Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[153] Bodoni Tamás2004-05-06 11:06:22

46b.feladat:

A feladat csak akkor megoldható, ha a háromszög MB magassága egyenlő az AC alappal. Remélem nem mondtam oktalanságot. Bemutatkozásként.

Előzmény: [151] Kós Géza, 2004-05-05 13:55:04
[152] lorantfy2004-05-05 19:29:18

Kedves Géza és Fórumosok!

Valóban a B-ből induló magasságra nincs szükség, ez volt a félrevezetés, ui. egy "átlagos" hegyesszögű \Delta-ben a talppontja elég közel esik ahhoz az M ponthoz amire négyzetet kapunk.

A DF1F2E paralelogramma DF2 átlója egyenlő a RPQT2 téglalap QT2 oldalával. Tehát, ha meg tudnánk szerkeszteni a leendő négyzet x oldalát, akkor F2 pontból kimetszhetnénk vele AC-ből a D pontot. Ezután A pont tükörképe D-re adja az M pontot.

x=\sqrt{\frac{a}{2}m_a}, tehát egyszerű mértani közép szerkesztéssel megkaphatjuk x-t az egyik oldal feléből és a hozzá tartozó magasságból.

Előzmény: [151] Kós Géza, 2004-05-05 13:55:04
[151] Kós Géza2004-05-05 13:55:04

Ahogy látom, a B-ből induló magasságra nincs is szükség. Az M pont bárhol lehet az AC oldalon, feltéve, hogy a T1 és T2 pontok nem kerülnek a DF2 szakaszon kívülre.

46b. feladat: Szerkesszük meg az AC oldalon azt az M pontot, amire az RPQT2 téglalap négyzet lesz.

Előzmény: [144] lorantfy, 2004-05-02 10:39:46
[150] lorantfy2004-05-05 13:33:53

Szabályos \Delta esetén, a lenti ábra jelöléseivel, AB=1 esetén:

RT_2=\frac{\sqrt3 \sqrt7}{7} \neq QT_2=\frac{\sqrt7}{4} \quad T_{PQT_2R}= \frac{\sqrt3}{4}=T_\Delta

Előzmény: [149] Hajba Károly, 2004-05-04 21:38:33
[149] Hajba Károly2004-05-04 21:38:33

Kedves Géza és László!

Ha most politikus lennék, azt mondanám: Nem is mondtam, hogy négyzet! :o)

Az igazság az, hogy a területegyezőségekben mélyedtem el, s felelőtlen, slendrián kijelentésemet főleg erre értettem, ami persze igaz, de tény, hogy nem vetődött fel bennem a nemnégyzet lehetősége.

Tehát, ha egy ácshajszálnyival is, de nem feltétlenül négyzet, mely a mellékelt ábrából is kitűnik.

HK

Előzmény: [147] Kós Géza, 2004-05-04 12:48:51
[148] lorantfy2004-05-04 14:07:49

Kedves Géza, Károly és Fórumosok!

Gézának igaza van! Az ábra félrevezető lehet. Szabályos \Delta esetén gyorsan utánna számolhatunk igaz-e az állítás.

Előzmény: [147] Kós Géza, 2004-05-04 12:48:51
[147] Kós Géza2004-05-04 12:48:51

Az ábrák sokszor becsapnak, nem szabad hinni nekik. :-)

Az első kérdésre a válasz nem. Téglalap, de nem négyzet.

Előzmény: [145] Hajba Károly, 2004-05-04 12:27:23
[146] Hajba Károly2004-05-04 12:33:58

47. feladat:

Létetik-e olyan a\inN+, melynek reciproka felbontható véges számú különböző prím reciprokösszegére?

HK

[145] Hajba Károly2004-05-04 12:27:23

Kedves László!

Az ábrád önmagáért beszél. A levezetését ráhagyom egy fiatal titánra. :o)

HK

Előzmény: [144] lorantfy, 2004-05-02 10:39:46
[144] lorantfy2004-05-02 10:39:46

Kedves Fórumosok!

A következő feladat Bólyai Farkas egy híres átdarabolásából született.

46. feladat: Legyen ABC hegyesszögű \Delta AB oldalának felezőpontja F1, BC oldalának felezőpontja F2 és a B csúcsból induló magasság talppontja M.

Legyenek AM és MC felezőpontjai D és E. Húzzuk meg a DF2 egyenest és állítsunk rá merőlegest az F1 és E pontokból. Ezek talppontjai legyenek T1 és T2. Tükrözzük a T1 pontot D-re, a T2 pontot E-re. A tükörképek legyenek Q és R. Ezekben a pontokban állított merőlegesek metszéspontja legyen P.

Igyaz-e, hogy a keletkezett négyszög négyzet és területe megegyezik az ABC \Delta területével?

[143] lorantfy2004-05-02 10:05:37

Kedves Károly!

Ezt a kis feladatot amolyan EU-belépési tesztnek szántam. Gratulálok! Te már beléphetsz!

Rajzos megoldás: a sárgára szinezett részek a kék és piros részt is a terület felére egészíti ki.

Előzmény: [142] Hajba Károly, 2004-05-02 00:26:06
[142] Hajba Károly2004-05-02 00:26:06

Megoldás a 45. feladatra:

Egy-egy háromszög területe a négyzet területének felével egyenlő, vagyis a két háromszög területe épp a négyzetével egyenlő. (azaz fehér + 2*piros = négyzet) Így amennyi az átfedésük területe (piros), annyinak kell lennie a le nem fedett területnek (kék) is.

Ezt a feladatot annyiban lehet általánosítani, hogy akár téglalapon és bármely két oldalára felvett háromszöggel is igaz.

HK

Előzmény: [141] lorantfy, 2004-05-02 00:04:39
[141] lorantfy2004-05-02 00:04:39

45. feladat: Egy négyzet két szomszédos oldalán felvettünk egy-egy tetszőlegesen választott pontot, melyet összekötöttünk a szemközti oldal végpontjaival. Igazoljuk, hogy az így keletkezett pirosan színezett síkidom területe megegyezik a kékkel színezett síkidomok területeinek az összegével!

[140] Suhanc2004-04-18 18:59:55

Kedves Csimby!

Hát ezek nem sokáig maradtak életben... :)

Köszi a megoldásokat!

A 45. feladaton érdekesnek hangzik... gondolkodok rajta!

Előzmény: [139] Csimby, 2004-04-18 16:06:00
[139] Csimby2004-04-18 16:06:00

43. feladat megoldása:

n=(102k+1-1)/9-2*(10k+1-1)/9=(102k+1-2*10k+1+1)/9=((10k+1-1)/3)2

Mivel 10k+1-1 csupa 9-esből áll, osztható 3-mal, tehát (10k+1-1)/3 egész szám, n pedig négyzetszám!

44. feladat megoldása:

n(n+1)(n+2)(n+3)=6n+11n2+6n3+n4, ugyanakkor 6n+11n2+6n3+n4+1=(n2+3n+1)2

Két négyzetszám különbsége pedig nem lehet 1 (kivéve, ha az egyik a 0, hiszen (n+1)2-n2=2n+1 ami csak n=0-ra egyenlő 1-gyel).

Hasonlít a 43. feladathoz a tanárképző főiskolák idei Péter Rózsa matematika versenyének 1. feladata (legyen ez a 45. feladat):

A=177...76 (2k+3 jegyű), B=355...52 (k+2 jegyű). Biz. be, hogy \sqrt{A-B} természetes szám és mondjuk meg, hogy hány jegyű.

Előzmény: [138] Suhanc, 2004-04-17 22:00:51
[138] Suhanc2004-04-17 22:00:51

Kedves Fórumosok!

Az alábbi két feladattal Bonifert Domonkos: Néhány tipikus problémaszituáció matematikából c. könyvében találkoztam.

Szerintem okozhatnak néhány kellemes percet, mégha komoly fejtörést nem is...

43.feladat Lássuk be, hogy n=111...111-222...222

(2k db 1-es, és k db 2-es) minden k>o egészre négyzetszámot ad!

44.feladat Lássuk be, hogy n(n+1)(n+2)(n+3) nem lehet négyzetszám, ha n poz. egész!

[137] nadorp2004-04-14 08:22:25

Kedves Csimby !

A 41. feladatra inkább ebben a topicban adok egy megoldást, mert a bizonyítás algebrai, bár az ötletet a háromszögbe írható körhöz húzott érintőszakaszok adták.

Legyen a=y+z, b=x+z, c=x+y. Ekkor az egyenlőtlenség az alábbi alakba írható:

(y+z)2.2x+(x+z)2.2y+(x+y)2.2z\leq3(y+z)(x+z)(x+y)

6xyz\leqx2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2 vagy "szebben" írva

xyz\leq\frac{x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2}6

A fenti egyenlőtlenség pedig azonnal következik a számtani és mértani közép közötti összefüggésből.

Előzmény: [134] Csimby, 2004-04-11 22:10:02
[136] Csimby2004-04-11 22:21:43

A 41. és 42. feladatot a Geometria témába akartam rakni, de most már mindegy...

[135] Csimby2004-04-11 22:16:40

42.feladat Bizonyítsuk be, hogy minden húrnégyszög szétvágható n db. húrnégyszögre, ha n\ge4 poz. egész.

[134] Csimby2004-04-11 22:10:02

41. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha a,b,c egy háromszög oldalai, akkor:

a2(-a+b+c)+b2(a-b+c)+c2(a+b-c)\le3abc

[133] Suhanc2004-04-10 23:11:06

Kedves László!

Bevallom őszintén, összetörtél bennem egy elképzelést erről feladatról...:)

Nem gondoltam, hogy ilyen elegáns alakban is megkaphatjuk a megoldást, és sok apró lépegetés során hoztam ki egy olyan alakot,amiben már csak a három oldal négyzete szerepel... erre gondoltam, amikor "csavargatásról" írtam...

Hát ez van! ;))

De mindenképp tanulságos volt nekem, köszönöm a megoldást!

[132] lorantfy2004-03-23 10:47:25

40. feladat megoldása: Hát egyenlő oldalú nem lehet a \Delta mert akkor a nevező 0 lenne. Egyenlő szárú is csak úgy, ha b az egyik szár. Kicsit átalakítva:

(a2-c2-b2)(a+c)2=0

Így aztán derékszögű lesz a \Delta, az átfogója: a.

Előzmény: [131] Suhanc, 2004-03-20 15:48:51
[131] Suhanc2004-03-20 15:48:51

Kedves Veresh!

Köszönöm a megoldást!:) Az esetszétválasztás szerintem nem szükséges, elég azt mondani, hogy "végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, és csak véges sok maradék osztály..." de a Te megoldásod ezt sokkal elegánsabban tálalja.

Egy matematika tesztverseny 10. osztályos feladatsorának feladata volt az alábbi feladat. Nem bonyolult, mégis szép, ahogy csavargatod, hogy kijöjjön a kívánt eredmény...:)

40.Feladat: Egy háromszög a, b, c oldalaira teljesül, hogy \frac {3b^2(a-c)^2+12ab^2c}{a^4+2a^3c-c^4-2ac^3}=3 Mit mondhatunk el ekkor a háromszögről?

Előzmény: [130] veresh, 2004-03-15 23:13:30
[130] veresh2004-03-15 23:13:30

39. feladat megoldása

Legyen n=123456789. Tekintsük a következő sorozatot:

a1=1,    a2=11,    a3=111,    ...,    an=1...1

(1) Ha

\existsi\in{1,...,n}:    n|ai,

akkor készen vagyunk.

(2) Ellenkező esetben (legfeljebb) n-1 maradékosztály van. És mivel a sorozat n tagú, ezért a skatulya-elv szerint van a sorozatnak két olyan tagja, amely ugyanabba a maradékosztályba tartozik; formálisan:

\existsi>j:    ai\equivaj(mod n)    <==>    n|(ai-aj)

De

ai-aj  =  1...10...0  =  1...1.10j

(ahol i-j db. 1-es és j db. 0 számjegy van). És mivel

\forallj\inN:    (n,10j)  =  (32.3607.3803,10j)  =  1

Ezért n|1...1 (i-j db. 1-es). Azaz

\existsk\inN:    n.k=1...1

Előzmény: [129] Suhanc, 2004-03-15 20:17:43
[129] Suhanc2004-03-15 20:17:43

Kedves László!

Köszöm szépen! Még pár év fórum, és megismerem az egész klaviatúrát...:)

Ez a feladat szerintem nagyon tanulságos, és szép:

39.Feladat. Igazoljuk, hogy 123456789-nek van olyan pozitív egész többszöröse, amelyben csupa 1-es szerepel!

Előzmény: [128] lorantfy, 2004-03-15 12:28:59

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]