KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Játékszabályok
Technikai információk
TeX tanfolyam
Regisztráció
Témák

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

hirdetés

Fórum - "ujjgyakorlatok"

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Ön még nem jelentkezett be.
Név:
Jelszó:

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]  

Ha a témához hozzá kíván szólni, először regisztrálnia kell magát.
[872] koma2013-12-27 18:12:58

köszönöm szépen a válaszokat:)

[871] nadorp2013-12-27 10:17:16

Te voltál a gyorsabb :-)

Előzmény: [869] Ménkűnagy Bundáskutya, 2013-12-27 10:12:24
[870] nadorp2013-12-27 10:16:38

A térfogat tetszőlegesen kicsi lehet. Legyen a három él x,x és 45-2x, ahol x-et később választjuk meg. Ekkor a térfogatra

V=x^2(45-2x)=\frac x2\cdot2x(45-2x)\leq \frac x2\frac{45^2}4=\frac{45^2}8x

Innen látszik, hogy ha x elég kicsi, akkor a térfogat is kicsi, azaz a térfogatnak nem elfajuló téglatest esetében nincs minimuma, de tetszőlegesen közel lehet 0-hoz.

Előzmény: [868] koma, 2013-12-27 09:52:30
[869] Ménkűnagy Bundáskutya2013-12-27 10:12:24

Ha a téglalapot elfogadod lapos téglatestnek, akkor a,45-a,0 (0\leqa\leq45) élekkel 0 a minimális térfogat. Ha nem, akkor nincs minimális térfogat: a,a,45-2a (0<a<22,5) élekkel a térfogat tetszőlegesen kicsi pozitív lehet (amint a mondjuk nagyon közel van 0-hoz).

Előzmény: [868] koma, 2013-12-27 09:52:30
[868] koma2013-12-27 09:52:30

Sziasztok,

Egy téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek összege 45 cm. Mekkora lehet legfeljebb a téglatest térfogata?

Ez számomra világos AM-GM-el egyszerűen oldható.

Viszont a minimális térfogatot hogyan tudnám meghatározni? Ezt nem látom jelenleg.

Kellemes ünnepeket mindenkinek!

[867] w2013-10-30 19:44:47

Nem, én kérek bocsánatot, nem figyeltem. :-)

Így már világos.

Előzmény: [866] csábos, 2013-10-30 17:46:30
[866] csábos2013-10-30 17:46:30

Bocsánat, ez 847-re volt válasz.

Előzmény: [857] w, 2013-10-25 18:19:41
[865] w2013-10-29 19:29:11

Igen. Amire eredetileg gondoltam, az lényegében ezt a gondoltatmenetet csomagolja be, és egyáltalán nem induktív.

Legyen \epsilon harmadik komplex egységgyök, azaz \epsilon=\cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{2\pi}3(=e^{2i\pi/3}). Most csak annyira lesz szükségünk, hogy létezik olyan \epsilon szám, melyre \epsilon2+\epsilon+1=0.

Jelöljük fk(n)-nel azon n-jegyű pozitív egészek számát, amelyek k maradékot adnak 3-mal osztva. Ekkor mivel nyilván \epsilon3=1, ezért \epsilona=\epsilona+3b tetszőleges a,b egész számokra. Emiatt meggondolhatjuk, hogy

\sum_{k=0}^2 f_k(n)\epsilon^k=\sum_{x_1,\dots,x_n\in\{2,3,7,9\}}\epsilon^{x_1+x_2+\dots+x_n}.

Utóbbi összeg viszont nyilván nem más, mint (\epsilon2+\epsilon3+\epsilon7+\epsilon9)n, ahol \epsilon2+\epsilon3+\epsilon7+\epsilon9=\epsilon2+1+\epsilon+1=1. Vagyis

f0(n)+f1(n)\epsilon+f2(n)\epsilon2-1=0.

Ez egy \epsilon-ban másodfokú egyenlet; megoldásai: \epsilon és \epsilon2. Viszont x2+x+1 is olyan másodfokú polinom, melynek gyökei \epsilon és \epsilon2, ezért a két szóban forgó polinom igazából egymás többszöröse. Ebből adódik, hogy f0(n)-1=f1(n)=f2(n), ahol viszont f0(n)+f1(n)+f2(n)=4n, ezért f_0(n)=\frac{4^n+2}{3}.

-

A fent leírt módszer általánosabb feladatok megoldására is alkalmas: például keressük meg, hány n-jegyű számnak lesznek a számjegyei 1,3,4,5,6,9 kozüliek, és 7-tel oszthatók.

Egy másik gyakorló feladat például a következő. Hány p-elemű részhalmaza van az {1,2,...,2p} halmaznak, melynek elemeinek összege p-vel osztható, ahol p páratlan prímszám?

(De ezek már tényleg nem ujjgyakorlatok.)

Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03
[864] nadorp2013-10-28 19:35:23

Elegáns

Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03
[863] Róbert Gida2013-10-28 17:50:03

Elmondom kevesebb betűvel: legyen a(n) azon n jegyűek száma melyek oszthatóak 3-mal és csak a 2,3,7,9 jegyeket tartalmazzák. Mivel 2,3,7 teljes maradékrendszer mod 3, ezért tetszőleges n-1 hosszú szám pontosan egyféleképpen egészíthető ki a 2,3,7 jegyekkel, hogy osztható legyen 3-mal, ez ad 4n-1 lehetőséget. Ha 9-cel is ki tudjuk egészíteni, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy már az n-1 hosszú szám is osztható volt 3-mal, azaz írhatjuk: a(n)=a(n-1)+4n-1 és triviálisan a(1)=2, innen (mértani sorozat miatt): a(n)=\frac{4^n+2}{3}.

Előzmény: [859] nadorp, 2013-10-28 11:05:14
[862] nadorp2013-10-28 14:34:22

Vagy [855] :-)

Előzmény: [861] nadorp, 2013-10-28 14:33:49
[861] nadorp2013-10-28 14:33:49

Igen, elnéztem. A [255] hozzászólásra válaszoltam.

Előzmény: [860] HoA, 2013-10-28 13:30:41
[860] HoA2013-10-28 13:30:41

Melyik feladatról is van szó? A hivatkozási láncot követve [859] --> [857] --> [856] --> [846] --> [845] --> [844] a 2013 összegű számok szorzata a téma. [859] pedig mintha [855] megoldása lenne ( {2,3,7,9} jegyeket tartalmazó számok )

Előzmény: [859] nadorp, 2013-10-28 11:05:14
[859] nadorp2013-10-28 11:05:14

Felhasználjuk, hogy egy pozitív egész szám 3-as maradéka megegyezik számjegyei összegének 3-as maradékával. Legyen A(n,k) (k=0,1,2) azon n-jegyű számok halmaza, melyek a 2,3,7,9 számjegyekből állnak és 3-mal osztva k-t adnak maradékul. Legyen továbbá an,k=|A(n,k)|. Vegyük észre, hogy an,1=an,2 teljesül, mert ha x\inA(n,1) és x számjegyeiben kicseréljük a ketteseket hetesre és viszont, akkor A(n,2)-beli számot kapunk és ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű. Másrészt nyilván

an,0+an,1+an,2=4n, azaz az előbbiek szerint

an,0+2an,1=4n(1)

Írjunk fel egy rekurziót aszerint, hogy egy A(n,k)-beli szám utolsó számjegye 2,3,7, vagy 9. Ekkor

an,0=an-1,1+an-1,0+an-1,2+an-1,0=2an-1,0+2an-1,1(2)
an,1=an-1,2+an-1,1+an-1,0+an-1,1=an-1,0+3an-1,1(3)

Véve a (2)-(3) különbséget

an,0-an,1=an-1,0-an-1,1=...=a1,0-a1,1=2-1=1

Tehát felhasználva (1)-et

an,0+2(an,0-1)=4n

a_{n,0}=\frac{4^n+2}3

Előzmény: [857] w, 2013-10-25 18:19:41
[858] koma2013-10-28 06:56:48

Sziasztok,

az emelt érettségire készülve néhány feladatot nem tudtam megoldani, kérem aki tud, segítsen:

1. 4sin2x+5×4cos2x=12

2. 51+log5cosx=2,5

3. egyenletrendszer:

2log2x+3log2y=4,

4log2x-2log2y=10

4.  log_{x} (2+\sqrt{xy}) = 1+ log_{x}y ,

x+y=5

Nagyon szépen köszönöm mindenki segítségét! (és eddigi segítségét is) Szép napot!

[857] w2013-10-25 18:19:41

Ezt most nem értem - nekem nincs annyi előismeretem.

Meg tudnád oldani a feladatot (spec. matos) középiskolai eszközökkel is? Ha igen, próbálj meg minél elegánsabb megoldást kieszelni!

Előzmény: [856] csábos, 2013-10-24 00:08:47
[856] csábos2013-10-24 00:08:47

Az összes hasonló feladat megoldható a rezultáns segítségével. Egy idevágó példa szerepel Kiss Emil könyvében. Ez azonban az együtthatók miatt nagyon egyedinek látszik.

Előzmény: [846] w, 2013-08-18 10:21:28
[855] w2013-10-04 14:50:41

A következő feladat kissé nehezebb, de elég előismerettel eléggé ujjgyakorlat.

Hány olyan n-jegyű szám van, melynek számjegyei {2,3,7,9}-ből valók, és osztható 3-mal?

[854] w2013-09-01 20:06:36

Értem.

Előzmény: [853] Lóczi Lajos, 2013-08-31 21:59:49
[853] Lóczi Lajos2013-08-31 21:59:49

Hardverhiba miatt.

Előzmény: [852] w, 2013-08-31 21:45:26
[852] w2013-08-31 21:45:26

Miért nem működött az utóbbi néhány napban?

Előzmény: [851] Lóczi Lajos, 2013-08-30 22:44:02
[851] Lóczi Lajos2013-08-30 22:44:02

Hurrá! Újra működik a fórum!

[850] Lóczi Lajos2013-08-19 01:14:42

Ha z olyan szám, amelyre a nevező nem 0, akkor az egyik megoldás


y=\frac{1}{38} \left(33 z-5 \sqrt{z^2-456}\right)

és


x=\frac{-55 z^2+363z
   \sqrt{z^2-456}+45600}{19 \left(25 \sqrt{z^2-456}+3 z\right)}.

A másik megoldássereg az előjelek megfelelő cseréjével adódik (és persze ott van a 4 kivételes megoldás, amikor a nevező eltűnne).

Előzmény: [847] Niels Bohr, 2013-08-18 12:15:52
[849] w2013-08-18 16:23:25

Az általad említett

14x2-25xy+11y2+54=0

19y2-33yz+14z2+150=0

11z2-30zx+19x2+384=0

egyenletrendszernek a levezetése szerintem kifejezetten ronda lehet (ha az első és utolsó egyenlettel y és z-t x-ben kifejezed, majd a másodikba helyettesíted...). Ha az összes megoldást meg akarod találni, inkább valamilyen ingyenes computer algebra programot ajánlanék.

Azért kézzel is meg lehetne okosan oldani. Én azzal kezdeném, hogy

14x^2-25xy+11y^2=11\left(y^2-\frac{25}{11}xy\right)+14x^2=11\left[\left(y-\frac{25}{22}x\right)^2-\frac{625}{484}x^2\right]+14x^2=11\left(y-\frac{25}{22}x\right)^2-\frac9{44}x^2,

így vezessünk be új változót: u:=y-\frac{25}{22}x. Ugyanezt megcsinálod a harmadik egyenlettel, majd behelyettesíted az új változókat a második egyenletbe és akkor kicsivel leegyszerűsödik a számolás (asszem két gyökjel lesz, így kétszer kell négyzetre emelned, tehát csak egy kis ártatlan nyolcadfokú egyenlettel lesz dolgod).

Előzmény: [847] Niels Bohr, 2013-08-18 12:15:52
[848] Fálesz Mihály2013-08-18 15:45:19

Olvasd el ezt: TeX minitanfolyam

A megoldásban nem segít, de abban igen, hogy érthetőbben tudj kérdezni...

Előzmény: [847] Niels Bohr, 2013-08-18 12:15:52

  [1. oldal]    [2. oldal]    [3. oldal]    [4. oldal]    [5. oldal]    [6. oldal]    [7. oldal]    [8. oldal]    [9. oldal]    [10. oldal]    [11. oldal]    [12. oldal]    [13. oldal]    [14. oldal]    [15. oldal]    [16. oldal]    [17. oldal]    [18. oldal]    [19. oldal]    [20. oldal]    [21. oldal]    [22. oldal]    [23. oldal]    [24. oldal]    [25. oldal]    [26. oldal]    [27. oldal]    [28. oldal]    [29. oldal]    [30. oldal]    [31. oldal]    [32. oldal]    [33. oldal]    [34. oldal]    [35. oldal]  

  Regisztráció    Játékszabályok    Technikai információ    Témák    Közlemények  

Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap