[143] lorantfy | 2004-05-02 10:05:37 |
Kedves Károly!
Ezt a kis feladatot amolyan EU-belépési tesztnek szántam. Gratulálok! Te már beléphetsz!
Rajzos megoldás: a sárgára szinezett részek a kék és piros részt is a terület felére egészíti ki.
|
|
Előzmény: [142] Hajba Károly, 2004-05-02 00:26:06 |
|
[142] Hajba Károly | 2004-05-02 00:26:06 |
Megoldás a 45. feladatra:
Egy-egy háromszög területe a négyzet területének felével egyenlő, vagyis a két háromszög területe épp a négyzetével egyenlő. (azaz fehér + 2*piros = négyzet) Így amennyi az átfedésük területe (piros), annyinak kell lennie a le nem fedett területnek (kék) is.
Ezt a feladatot annyiban lehet általánosítani, hogy akár téglalapon és bármely két oldalára felvett háromszöggel is igaz.
HK
|
Előzmény: [141] lorantfy, 2004-05-02 00:04:39 |
|
[141] lorantfy | 2004-05-02 00:04:39 |
45. feladat: Egy négyzet két szomszédos oldalán felvettünk egy-egy tetszőlegesen választott pontot, melyet összekötöttünk a szemközti oldal végpontjaival. Igazoljuk, hogy az így keletkezett pirosan színezett síkidom területe megegyezik a kékkel színezett síkidomok területeinek az összegével!
|
|
|
|
[139] Csimby | 2004-04-18 16:06:00 |
43. feladat megoldása:
n=(102k+1-1)/9-2*(10k+1-1)/9=(102k+1-2*10k+1+1)/9=((10k+1-1)/3)2
Mivel 10k+1-1 csupa 9-esből áll, osztható 3-mal, tehát (10k+1-1)/3 egész szám, n pedig négyzetszám!
44. feladat megoldása:
n(n+1)(n+2)(n+3)=6n+11n2+6n3+n4, ugyanakkor 6n+11n2+6n3+n4+1=(n2+3n+1)2
Két négyzetszám különbsége pedig nem lehet 1 (kivéve, ha az egyik a 0, hiszen (n+1)2-n2=2n+1 ami csak n=0-ra egyenlő 1-gyel).
Hasonlít a 43. feladathoz a tanárképző főiskolák idei Péter Rózsa matematika versenyének 1. feladata (legyen ez a 45. feladat):
A=177...76 (2k+3 jegyű), B=355...52 (k+2 jegyű). Biz. be, hogy természetes szám és mondjuk meg, hogy hány jegyű.
|
Előzmény: [138] Suhanc, 2004-04-17 22:00:51 |
|
[138] Suhanc | 2004-04-17 22:00:51 |
Kedves Fórumosok!
Az alábbi két feladattal Bonifert Domonkos: Néhány tipikus problémaszituáció matematikából c. könyvében találkoztam.
Szerintem okozhatnak néhány kellemes percet, mégha komoly fejtörést nem is...
43.feladat Lássuk be, hogy n=111...111-222...222
(2k db 1-es, és k db 2-es) minden k>o egészre négyzetszámot ad!
44.feladat Lássuk be, hogy n(n+1)(n+2)(n+3) nem lehet négyzetszám, ha n poz. egész!
|
|
[137] nadorp | 2004-04-14 08:22:25 |
Kedves Csimby !
A 41. feladatra inkább ebben a topicban adok egy megoldást, mert a bizonyítás algebrai, bár az ötletet a háromszögbe írható körhöz húzott érintőszakaszok adták.
Legyen a=y+z, b=x+z, c=x+y. Ekkor az egyenlőtlenség az alábbi alakba írható:
(y+z)2.2x+(x+z)2.2y+(x+y)2.2z3(y+z)(x+z)(x+y)
6xyzx2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2 vagy "szebben" írva
A fenti egyenlőtlenség pedig azonnal következik a számtani és mértani közép közötti összefüggésből.
|
Előzmény: [134] Csimby, 2004-04-11 22:10:02 |
|
[136] Csimby | 2004-04-11 22:21:43 |
A 41. és 42. feladatot a Geometria témába akartam rakni, de most már mindegy...
|
|
[135] Csimby | 2004-04-11 22:16:40 |
42.feladat Bizonyítsuk be, hogy minden húrnégyszög szétvágható n db. húrnégyszögre, ha n4 poz. egész.
|
|
[134] Csimby | 2004-04-11 22:10:02 |
41. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha a,b,c egy háromszög oldalai, akkor:
a2(-a+b+c)+b2(a-b+c)+c2(a+b-c)3abc
|
|
[133] Suhanc | 2004-04-10 23:11:06 |
Kedves László!
Bevallom őszintén, összetörtél bennem egy elképzelést erről feladatról...:)
Nem gondoltam, hogy ilyen elegáns alakban is megkaphatjuk a megoldást, és sok apró lépegetés során hoztam ki egy olyan alakot,amiben már csak a három oldal négyzete szerepel... erre gondoltam, amikor "csavargatásról" írtam...
Hát ez van! ;))
De mindenképp tanulságos volt nekem, köszönöm a megoldást!
|
|
[132] lorantfy | 2004-03-23 10:47:25 |
40. feladat megoldása: Hát egyenlő oldalú nem lehet a mert akkor a nevező 0 lenne. Egyenlő szárú is csak úgy, ha b az egyik szár. Kicsit átalakítva:
(a2-c2-b2)(a+c)2=0
Így aztán derékszögű lesz a , az átfogója: a.
|
Előzmény: [131] Suhanc, 2004-03-20 15:48:51 |
|
[131] Suhanc | 2004-03-20 15:48:51 |
Kedves Veresh!
Köszönöm a megoldást!:) Az esetszétválasztás szerintem nem szükséges, elég azt mondani, hogy "végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, és csak véges sok maradék osztály..." de a Te megoldásod ezt sokkal elegánsabban tálalja.
Egy matematika tesztverseny 10. osztályos feladatsorának feladata volt az alábbi feladat. Nem bonyolult, mégis szép, ahogy csavargatod, hogy kijöjjön a kívánt eredmény...:)
40.Feladat: Egy háromszög a, b, c oldalaira teljesül, hogy Mit mondhatunk el ekkor a háromszögről?
|
Előzmény: [130] veresh, 2004-03-15 23:13:30 |
|
[130] veresh | 2004-03-15 23:13:30 |
39. feladat megoldása
Legyen n=123456789. Tekintsük a következő sorozatot:
a1=1, a2=11, a3=111, ..., an=1...1
(1) Ha
i{1,...,n}: n|ai,
akkor készen vagyunk.
(2) Ellenkező esetben (legfeljebb) n-1 maradékosztály van. És mivel a sorozat n tagú, ezért a skatulya-elv szerint van a sorozatnak két olyan tagja, amely ugyanabba a maradékosztályba tartozik; formálisan:
i>j: aiaj(mod n) <==> n|(ai-aj)
De
ai-aj = 1...10...0 = 1...1.10j
(ahol i-j db. 1-es és j db. 0 számjegy van). És mivel
jN: (n,10j) = (32.3607.3803,10j) = 1
Ezért n|1...1 (i-j db. 1-es). Azaz
kN: n.k=1...1
|
Előzmény: [129] Suhanc, 2004-03-15 20:17:43 |
|
[129] Suhanc | 2004-03-15 20:17:43 |
Kedves László!
Köszöm szépen! Még pár év fórum, és megismerem az egész klaviatúrát...:)
Ez a feladat szerintem nagyon tanulságos, és szép:
39.Feladat. Igazoljuk, hogy 123456789-nek van olyan pozitív egész többszöröse, amelyben csupa 1-es szerepel!
|
Előzmény: [128] lorantfy, 2004-03-15 12:28:59 |
|
[128] lorantfy | 2004-03-15 12:28:59 |
Kedves Suhanc!
Kösz a megoldást! Sokszor jól alkalmazható trükk prímszámos feladatokban, hogy a 3-nál nagyobb prímszámok p=6k1 esetleg p=12n1 vagy p=12n5 alakban írhatók!
Az oszhatóság jelet simán be lehet gépelni: AltGr+w kombinációval.
|
Előzmény: [127] Suhanc, 2004-03-15 08:19:13 |
|
[127] Suhanc | 2004-03-15 08:19:13 |
Megoldást írok László 38. feladatára:
Mivel p>3, és prím, ezért nem osztható 3-mal. Négyzetszámok 3-as mardéka 0 vagy 1 lehet, ez esetben tehát csak 1. Tehát p2-1 osztható 3-mal. Mivel p>3vés prím, ezért páratlan. Páratlan négyzetszámok 8-as maradéka 1. Tehát p2-1 osztható nyolccal is. Mivel 8 és 3 relatív prímek, ezért p2-1 osztható 24-gyel.
Lenne egy prózaibb kérdésem: László, az oszthatóságjelet hogyan "gyártottad"? :)
|
Előzmény: [126] lorantfy, 2004-03-15 00:30:19 |
|
[126] lorantfy | 2004-03-15 00:30:19 |
38. feladat: Bbh. ha p>3 prímszám, akkor 24 | p2-1 -nek!
|
|
|
[124] jenei.attila | 2004-03-11 15:02:18 |
Még egyszerűbben: BD párhuzamos AC-vel, és fele akkora, ezért BF is fele akkora, mint FC.
|
|
[123] jenei.attila | 2004-03-11 14:57:35 |
Vektorokkal megoldva a feladatot, legyen AB=a, AC=b (A-ból B-be mutató vektorról vab szó, csak nem tudok felső nyilat írni). A BC oldal felezőpontja legyen H. Ekkor HD vektor=a/2, és AD vektor=a+b/2. Innen már látszik, hogy az AE és AD szakaszok a BC oldalt harmadolják. AF= 2/3*a+1/3*b.
|
Előzmény: [122] lorantfy, 2004-03-11 01:29:10 |
|
[122] lorantfy | 2004-03-11 01:29:10 |
37. feladat
ABC egyenlő oldalú BC oldala fölé félkört rajzolunk és ezt D, E pontokkal három egyenlő részre osztjuk. Milyen arányban osztja AD és AE egyenes a BC oldalt ?
|
|
|
[121] Hajba Károly | 2004-03-02 20:43:48 |
Kedves Csimby!
Az "átlós kérdés"-nél arra gondoltam, hogy ha egy pont mindkét koordinátája végtelen, elvileg addig már végtelen sok piros vagy kék pontnak kellene lennie, így csorbul a véges feltétel.
A b. feladatrésznél is hasonló lehet a megoldás, csak itt a pontok gyakorlatilag a végtelenségig besűríthetők. Így nem biztos, hogy létezik megoldás.
(Az óvatosságom oka, hogy a végtelennel való műveletekben nem vagyok otthon, nincs kellő gyakorlatom ezzel kapcsolatban.)
HK
|
Előzmény: [120] Csimby, 2004-03-02 20:23:14 |
|
[120] Csimby | 2004-03-02 20:23:14 |
Kedves Onogur!
A megoldásod jó, én is ezt ismertem, bár biztosan(?) van még. A 4 darab átlós irányra vonatkozó kérdésedet nem teljesen értem (a 45°-os egyenesekre gondolsz? és mi a kérdés/feladat?). A b. feladatről mit gondolsz?
|
|
[119] Hajba Károly | 2004-03-02 13:07:29 |
Kedves Csimby!
Én a megoldást az alábbi ábra szerint tudom elképzelni. Véges mértékben lehet X-Y irányban tili-tolizni, ill. a színhatár pontjai (mely most kék) akár véletlenszerűen is szinezhetők. (Habár a 4 db átlós irányú végtelenek helyén nem tudom mi a megoldás? :o)
HK
|
|
Előzmény: [118] Csimby, 2004-03-01 00:04:18 |
|