:36:28
[83] Sinobi2016-08-24 11:15:15

[S1]. Feladat (Az S engem jelöl) Érzékelik-e egy síknégyzet lakói geometriailag, ha feltekerem a világukat egy hengerré? (megváltozik-e a távolság, szög lokálisan, globálisan, az egyenesek vonalai?)

És ha rétessé tekerem fel őket, azaz, nem ugyanakkora görbülettel mindenhol?

[82] Sinobi2015-07-26 20:36:28

Két egyenes közti szöget definiáljuk a következőképp:

1: ha e||e' és f||f', akkor ef< = e'f'< 2: adott egy c kúpszelet, és rajta AB pontok. A kúpszelet egyik ívének minden pontjából ugyanakkora szögből látszódik AB.

(ez a két megkövetelt tulajdonság nem vezet ellentmondásra)

Kérdés: Hogyan szerkesztünk szögfelezőt minél egyszerűbben?

(ábra: ha ily módon másolok át szöget-ívet, akkor a kék pont helyzetétől függetlenül a kék szaggatott egyenes ugyanazt a pontot metszi ki c-ből)

[81] marcius82015-06-30 08:22:10

Köszönöm az útmutatást, de a Coxeter könyvben ezek az ekvivalenciák nem szerepelnek. Tisztelettel: Bertalan Zoltán.

Előzmény: [80] jonas, 2015-06-28 15:01:03
[80] jonas2015-06-28 15:01:03

Az ilyesmi sajnos kicsit függ attól, hogy mi mást feltételezel. Mindenesetre javaslom, hogy olvasd el Coxeter könyvét, ami vagy ezeket, vagy valami nagyon hasonlót bebizonyít.

H. S. M. Coxeter, A geometriák alapjai, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1973, eredeti cím “Introduction to geometry”. Nagyon jó könyv, megvenni nehéz volt régebben, de könyvtárban megtalálod; viszont úgy tűnik, van két új kiadás, az egyik Typotex, 2010, azt lehet, hogy meg is tudod venni.

Előzmény: [79] marcius8, 2015-06-27 18:35:54
[79] marcius82015-06-27 18:35:54

Segítséget kérek: Bizonyítsuk be a következő ekvivalenciákat:

HIPERBOLIKUS GEOMETRIA

Adott a síkon egy egyenes és adott a síkon egy pont, amely nincs rajta az egyenesen. Ekkor végtelen sok olyan egyenes létezik a síkon, amely átmegy az adott ponton és nincs közös pontja az adott egyenessel.

A háromszög belső szögeinek összege kisebb 180°-nál.

EUKLIDESZI GEOMETRIA

Adott a síkon egy egyenes és adott a síkon egy pont, amely nincs rajta az egyenesen. Ekkor pontosan egy olyan egyenes létezik a síkon, amely átmegy az adott ponton és nincs közös pontja az adott egyenessel.

A háromszög belső szögeinek összege 180°.

ELLIPTIKUS GEOMETRIA

Adott a síkon egy egyenes és adott a síkon egy pont, amely nincs rajta az egyenesen. Ekkor nincs olyan egyenes a síkon, amely átmegy az adott ponton és nincs közös pontja az adott egyenessel.

A háromszög belső szögeinek összege nagyobb 180°-nál.

[78] marcius82014-11-11 15:02:25

Van nem-euklideszi geometriában is koordináta-geometria. Speciel, én a következőképpen értelmezem egy pont koordinátáit egy derékszögű koordináta-rendszerben: Legyen "x" a "P" pontnak az első tengelyre eső merőleges vetületének az origótól mért távolsága. Legyen "y" a "P" pontnak a második tengelyre eső merőleges vetületének az origótól mért távolsága. (Ammenyiben térbeli - 3D - koordináta-rendszerről van szó, akkkor legyen "z" a "P" pontnak a harmadik tengelyre eső merőleges vetületének az origótól mért távolsága.) Ekkor egy alakzat egyenlete az alakzaton levő akármelyik pont, és csak az alakzaton levő pont koordinátái között fenálló összefüggést jelenti. Így pl. le lehet vezetni két ponton átmenő egyenes egyenletét (ezt érdemes). Érdemes levezetni origó középpontú kör, ellipszis, hiperbola, parabola egyenletét (nekem sikerült). Az így kiépített koordináta-geometria segítségével sok tétel bizonyítható (pl. pascal-tétel, teljes négyoldal, teljes négyszög, stb..). Tisztelettel: Bertalan Zoltán.

Előzmény: [77] Sinobi, 2014-11-10 22:29:42
[77] Sinobi2014-11-10 22:29:42

Gombfelszinen a Pascal-tetel igaz egyenesparra illetve korre (bizonyitas?).

Milyen gorbekre igaz me'g ezeken kivul?

[76] Sinobi2013-12-11 22:22:15

A. 599. A P1 és P2 parabolák fókuszpontja közös. A P1 vezéregyenese a P2-t az A és B pontokban, a P2 vezéregyenese pedig a P1-et az C és D pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az A, B, C és D pontok egy körön vannak.

megoldásvázlat:

1: a két vezéregyenes E pontban metszi egymást

2: a két parabola metszi egymást G és H pontokban

3: G és H középponttú, F fókuszon átmenő körök \implies GH egyenes átmegy E-n, és a vezéregyenesek szögfelezője

4: levetítem a G és H pontokat merőlegesen a vezéregyenesekre, kapom G', H', G'', H'' pontokat, és EG'*EH'=EG''*EH''

5: a Galilei-geometria szelőtétele* értelmében EA*EB=EG'*EH'=EG''*EH''=EC*ED

6: a szelőtétel megfordítása miatt ABCD húrnégyszög

*ha adott egy y tengelyirányú parabola és egy E pont, akkor az E ponton át húzott két tetszőleges szelő A,B és G és H metszéspontjaira igaz lesz, hogy az EA, EB és EG EH szakaszok x tengelyre vett vetületének hosszainak szorzatai megegyeznek.

[75] Sinobi2013-11-14 22:33:13

,,B. 4564. Mutassuk meg, hogy ha n+1<k<2n, akkor n különböző egyenes nem oszthatja a síkot k részre."

Mely axiómák szükségesek ennek az állításnak a bizonyításához? Milyen állításokat kapunk, ha azokat megváltoztatjuk?

[74] Sinobi2013-05-17 18:58:54

Az I. pont hogyan bizonyítja, hogy benne van a két gömb szimmetriasíkjában?

Előzmény: [73] Fálesz Mihály, 2013-05-17 17:40:50
[73] Fálesz Mihály2013-05-17 17:40:50

A két gömb ugyanakkora.

A P pontból ugyanolyan hosszú érintőt lehet húzni a két gömbhöz.

Az I. pont szerint P benne van a két gömb szimmetriasíkjában.

Előzmény: [72] Sinobi, 2013-05-17 16:54:19
[72] Sinobi2013-05-17 16:54:19

,,Ezek az érintők a két gömböt is érintik, tehát P benne van a két gömb szimmetriasíkjában"

Ezt nem látom.

Előzmény: [71] Fálesz Mihály, 2013-05-16 10:40:19
[71] Fálesz Mihály2013-05-16 10:40:19

A következőre gondoltam.

I. Ha a két kör sugara egyenlő, akkor az érdekes pontok a két kör szimmetriatengelyén (térben a két gömb szimmetriasíkján) vannak. Ha a két középpont O1 és O2, a P egy érdekes pont, a két érintő szakasz PT1 és PT2, akkor a PO1T1 és PO2T2 derékszögű háromszögekben PT1=PT2 és O1T1=O2T2, vagyis a két háromszög egybevágó, tehát PO1=PO2. Ebből kövekezik, hogy P az O1O2 szakasz felező merőlegesén van.

II. Általában kilépünk a térbe, és két, ugyanakkora sugarú gömböt illesztünk a két körre:

Vegyünk egy P érdekes pontot a síkban, ahonnan egyforma hosszú érintőt lehet húzni a két körhöz. Ezek az érintők a két gömböt is érintik, tehát P benne van a két gömb szimmetriasíkjában -- is.

A két gömb két különböző körben metszi az alapsíkot, ezért a két sík nem eshet egybe. Az érdekes pontok tehát a két sík metszésvonalára esnek.

Előzmény: [70] Sinobi, 2013-05-08 15:54:04
[70] Sinobi2013-05-08 15:54:04

ahol a körök hatványai egyenlők:

Előzmény: [56] Fálesz Mihály, 2013-01-30 13:55:04
[69] gyula602013-04-04 17:52:04

Előző hozzászólást még kiegészíteném azzal a gondolattal, hogy hiány (defektus) nemcsak szögek esetén, hanem hosszméretek esetén is jelentkezhet.

Ha mégis létezik a [63]-[67] alatt felvázolt "lemniszkáta trigonometria", akkor egyik adósság még a háromszögalkotás feltételei. Az euklideszi geometria elfajuló háromszögei itt is elfajulóak lesznek.

Egyenlő szárú háromszögeinek vizsgálatainál vettem észre, hogy az hosszhiány a derékszögű háromszögek esetén volt a legnagyobb. Az elfajuló háromszögek esetén nem beszélhetünk hiányról.

A lemniszkáta függvények ívmértéke pontosan ugyanúgy rendelhető a fok mértékegységhez, mint a közismert ívmértékek esetén. \alpha=\frac{\pi_m\alpha^\circ}{180^\circ}

Előzmény: [67] gyula60, 2013-04-03 14:16:40
[68] marcius82013-04-04 08:24:38

Érdemes végiggondolni a következő tételeket

Van olyan háromszög, amelynek belső szögösszege kevesebb, mint 180 fok ==> Minden háromszög belső szögösszege kevesebb, mint 180 fok <==> Adott egyeneshez és egy, az adott egyenesen nem levő adontt ponthoz végtelen sok olyan egyenes létezik, amelyek átmennek az adott ponton és nincs közös pontjuk az adott egyenessel. Egy háromszög szöghiányát úgy kell kiszámítani, hogy a pí-ből ki kell vonni a háromszög szögösszegét. Ekkor ha egy háromszöget feldarabolunk kisebb háromszögekre, akkor a feldarabolt háromszög szöghiánya egyenlő a kisebb háromszögek szöghiányával.

Van olyan háromszög, amelynek belső szögösszege több, mint 180 fok ==> Minden háromszög belső szögösszege több, mint 180 fok <==> Adott egyeneshez és egy, az adott egyenesen nem levő adontt ponthoz nem létezik egyenes, amely átmegy az adott ponton és nincs közös pontja az adott egyenessel. Hogy ekkor minden háromszög belső szögösszege pí, vagy 180°, vagy 400 újfok, vagy nem tudom, hogy mennyi, az attól függ, hogy a szöget milyen mértékegységben mérjük.

Van olyan háromszög, amelynek belső szögösszege 180 fok ==> Minden háromszög belső szögösszege 180 fok <==> Adott egyeneshez és egy, az adott egyenesen nem levő adontt ponthoz pontosan egy olyan egyenes létezik, amely átmegy az adott ponton és nincs közös pontja az adott egyenessel. Egy háromszög szögtöbbletét úgy kell kiszámítani, hogy a a háromszög szögösszegéből ki kell vonni pí-t Ekkor ha egy háromszöget feldarabolunk kisebb háromszögekre, akkor a feldarabolt háromszög szögtöbblete egyenlő a kisebb háromszögek szögtöbbletével.

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley