KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Technikai információk
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Fórum - szögharmadolás

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:
Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[11] Prof. Mózes2013-09-25 20:06:42

Az alábbi prezentációban szó esik arról, hogy miként lehet papírhajtogatással szöget harmadolni. De az is kiderül, hogy különleges görbékkel vagy betolóvonalzóval is elvégezhető a szögharmadolás:

Gáspár Merse Előd - 2010.07.19 - BERZETÖK önképző tábor - A papírhajtogatás matematikája.pdf

Az előadást megtaláljátok a neten, a linket csak azért nem tudtam berakni, mert nem engedte a különleges karaktereket megjeleníteni.

[10] Sinobi2013-06-04 21:39:17

Néhány egyszerű egykaptafa csinálmány feladat:

Ha ABC háromszögben C mozog, mit lehet tudni az A illetve B csúcsbeli szögharmadolók metszéspontjáról?

Rögzítsük A és B pontot. C fusson egy AB egyenesre merőleges/párhuzamos egyenesen, D legyen CAB és CBA szögharmadolóinak közelebbiknek/távolabbiknak a metszéspontja. Hol helyezkedik el D? Szerkesszünk olyan C pontot, hogy AD/CD párhuzamos legyen egy adott meredekségű egyenessel.

Amikor AC és BC a szögharmadolók, hol helyezkedik el a háromszög D csúcsa?

Legyen A és B pont rögzített, C futhat egy AB egyenesre merőleges/párhuzamos egyenesen. Legyen CA' egyenes ami átmegy A-n és CA' AB szög = 3 CAB, hasonlóan CB' egyenes átmegy B-n és CB' AB szög = 3 CBA, D ezek metszése. Szerkesszünk olyan C pontot, hogy AD/CD párhuzamos legyen egy adott meredekségű egyenessel / ABCD húrnégyszög legyen.

Amikor AB egyenes a szögharmadoló:

Legyen A B pont rögzített, C AB-re merőleges/párhuzamos egyenesen fusson. Legyen CA' egy A-n átmenő, AB-vel -2*CAB szöget bezáró egyenes, hasonlóan CB': átmegy B-n, AB-vel -2*CBA szöget zár be, D ezek metszéspontja. Szerkesszünk olyan C pontot, hogy AD/CD párhuzamos legyen egy adott egyenessel, ABCD húrnégyszög legyen.

Ez az eset valamivel érdekesebb, mint az előzők, itt még megfigyeléseket is lehet tenni D pályájával kapcsolatban. Lássuk be, hogyha C egy, AB-re merőleges egyenesen mozog, akkor D egy kúpszeletet ír le (ennek mondjuk Steiner-tételes vagy komplex függvényes lehet a megoldása), és lássuk be, hogyha C egy AB-vel párhuzamos egyenesen mozog, akkor D AB felezővonalán olyan távol lesz AB egyenestől, mint a C pont (lásd ábra)

[9] Sinobi2013-06-04 18:31:03

,,Még nem gondoltam át, de használható lehet, hogy egy belső és egy külső szög harmadolóegyeneseinek szögei 60 fokosak, "

hogyan?

Előzmény: [3] w, 2013-01-14 21:24:32
[8] w2013-04-30 18:52:28

Igen, ez a nemrég (talán a Nehezebb Problémák témában)emlegetett Galois-elmélet eredménye. Különösen szellemesnek tartom a "tomahawkos" szerkesztést. Itt.

Előzmény: [5] marcius8, 2013-01-17 09:59:46
[7] w2013-04-30 18:46:34

Találtam egy olyan feladatot, ami szögharmadolásra vonatkozik, ámde nem általános.

Legyen ABC háromszögben \beta=2\gamma és P az a pont a BC felezőmerőlegesén az ABC háromszögben, melyre AB=AP. Mutassuk meg, hogy AP harmadolja az \alpha szöget.

[6] w2013-04-30 18:43:40

Elhiszem.

Előzmény: [4] marcius8, 2013-01-17 08:06:56
[5] marcius82013-01-17 09:59:46

Még egyszer tisztelettel köszöntöm az eddigi hozzászólókat!!!

Azért tartom fontosnak a szögharmadolókra vonatkozó tételeket, mert geometriai szerkesztések során az euklideszi szerkesztési lépések a hivatalosan engedélyezettek, és ezek között nem szerepel a szögharmadolás. Így sok-sok matematikus csak azokat a geometriai alakzatokat vizsgálta, amelyek euklideszi szerkesztési szabályok szerint szerkeszthetőek. Pedig a szögharmadolás sem bonyolult szerkesztés (megtalálható az interneten). Így érdemes kutakodni a szögharmadolók körül, mert szerintem rengeteg tétel vár még felfedezésre.

Harmadfokú szerkesztésnek nevezem egy a racionális számok halmazában nem felbontható racionális együtthatójú polinom gyökének megszerkesztését. Így egy adott szög szerkesztése is harmadfokú szerkesztés, csakúgy mint a "déloszi probléma megoldása" és a "szabályos 7-szög szerkesztése". (Ezekről a témákról is található információ az interneten.) Szintén ilyen harmadfokú szerkesztés három szakasz mértani közepének szerkesztése (a "déloszi probléma" általánosítása). Itt megjegyzem, hogy aki tudja három szakasz számtani, mértani, harmonikus és más közepének kapcsolatát geometriai ábrán szemléltetni, azt kérem, hogy tegye közzé a fórumban. (Nekem három nem negatív szám számtani és harmónikus közepe közötti kapcsolatot sikerült szemléltetni geometriailag.)

Rengeteg geometriai probléma van, amelynek megoldása harmadfokú egyenlet megoldását jelenti. Ezt is azért tartom fontosnak megemlíteni, mert az euklideszi szerkesztési szabályok gyakori használata miatt sokan csak olyan problémát vizsgálnak, amelyeknek megoldása másodfokú egyenletek megoldását jelenti. Ha valakit érdekel, szívesen írok olyan geometriai problémát, amelynek megoldása harmadfokú egyenlet megoldását jelenti. Például egy ilyen: Adott a síkon két egymásra merőleges egyenes, és adott egy pont, amelyik az egyik adott egyenestől "p" távol van, a másik adott egyenestől "q" távol van. Szerkesztendő olyan egyenes, amely átmegy az adott ponton és amelynek a két adott egyenes közötti részének hossza "d".

[4] marcius82013-01-17 08:06:56

Tisztelettel köszöntöm az eddigi hozzászólókat!

Sakkmath szögharmadolókra vonatkozó tétele egy érdekes állítást fogalmaz meg, de ha jól meggondoljuk, ez nem csak szögharmadolókra vonatkozik. Ugyanis tetszőleges szög-"n"-edelők esetén a rombusz belsejében keletkezett négyszög tengelyesen szimmetrikus kell legyen a rombusz egymást merőlegesen felező átlóira, és akkor ez a négyszög csag a téglalap lehet. Mindenesetre nagyon szépen köszönöm Sakkmath fórumozónak ezt az állítást. Olyan tételt kellene keresni, amely csak a szögharmadolókra vonatkozik.

W fórumozó által felvetett kérdésre a válaszom, hogy mindenfajta szinusztétellel, koszinusztétellel, addíciós tétellel ki lehet számolni a kérdezett arányokat, ez nem is túl nehéz feladat. Továbbá régebben volt egy kömal-feladat,mely szerint bizonyítandó, hogy egy háromszög egy csúcsából kiinduló belső szögharmadoló egyenesek a csúccsal szemközti oldalt olyan szakaszokra osztják, melyek közül a két szélső szakasz számtani közepe nagyobb, mint a középső szakasz. Én ezen egy kicsit túl mentem, mert sikerült azt is belátni, hogy egy háromszög egy csúcsából kiinduló belső szögharmadoló egyenesek a csúccsal szemközti oldalt olyan szakaszokra osztják, melyek közül a két szélső szakasz mértani közepe nagyobb, mint a középső szakasz. Ezt a két állítást sem túl nehéz bizonyítani.

[3] w2013-01-14 21:24:32

Számoljuk ki, milyen arányban osztja egy háromszög egyik szögének harmadoló félegyenesei a szemközti oldalt!

Még nem gondoltam át, de használható lehet, hogy egy belső és egy külső szög harmadolóegyeneseinek szögei 60 fokosak, talán később ki lehetne erre egy feladatot is ötleni.

[2] sakkmath2013-01-12 22:45:06

1. tétel: Bármely rombusz szomszédos szögharmadoló egyeneseinek metszéspontjai egy téglalap csúcspontjai.

(Ha szögharmadolók helyett szögnegyedelőket írunk, akkor a metszéspontok négyzetet alkotnak.)

Ábra:

Előzmény: [1] marcius8, 2013-01-11 16:06:54
[1] marcius82013-01-11 16:06:54

Nagyon kevés tételt ismerek háromszög vagy négy szög szögharmadolóira, ilyen például a Morley-tétel. Ha valaki tud szögharmadolásra vonatkozó tételt, kérem írjon erre a fórumra.

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap