|
[865] w | 2013-10-29 19:29:11 |
Igen. Amire eredetileg gondoltam, az lényegében ezt a gondoltatmenetet csomagolja be, és egyáltalán nem induktív.
Legyen harmadik komplex egységgyök, azaz . Most csak annyira lesz szükségünk, hogy létezik olyan szám, melyre 2++1=0.
Jelöljük fk(n)-nel azon n-jegyű pozitív egészek számát, amelyek k maradékot adnak 3-mal osztva. Ekkor mivel nyilván 3=1, ezért a=a+3b tetszőleges a,b egész számokra. Emiatt meggondolhatjuk, hogy
Utóbbi összeg viszont nyilván nem más, mint (2+3+7+9)n, ahol 2+3+7+9=2+1++1=1. Vagyis
f0(n)+f1(n)+f2(n)2-1=0.
Ez egy -ban másodfokú egyenlet; megoldásai: és 2. Viszont x2+x+1 is olyan másodfokú polinom, melynek gyökei és 2, ezért a két szóban forgó polinom igazából egymás többszöröse. Ebből adódik, hogy f0(n)-1=f1(n)=f2(n), ahol viszont f0(n)+f1(n)+f2(n)=4n, ezért .
-
A fent leírt módszer általánosabb feladatok megoldására is alkalmas: például keressük meg, hány n-jegyű számnak lesznek a számjegyei 1,3,4,5,6,9 kozüliek, és 7-tel oszthatók.
Egy másik gyakorló feladat például a következő. Hány p-elemű részhalmaza van az {1,2,...,2p} halmaznak, melynek elemeinek összege p-vel osztható, ahol p páratlan prímszám?
(De ezek már tényleg nem ujjgyakorlatok.)
|
Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03 |
|
|
[863] Róbert Gida | 2013-10-28 17:50:03 |
Elmondom kevesebb betűvel: legyen a(n) azon n jegyűek száma melyek oszthatóak 3-mal és csak a 2,3,7,9 jegyeket tartalmazzák. Mivel 2,3,7 teljes maradékrendszer mod 3, ezért tetszőleges n-1 hosszú szám pontosan egyféleképpen egészíthető ki a 2,3,7 jegyekkel, hogy osztható legyen 3-mal, ez ad 4n-1 lehetőséget. Ha 9-cel is ki tudjuk egészíteni, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy már az n-1 hosszú szám is osztható volt 3-mal, azaz írhatjuk: a(n)=a(n-1)+4n-1 és triviálisan a(1)=2, innen (mértani sorozat miatt): .
|
Előzmény: [859] nadorp, 2013-10-28 11:05:14 |
|
|
|
[860] HoA | 2013-10-28 13:30:41 |
Melyik feladatról is van szó? A hivatkozási láncot követve [859] --> [857] --> [856] --> [846] --> [845] --> [844] a 2013 összegű számok szorzata a téma. [859] pedig mintha [855] megoldása lenne ( {2,3,7,9} jegyeket tartalmazó számok )
|
Előzmény: [859] nadorp, 2013-10-28 11:05:14 |
|
[859] nadorp | 2013-10-28 11:05:14 |
Felhasználjuk, hogy egy pozitív egész szám 3-as maradéka megegyezik számjegyei összegének 3-as maradékával. Legyen A(n,k) (k=0,1,2) azon n-jegyű számok halmaza, melyek a 2,3,7,9 számjegyekből állnak és 3-mal osztva k-t adnak maradékul. Legyen továbbá an,k=|A(n,k)|. Vegyük észre, hogy an,1=an,2 teljesül, mert ha xA(n,1) és x számjegyeiben kicseréljük a ketteseket hetesre és viszont, akkor A(n,2)-beli számot kapunk és ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű. Másrészt nyilván
an,0+an,1+an,2=4n, azaz az előbbiek szerint
Írjunk fel egy rekurziót aszerint, hogy egy A(n,k)-beli szám utolsó számjegye 2,3,7, vagy 9. Ekkor
an,0=an-1,1+an-1,0+an-1,2+an-1,0=2an-1,0+2an-1,1 | (2) |
an,1=an-1,2+an-1,1+an-1,0+an-1,1=an-1,0+3an-1,1 | (3) |
Véve a (2)-(3) különbséget
an,0-an,1=an-1,0-an-1,1=...=a1,0-a1,1=2-1=1
Tehát felhasználva (1)-et
an,0+2(an,0-1)=4n
|
Előzmény: [857] w, 2013-10-25 18:19:41 |
|
[858] koma | 2013-10-28 06:56:48 |
Sziasztok,
az emelt érettségire készülve néhány feladatot nem tudtam megoldani, kérem aki tud, segítsen:
1. 4sin2x+5×4cos2x=12
2. 51+log5cosx=2,5
3. egyenletrendszer:
2log2x+3log2y=4,
4log2x-2log2y=10
4. ,
x+y=5
Nagyon szépen köszönöm mindenki segítségét! (és eddigi segítségét is) Szép napot!
|
|
[857] w | 2013-10-25 18:19:41 |
Ezt most nem értem - nekem nincs annyi előismeretem.
Meg tudnád oldani a feladatot (spec. matos) középiskolai eszközökkel is? Ha igen, próbálj meg minél elegánsabb megoldást kieszelni!
|
Előzmény: [856] csábos, 2013-10-24 00:08:47 |
|
[856] csábos | 2013-10-24 00:08:47 |
Az összes hasonló feladat megoldható a rezultáns segítségével. Egy idevágó példa szerepel Kiss Emil könyvében. Ez azonban az együtthatók miatt nagyon egyedinek látszik.
|
Előzmény: [846] w, 2013-08-18 10:21:28 |
|
[855] w | 2013-10-04 14:50:41 |
A következő feladat kissé nehezebb, de elég előismerettel eléggé ujjgyakorlat.
Hány olyan n-jegyű szám van, melynek számjegyei {2,3,7,9}-ből valók, és osztható 3-mal?
|
|
|
|
|
|
[850] Lóczi Lajos | 2013-08-19 01:14:42 |
Ha z olyan szám, amelyre a nevező nem 0, akkor az egyik megoldás
és
A másik megoldássereg az előjelek megfelelő cseréjével adódik (és persze ott van a 4 kivételes megoldás, amikor a nevező eltűnne).
|
Előzmény: [847] Niels Bohr, 2013-08-18 12:15:52 |
|
[849] w | 2013-08-18 16:23:25 |
Az általad említett
14x2-25xy+11y2+54=0
19y2-33yz+14z2+150=0
11z2-30zx+19x2+384=0
egyenletrendszernek a levezetése szerintem kifejezetten ronda lehet (ha az első és utolsó egyenlettel y és z-t x-ben kifejezed, majd a másodikba helyettesíted...). Ha az összes megoldást meg akarod találni, inkább valamilyen ingyenes computer algebra programot ajánlanék.
Azért kézzel is meg lehetne okosan oldani. Én azzal kezdeném, hogy
,
így vezessünk be új változót: . Ugyanezt megcsinálod a harmadik egyenlettel, majd behelyettesíted az új változókat a második egyenletbe és akkor kicsivel leegyszerűsödik a számolás (asszem két gyökjel lesz, így kétszer kell négyzetre emelned, tehát csak egy kis ártatlan nyolcadfokú egyenlettel lesz dolgod).
|
Előzmény: [847] Niels Bohr, 2013-08-18 12:15:52 |
|
|
[847] Niels Bohr | 2013-08-18 12:15:52 |
Sziasztok!
Beleütköztem egy hiperbola seregbe.
14x2 - 25xy + 11y2 = -6*9 = -54 19y2 - 33yz + 14z2 = -6*25 = -150 11z2 - 30xz + 19x2 = -6*64 = -384
x=17, y=20, z=25 egy megoldása.
Az ilyen típusú többismeretlenes másodfokú egyenletrendszernek hol találom a megoldás levezetését?
A segítéget előre is köszönöm.
|
|
[846] w | 2013-08-18 10:21:28 |
Igen, így van. Kicsit érdekesebb a helyzet, de nem sokkal, ha 2013 helyére 2014-et írunk (ekkor a max. szorzat 2-vel is osztható lesz).
|
Előzmény: [845] aaaa, 2013-08-18 08:49:25 |
|
[845] aaaa | 2013-08-18 08:49:25 |
3671, mert jól ismert: n>4-re n<2(n-2), 4-re 2.2=4, és 2.2.2<3.3, k=k-ból indulva ez alapján cserélve az összegben a tagokat a szorzat nő, végül pedig max 2 db 2-es lehet, a többi 3-as.
|
Előzmény: [844] w, 2013-08-17 18:12:06 |
|
|
[843] R.R King | 2013-08-17 08:07:45 |
Szép feladat. Igaz, hogy kicsit körülményesebben, de pl. végtelen leszállással is kijön.
|
|
|