|
|
[492] Csimby | 2007-01-31 12:26:12 |
99. feladat Hány gomba nőhet egy végtelen mezőn?
|
|
|
[490] jonas | 2007-01-20 14:29:40 |
Lényegében igen. A sorokat és az oszlopokat kell úgy teljesen összepárosítani, hogy minden párhoz tartozó elem pozitív legyen. A Hall tétel szerint ehhez elég, hogy a sorok bármely halmazának legallább annyi oszlop legyen a szomszédja, ahány sorról szó van. Ez azért teljesül, mert k sorban lévő elemeknek az összege k, ezek közül a nemnulla elemek tehát nem eshetnek mind k-nél kevesebb oszlopba, mert azoknak az oszlopoknak az elemeinek összege is kevesebb k-nél.
Ezt a feladatot ennél mesésebben szokták feladni. Valahogy úgy hangzik, hogy egy sziget területe diszjunkt módon fel van osztva n törzs egyenlő területű vadászterületére, és másféleképpen diszjunktan fel van osztva n teknősbékafaj élőhelyére, és a törzsek úgy akarnak totemállatot választani maguknak, hogy mindegyik törzs totemállata éljen a saját vadászterületén, és persze mindegyiknek más legyen a totemállata.
|
Előzmény: [489] Csimby, 2007-01-16 21:51:30 |
|
[489] Csimby | 2007-01-16 21:51:30 |
Hú, hát már olyan rég írtam be ezt a feladtot, hogy hirtelen nem is emlékszem a megoldásra :-) De valami párosításos dolognál jött elő, ezekszerint elég hozzá a Hall-tétel?
|
Előzmény: [488] jonas, 2007-01-16 17:22:07 |
|
|
[487] Csimby | 2005-12-05 16:21:29 |
98. feladat Egy nem-negatív elemű n×n-es mátrix minden sorában és minden oszlopában is 1 a számok összege. Mutasd meg, hogy van nem-nulla kifejtési tagja. (csak azért ide írom, mert itt voltak nem rég "hasonló" feladatok)
|
|
[486] Lóczi Lajos | 2005-11-29 21:46:18 |
97. kérdés. Vajon véges-e az alábbi összeg?
|
|
[485] Róbert Gida | 2005-11-27 11:45:39 |
96. feladatra
(2n+1)!=(2n+1)*(2n)!-ként felírva és használva a Stirling formulát kapjuk, hogy az eredeti sor pontosan akkor konvergens, ha az sor konvergens, viszont ez utóbbi konvergens, így az eredeti is az.
Mathematica 5.1 a sor összegét is ki tudja számolni! Eszerint az összeg értéke.
|
|
[484] Lóczi Lajos | 2005-11-27 09:53:41 |
96. feladat. Véges vagy végtelen-e az alábbi összeg értéke?
Ha igen, miért?
|
|
|
[482] Lóczi Lajos | 2005-11-25 17:18:59 |
Sajnos a feladat ilyen formában végtelenül nehéz lenne, és a keresett a paraméterértékeket pontosan nem lehetne behatárolni. Hogy "ujjgyakorlat" legyen, hagyjuk ki a vizsgálatból azokat az a-kat, amelyek (-2,-1)-be esnek.
|
Előzmény: [481] Lóczi Lajos, 2005-11-25 14:04:25 |
|
[481] Lóczi Lajos | 2005-11-25 14:04:25 |
Na, még egy utolsó ilyet: vizsgáljuk a Mandelbrot-halmaz valós síkmetszetét.
95. feladat. Legyen a rögzített valós szám és tekintsük az x0:=0, xn+1:=xn2+a rekurziót. Adjuk meg azokat az a értékeket, melyekre az xn sorozat
a.) konvergens. Mi ekkor a limesze?
b.) korlátos.
c.) divergens.
|
|
|
|
[478] Ali | 2005-11-25 11:52:21 |
Megoldás 78. -ra:
x0=0 és .
a.) teljes indukcióval igazolható. -ra igaz. Tfh n-re igaz. -t kell igazolni. Négyzetreemelés és rendezés után pontosan az egyenlőtlenséget kapjuk, amely az indukciós feltevés miatt teljesül.
Továbbá xn monoton növő, ugyanis
kellene, ami teljesül is, mivel xn az x2-x-a=0 egyenlet gyökei között van:
Egy monoton növő felülről korlátos sorozatnak létezik határértéke, esetünkben ez az egyenlet pozitív gyöke.
b.) Teljes indukcióval igazoljuk, hogy , k>0. Ez k=1 -re igaz, mert
Tfh k -ra igaz.
teljesül egyrészt az indukciós feltevés , másrészt a zárójelben levő kifejezés pozitív volta miatt.
Legyen 1>>0 és k olyan, hogy . Ilyen k létezik. Ekkor
n>k miatt nk+1 és . Ezért |A-xn|<
c.) Megmutatjuk teljes indukcióval, hogy . Ez k=1 -re jó, mert
Tfh k -ra igaz,ekkor
teljesül az indukciós feltevés miatt.
Legyen 1>>0 és k olyan, hogy . Ilyen k létezik. Ekkor .
Tehát
|
Előzmény: [396] Lóczi Lajos, 2005-10-30 20:46:24 |
|
|
[476] Lóczi Lajos | 2005-11-21 20:45:01 |
Szép. Nagyon kíváncsi vagyok, hogyan jöttél rá (én eredetileg okos számítógép segítségével). De persze utólag meg lehet találni az explicit képletet, l. pl.
http://mathworld.wolfram.com/NewtonsIteration.html
Azt írja: "has the clever closed-form solution..."
Itt "area tangens hiperbolikusszal" van megadva, de ez, mint tudjuk, kifejezhető a logaritmussal.
|
Előzmény: [473] Ali, 2005-11-21 15:54:56 |
|
|
[474] Róbert Gida | 2005-11-21 17:05:43 |
Maple 9.5 és Mathematica 5.1 sem tudja kiszámolni!!! Stirling formulából adódik, hogy ha n nagy. Így írhatjuk, hogy az eredeti sor pontosan akkor konvergens, ha konvergens, viszont ez utóbbi sorról integrálközelítő összegekkel ismert, hogy divergens, így az eredeti sor is az.
Érdekes, de még ez utóbbi sorról sem tudja a Mathematica, hogy divergens, így ez a fő oka, hogy nem tudja kiszámolni. Kipróbáltam a Stirling formulát ismeri, tehát el tud elvileg jutni a mi összegünkig, de tovább nem. Ekkor próbáltam ki, hogy mit ad a primek reciprokösszegére és ez a megdöbbentő, hogy ezt sem ismeri, aminek most talán nem az az oka, hogy ezt a sorösszeget nem ismeri, hanem az, hogy idáig el sem tud jutni!!! mert nem ismeri azt az alapvető formulát, hogy teljesül, ahol pn az n-edik prím ( ez egyébként a prímszámtételből adódik ). Bár ismert persze elemi bizonyítás a prímek reciprokösszegének a divergenciájára Erdős Páltól például.
|
Előzmény: [471] Lóczi Lajos, 2005-11-21 14:32:42 |
|
|
[472] Ali | 2005-11-21 15:54:11 |
Megoldás a 79. feladatra:
a.) eset: p0>0
pn monoton fogyó, ugyanis n1 esetén miatt
Egy monoton fogyó alulról korlátos sorozatnak létezik határértéke, esetünkben az
egyenlet pozitív gyöke. Ezért
c.) eset: p0<0. ekkor pn monoton növő -hoz konvergáló sorozat.
b.) eset: p2005=? Tfh a>0 és és legyen ,
ahol
és a rekurzív összefüggés miatt
|
Előzmény: [397] Lóczi Lajos, 2005-10-30 21:09:38 |
|
[471] Lóczi Lajos | 2005-11-21 14:32:42 |
Kíváncsi vagyok, hogy a matematikai programcsomagok hogyan reagálnának arra, ha megkérdeznék tőlük, mennyi a
összeg értéke. És szerintünk mennyi?
|
|
|